第12章 离散控制系统的经典法设计吉林大学仪器科学与电气工程学院随阳轶连续与离散控制系统连续与离散控制系统主要内容概述控制系统的离散化方法 PID控制器及其算法 概述数字控制器的设计大体上分成两大类：经典法设计和状态空间法。经典法设计可分两种方法：离散化法和直接法。离散化法则是先设计连续系统的控制器，然后通过某种离散化方法转化成数字控制器，这种方法仅能逼近连续系统的性能，不会优于连续系统的性能。直接法为Z平面的根轨迹法、W平面的伯德图法等等。控制系统的离散化方法 前向差分法；后向差分法；双线性变换法；脉冲响应不变法；阶跃响应不变法；零、极点匹配法等六种方法。前向差分法已知控制器的传递函数为已知控制器的传递函数为传递函数转化成微分方程传递函数转化成微分方程再将微分方程改写成积分形式再将微分方程改写成积分形式=u(kT-T)+从从(kT-T)到到kT的面的面积 前向差分法（续1）由差分方程求其由差分方程求其Z变换 脉冲脉冲传递函数函数前向差分法（续2）比比较s与与z的关系的关系得：得：故前向差分法就是将模故前向差分法就是将模拟控制器的控制器的传递函数函数D(s)中的中的s用用 代替即可。代替即可。 必必须强强调用前向差分关系将用前向差分关系将连续控制器离散控制器离散化成数字控制器化成数字控制器时稳定性不能保定性不能保证。因此很。因此很少少应用。用。 后向差分法推推导过程同前向差分法，程同前向差分法，只是只是变为后向矩形后向矩形积分。分。脉冲脉冲传递函数函数比比较s与与z的关系的关系得：得：连续系系统时是是稳定的定的，通通过后向差分离散化后向差分离散化后，离散系后，离散系统一定一定稳定。定。双线性变换法推推导过程同前向差分法，程同前向差分法，只是只是变为梯形梯形积分。分。对上式取上式取Z变换 脉冲传递函数脉冲传递函数双线性变换法（续1）比比较s与与z的关系的关系得：得：该变换保证系统的稳定性不改变。该变换保证系统的稳定性不改变。三种变换关系总结如下：三种变换关系总结如下：前三种方式的稳定性讨论1.前向差分前向差分z与与s的关系的关系 令令z 为1 1，对应s平面平面为一个一个圆，则以以1/T为半径的极点映射到半径的极点映射到Z平面平面单位位圆内。内。 对于整个于整个S左半平面映射左半平面映射Z平面平面是是1为边缘的整个的整个Z平面。平面。 前三种方式的稳定性讨论（续1）2.后向差分后向差分z与与s的关系的关系 可可见s的虚的虚轴映射映射为以点以点(1/2，0)为圆心，心， 1/2为半径的半径的圆，s左半平面映射到左半平面映射到圆内。内。 前三种方式的稳定性讨论（续2）3.双双线性性变换z与与s的关系的关系 z的模的模为1，可，可见为单位位圆 三种变换法的运用举例例例分分别用前向差分法、后向差分法和双用前向差分法、后向差分法和双线性性变换法将法将传递函数函数 离散化离散化成脉冲成脉冲传递函数。函数。解：解：(1) 三种三种变换法法的的离散化离散化前向差分法前向差分法三种变换法的运用举例（续1）后向差分法后向差分法双双线性性变换法法三种变换法的运用举例（续2）通通过 转换成脉冲成脉冲传递函数函数对应的极点的极点 (2) 三种三种变换法的法的稳定性定性前向差分法前向差分法极点在极点在单位位圆外，外，系系统不不稳定。定。三种变换法的运用举例（续3）后向差分法后向差分法极点在极点在单位位圆内，系内，系统是是稳定的。定的。三种变换法的运用举例（续4）双双线性性变换法法极点在极点在单位位圆内，系内，系统是是稳定的。定的。通通过这三种方法得到的离散化三种方法得到的离散化结果与通果与通过 的数学关系的数学关系 的离散化的离散化结果比果比较，双双线性性变换法更接近准确法更接近准确值。阶跃响应不变法 使离散近似后数字控制器的使离散近似后数字控制器的阶跃响响应序列，与序列，与连续控制器的控制器的阶跃响响应采采样值相等。相等。设D(z)为离散控制器，离散控制器，D(s)为连续控制器。即控制器。即脉冲响应不变法 离散近似后数字控制器的脉冲响离散近似后数字控制器的脉冲响应序列，与序列，与连续控制器的脉冲响控制器的脉冲响应采采样值相等。相等。T是是补偿采采样引引进的的1/T因子。因子。 已知已知连续控制器的控制器的传递函数函数 试用用阶跃响响应不不变法和脉冲响法和脉冲响应不不变法将法将连续控制器控制器离散成数字控制器。离散成数字控制器。解：解：(1) 阶跃响响应不不变法法阶跃脉冲响应不变法举例(2) 脉冲响脉冲响应不不变法法零极点匹配等效法通通过映射保映射保证连续和离散控制器的零极点匹配。和离散控制器的零极点匹配。映射映射规则如下：如下：(1) D(s)的全部有限零点和极点按照的全部有限零点和极点按照 映映射到射到Z平面。平面。 (2) D(s)的全部无限的全部无限远的零点映射到的零点映射到Z平面平面为z=-1。(这是近似映射关系是近似映射关系) 解解释如下：如下：零极点匹配等效法（续1）相当于相当于j轴上从上从0到到/T这段段对应于于Z平面从平面从z=1到到z=-1的半个的半个单位位圆。 当当= s/2=/T时，该是信号的最高是信号的最高频率，率，高于此高于此频率率则不不满足采足采样定理。定理。另外通常另外通常D(s)具有低通特性，即具有低通特性，即 因此将因此将s的零点映射到的零点映射到Z平面，相当于与平面，相当于与D(z)的的z=-1的零点的零点对应，也就是，也就是说在的在的D(s)上有上有一个一个s 的零点的零点时，则在在D(z)的分子上的分子上补一个一个(z+1)因子，有两个因子，有两个s 的零点，在的零点，在D(z)的分子的分子上上补一个一个(z+1)2 ，以此，以此类推。推。零极点匹配等效法（续2）(3) 让数字控制器的增益在某一主数字控制器的增益在某一主频处与模与模拟控制器的增益匹配，即控制器的增益匹配，即 若若D(s)具有低通特性具有低通特性则令令 若若D(s)具有高通特性具有高通特性则令令 若若D(s)既不具有高通特性也不具有低通特性既不具有高通特性也不具有低通特性则在一个特殊在一个特殊频率率处令令 零极点匹配等效法举例例例12.3已知已知连续控制器的控制器的传递函数函数 试用零极点匹配等效法将用零极点匹配等效法将连续控制器离散成数控制器离散成数字控制器。字控制器。解：解：(1) 将将连续系系统的有限零极点映射到的有限零极点映射到Z平面平面 有限零点有限零点 有限极点有限极点零极点匹配等效法举例（续1）(2)将将连续系系统的的s零点映射到零点映射到Z平面，平面，对应于于D(z)分子上的分子上的(z+1)因子。因子。 零极点匹配等效法举例（续2）(3)匹配增益因子匹配增益因子通通过零极点匹配等效法，得到的零极点匹配等效法，得到的总的脉冲的脉冲传递函数函数为：六种离散化方法的特点 设计者者应该交替使用交替使用几种等效技几种等效技术，通常零极，通常零极点匹配映射法和双点匹配映射法和双线性性变换法法较好。好。1. 前向差分法前向差分法：稳定性不能保定性不能保证，很少使用。，很少使用。2. 后向差分法后向差分法：无无稳定性定性问题，并，并维持持稳态增增益不益不变。但是得到的离散控制器。但是得到的离散控制器暂态特性和特性和频率响率响应特性与特性与连续控制器特性有相当大的差控制器特性有相当大的差别，采用高采采用高采样率可减少率可减少这种差种差别。 3. 脉冲响脉冲响应不不变法法：无无稳定性定性问题，但存在，但存在频率混叠率混叠问题 ，只适用于，只适用于连续控制器具有陡峭的控制器具有陡峭的衰减特性，且衰减特性，且为带限信号的限信号的场合。合。六种离散化方法的特点（续1）4.阶跃响响应不不变法法：相当于：相当于连续环节串串联一个一个零零阶保持器后取保持器后取Z变换常用来求取控制系常用来求取控制系统的的对象或其他象或其他环节的离散等效。无的离散等效。无稳定性定性问题。5.双双线性性变换法法：无：无稳定性定性问题，导至至频率特率特性的性的严重畸重畸变，在伯德，在伯德图的的设计中或系中或系统要求要求较高高时，则要要对变换式式进行修正。行修正。 6.零极点匹配等效法零极点匹配等效法：无：无稳定性定性问题，这种映种映射有射有较好的逼近特性，首推此法。好的逼近特性，首推此法。控制器的基本原理PID控制器的离散化表示连续域描述域描述PID控制器的微分方程通控制器的微分方程通过后向差分后向差分法离散化法离散化：其中其中Ki为积分系数，分系数，Kd为微分系数微分系数PID控制器的两种形式 (1) 位置式位置式PID上上页公式数字控制器的控制量公式数字控制器的控制量u(k)与与执行机构的行机构的阀门开启位置一一开启位置一一对应，因此叫位置式，因此叫位置式PID算式算式(2) 增量式增量式PID优点是改善点是改善积分分饱和，手和，手动自自动切切换冲冲击小，小，系系统超超调减少，减少，动态时间缩短，短，动态性能改善。性能改善。 PID控制器的各种算法1. 不完全微分不完全微分PID控制算法控制算法误差差变化率的大小决定微分控制量的大小，化率的大小决定微分控制量的大小，而而误差差值的的绝对大小不影响微分控制量大小不影响微分控制量强强弱。弱。 当突然大幅度改当突然大幅度改变给定定值时，会，会导至至误差突差突然大幅度改然大幅度改变，引起很大的，引起很大的误差差变化率，因化率，因此此产生很生很强强的微分控制量，在一个采的微分控制量，在一个采样周期周期全部全部输出，使控制系出，使控制系统出出现超超调和振和振荡，系，系统的的调节性能下降。性能下降。不完全微分PID控制算法（续1）引引进不完全微分不完全微分PID算法，其算法，其传递函数如下：函数如下：其中：其中：U(s)为PID控制器的控制器的输出；出；E(s)为偏差偏差(控控制器的制器的输入入)；Krp实际的比例放大系数；的比例放大系数；Tri实际的的积分分时间常数；常数；Trd实际的微分的微分时间常常数。常常数。微分微分项为：比例和比例和积分分项为：不完全微分PID控制算法（续2）不完全微分不完全微分PID算式的差分方程算式的差分方程为：积分分离PID算法 积分控制是通过对误差的积分产生控制量来提高控制精度，但是当偏差很大时，投入积分控制会带来负作用，这时由积分项产生的控制量将很强，导致系统长时间的超调和大幅度的振荡，产生积分饱和。数字控制系统中要消除这种现象，可以采用积分分离的方法解决，当误差很大时，不投入积分，当误差比较小时加入积分，改善系统的稳态控制精度，可以设定一个阀值a，按照下边方式控制。 变速积分PID算法 积分控制分控制应该是是误差大差大时减小减小积分作用，防止分作用，防止超超调和和积分分饱和，和，误差小差小时，加，加强强积分迅速减分迅速减少少稳态误差，提高系差，提高系统的控制精度。的控制精度。设置置积分系数是分系数是误差的函数，即差的函数，即f(e(k) 变速速积分分PID的的积分分项为变速积分PID算法（续）总的的变速速积分分PID算式算式(1) 能完全消除能完全消除积分分饱和；和；(2) 减少超减少超调量，量，稳定性得到改善；定性得到改善；(3) 能适能适应较复复杂的情况的情况；(4) 参数整定参数整定简单，参数之，参数之间相互影响小。相互影响小。(5) 积分分离控制属于开关控制，而分分离控制属于开关控制，而变速速积分分控制控制连续性好，且控制平性好，且控制平稳。优点：点：带死区的PID算式 在在计算机控制系算机控制系统中，中，为了防止了防止执行机构行机构频繁繁动作，引起系作，引起系统的不的不稳定定则可以采用可以采用带死区的死区的PID控制算式控制算式特点是当系特点是当系统对稳态控制精度要求不很高控制精度要求不很高，如，如液位控制等。液位控制等。本章小结本章首先介绍了控制系统的六种离散化方法：前向差分法、后向差分法、双线性变换法、阶跃响应不变法、脉冲响应不变法、零极点匹配等效法。然后比较了六种方法的特点。接着介绍PID控制器以及其各种算法。本章重点及要求重点掌握六种离散化方法及特点重点掌握PID控制器的基本原理、两种形式。掌握不完全微分PID控制算法、变速积分PID算法。理解积分分离PID算法和带死区PID算法。练习与思考课后，