专业课件第八篇第八篇 二次函数的图像及性质二次函数的图像及性质【考纲传真】【考纲传真】1.理解二次函数的有关概念2会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质3会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能掌握二次函数图象的平移4熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题5会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解【复习建议】【复习建议】二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查【考点梳理】【考点梳理】考点一考点一二次函数的概念二次函数的概念一般地，如果yax2bxc(a，b，c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数注意：(1)二次项系数a0；(2)ax2bxc必须是整式；(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；(4)自变量x的取值范围是全体实数考点二 二次函数的图象及性质课件专业课件考点三 二次函数图象的特征与a，b，c及b24ac的符号之间的关系考点四考点四二次函数图象的平移二次函数图象的平移抛物线yax2与ya(xh)2，yax2k，ya(xh)2k中|a|相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置的不同它们之间的平移关系如下表：课件专业课件考点五考点五二次函数的应用二次函数的应用设一般式：yax2bxc(a0)若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式yax2bxc(a0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值考点六考点六 二次函数与方程不等式之间的关系二次函数与方程不等式之间的关系1二次函数yax2bxc(a0)，当y0时，就变成了ax2bxc0(a0)2ax2bxc0(a0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标3当b24ac0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当b24ac0时，抛物线与x轴有一个交点；当b24ac0时，抛物线与x轴没有交点【典例探究】【典例探究】考点一考点一二次函数的概念二次函数的概念【例 1】下列 各式 中，y 是 x 的二次 函数 的是 （）1Axy+x2=2Bx2-2y+2=0Cy=2Dy2-x=0x【变式 1】若 y=（m+1）xm26m5是二次 函数 ，则 m 的值 为考点二考点二根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题列二次函数关系式【例2】图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2m，水面宽 4m如图（ 2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）Ay 2x2By 2x211Cy x2Dy x222【变式 2】如图，正方形 ABCD 的边长 为 1，E、F 分别 是边 BC 和 CD 上的动 点（ 不与 正方 形的顶 点重 合） ，不 管 E、F 怎样 动，始 终保 持AEEF 设 BE=x ， DF=y ， 则 y 是 x 的函数， 函数 关系 式是 （）Ay x1By x1Cy x2 x1Dy x2 x1考点三考点三二次函数对称轴、顶点、与坐标轴的交点二次函数对称轴、顶点、与坐标轴的交点课件专业课件【例 3】已知 抛物 线 y=ax2+bx 和直 线 y=ax+b 在同 一坐 标系 内的图 象如图， 其中 正确 的是 （）ABCD【变式 3】抛物 线 y=-x2+bx+c 的部 分图 象如图 所示，若 y0，则 x 的取值范 围是考点四考点四二次函数图象的平移二次函数图象的平移【例4】二次函数y2x24x1的图象怎样平移得到y2x2的图象( )A向左平移1个单位，再向上平移3个单位B向右平移1个单位，再向上平移3个单位C向左平移1个单位，再向下平移3个单位D向右平移1个单位，再向下平移3个单位13【变式 4】已知 二次 函数 y=-y x2 x22（1）在给 定的 直角 坐标系中 ，画 出这个 函数 的图 象；（2）根据 图象 ，写 出当 y0 时，x 的取值范 围；（3）若将 此图 象沿 x 轴向右 平移 3 个单 位， 请写 出平 移后图 象所对应 的函 数关 系式 考点五考点五二次函数的应用二次函数的应用课件专业课件【例 5】九（ 1）班 数学兴 趣小 组经 过市 场调查 ，整 理出 某种 商品在 第 x（1x90 ）天的 售价 与销 量的 相关 信息 如下表 ：时间 x（天 ）售价 （元 /件）每天 销量 （件 ）1x50x+40200-2x50x9090已知 该商 品的 进价 为每件 30 元，设 销售 该商 品的 每天 利润 为 y 元（1）求出 y 与 x 的函数关 系式 ；（2）问销 售该 商品 第几 天时 ，当 天销售 利润 最大 ，最 大利润 是多少？（3）该商 品在 销售 过程 中， 共有 多少天 每天 销售 利润 不低于 4800元？ 请直 接写 出结 果【变式 5】如图 ，已 知抛 物线 y=x2-x-6 ，与 x 轴交 于点 A 和 B，点 A 在点 B 的左边 ，与 y 轴的 交点 为 C（1）用配 方法 求该 抛物 线的 顶点 坐标 ；（2）求 sinOCB 的值 ；（3）若点 P（m，m）在 该抛 物线 上， 求 m 的值考点六考点六二次函数与方程及不等式之间的关系二次函数与方程及不等式之间的关系课件【例6】如图，二次函数的图象与 x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B、D（1）请直接写出 D点的坐标（2）求二次函数的解析式（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围【变式 6】如图 ，直 线 y=x+m 和抛物 线 y=x2+bx+c 都经 过点 A（1，0） ，B（3，2） （1）求 m 的值 和抛 物线 的解 析式 ；（2）求不 等式 x2+bx+c x+m 的解集 （直接 写出 答案 ）【课堂小结】【课堂小结】1将抛物线解析式写成ya(xh)2k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线xb4acb2bh，也可应用对称轴公式x ，顶点坐标（,）来求顶点坐标及2a4a2a对称轴2比较两个二次函数值大小的方法：(1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断课件3根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性解题时应注意开口方向与a 的关系，抛物线与 y 轴的交点与 c 的关系，对称轴与 a，b 的关系，抛物线与 x 轴交点数目与b2-4ac 的符号的关系；当 x=1 时，决定 a+b+c 的符号，当 x=-1 时，决定 a-b+c的符号 在此基础上， 还可推出其他代数式的符号 运用数形结合的思想更直观、更简捷4二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作5运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：(1)列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围(2)在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值【课堂练习】【课堂练习】1、下列函数中，哪些是二次函数？（1）y x2 0（3）y x2（2）y (x 2)(x 2) (x 1)2（4）y x2 2x 31x2、二次函数y 2(x 3)25的图象开口方向，顶点坐标是，对称轴是；3、当 k 为何值时，函数y (k 1)xk3、函数y x(2 3x)，当x为时，函数的最大值是；14、二次函数y x2 2x，当x时，y 0;且y随x的增大而减2小；5、如图，抛物线的顶点 P 的坐标是(1，3)，Y则此抛物线对应的二次函数有（）(A)最大值 1 (B)最小值3O(C)最大值3 (D)最小值 1 X P2k1为二次函数？画出其函数的图象课件专业课件6、 已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图 3 所示， 给出以下结论： a+b+c0；a-b+c0；b+2a0；abc0 . 其中所有正确结论的序号是（） A C7一次函数y kx b的图象过点（m，1）和点（1，m） ，其中m 1，则二次函数y a(x b)2 k的顶点在第象限；8、对于二次函数为 y=x2x2，当自变量 x0 时，函数图像在 （）(A)第一、二象限 (B)第二、 三象限 (C)第三、 四象限 (D)第一、四象限129、已知点 A（1,y1） 、B（2, y2） 、C（ 2, y3）在函数y 2x 1上，则y1、2y2、y3的大小关系是Ay1y2y3By1y3y2Cy3y1y2Dy2y1y310、直线y ax b(ab 0)不经过第三象限，那么y ax2bx的图象大致为（）y y y yOOO x x x O xABCD911、若二次函数y x2 mx 2的最大值为，则常数m _；412、若二次函数y ax2bx c的图象如图所示，则直线y abx c不经过象限；13、 （1）二次函数y x2 2x的对称轴是（2）二次函数y 2x2 2x 1的图象的顶点是，当x时，y随 x 的增大而减小课件 B DOyx专业课件（3）抛物线y ax2 4x 6的顶点横坐标是-2，则a=114、抛物线y ax2 2x c的顶点是( ,1)，则a、c 的值是多少？315.抛物线的对称轴是x 2，且过（4，4） 、 （1，2） ，求此抛物线的解析式；【课后作业】【课后作业】一、选择题1二 次函 数 y=x2+2x-7 的函 数值 是 8，那么 对应 的 x 的值 是（）A3B5C-3 和 5D3 和-52二次函 数 y=ax2+bx+c （a0）的大 致图 象如 图，关 于该 二次函数，下列说 法错 误的 是（）A函数 有最 小值1B对称轴 是直 线x 21C当x ，y 随 x 的增 大而 减小2D当-1x2 时，y03已 知二 次函 数 y=-x2+2bx+c ，当 x1 时， y 的值随 x 值的 增大 而减小， 则实 数 b 的取 值范围 是（）Ab-1Bb-1Cb1Db14如图，平面 直角 坐标系 中，点 M 是直线 y=2 与 x 轴之间 的一个 动点，11且点 M 是抛 物线y x2bxc的顶点 ，则 方程x2bxc 1的解 的22个数 是（）A0 或 2B0 或 1C1 或 2D0，1 或 2课件专业课件5如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，-2）它与反比例函数y=-图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）Ay=x2-x-2By=x2-x+2Cy=x2+x-2Dy=x2+x+28的x6已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2-m+2014的值为（）A2012B2013C2014D20157二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0（t为实数）在-1x4的范围内有解，则t的取值范围是（）At -1B-1 t3C-1 t8D3t88在矩 形 ABCD 的各边 AB，BC，CD 和 DA 上分 别选 取点 E，F，G，H，使得 AE=AH=CF=CG ，如 果 AB=60 ，BC=40 ，四 边形 EFGH 的最大面积 是（）A1350B1300C1250D1200二、填空题1 抛物 线 y=ax2+bx+c 经过 点 A（-3，0）， 对称 轴是 直线 x=-1 ，则a+b+c=2对于 二次 函数 y=ax2-（2a-1 ）x+a-1 （a0）， 有下 列结 论：其图 象与 x 轴一定 相交 ；若 a0，函 数在 x1 时，y 随 x 的增 大而 减小 ；无论 a 取何 值，抛 物线 的顶 点始 终在同 一条 直线 上；课件专业课件无论 a 取何 值，函 数图 象都 经过 同一个 点其中 所有 正确 的结 论是（填 写正 确结 论的 序号 ）13如图 ，在 平面 直角坐 标系 中， 抛物 线y x2经过 平移 得到 抛物 线21y x22x，其 对称 轴与 两段 抛物线 所围 成的 阴影 部分的 面积2为4如图 示： 己知 抛物线 C1，C2关于 x 轴对 称， 抛物 线 C1，C3关于 y3轴对 称 如果 抛物 线 C2的解析 式是y (x2)21，那么 抛物 线 C3的4解析 式是三、解答题1在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y=2x2+mx+n 经过点A（0，-2），B（3，4）（1）求抛物线的表达式及对称轴，并画出图像；（2）设点B关于原点的对称点为 C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象 G（包含A，B两点）若直线 CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围课件专业课件2如图 ，已 知抛 物线 y=x2-x-6 ，与 x 轴交于 点 A 和 B，点 A 在点 B 的左边 ，与 y 轴的交点为 C（1）用配 方法 求该 抛物 线的 顶点 坐标；（2）求 sinOCB 的值 ；（3）若点 P（m，m）在该 抛物 线上 ，求 m 的值 3如图 ，二 次函 数的图 象与 x 轴交于 A（-3，0）和 B（1，0）两 点，交 y 轴于点 C（0，3） ，点 C、D 是二次 函数 图象 上的 一对 对称点 ，一次函数 的图 象过 点 B、D（1）请直 接写 出 D 点的 坐标 （2）求二 次函 数的 解析 式（3）根据 图象 直接 写出 使一 次函 数值大 于二 次函 数值 的 x 的取 值范围 4某机 械公 司经 销一种 零件 ，已知这 种零件 的成 本为 每件 20 元，调查发现 当销 售价 为 24 元时 ，平 均每 天能 售出 32 件， 而当 销售 价每 上涨 2元， 平均 每天 就少 售出 4 件（1）若公 司每 天的 现售 价为 x 元时则每 天销 售量 为多 少？（2）如果 物价 部门 规定 这种 零件 的销售 价不 得高 于每 件 28 元， 该公司 想要 每天 获得 150 元的销 售利 润， 销售 价应 当为 多少 元？课件