高考大题专项突破六高考大题专项突破六高考中的概率与统计高考中的概率与统计一、考查范围全面概率与统计解答题对知识点的考查较为全面,近五年的试题考点覆盖了概率与统计必修与选修的各个章节内容,考查了抽样方法,统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体、回归分析、相关系数的计算、独立性检验、古典概型、条件概率、相互独立事件的概率、独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望与方差、超几何分布、二项分布、正态分布等基础知识和基本方法.二、考查方向分散从近五年的高考试题来看,对概率与统计的考查主要有四个方面:一是统计与统计案例,其中回归分析、相关系数的计算、独立性检验、用样本的数字特征估计总体的数字特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查;二是统计与概率分布的综合,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、频率、概率以及函数知识、概率分布列等知识交汇考查;三是期望与方差的综合应用,常与离散型随机变量、概率、相互独立事件、二项分布等知识交汇考查;四是以生活中的实际问题为背景将正态分布与随机变量的期望和方差相结合综合考查.三、考查难度稳定高考对概率与统计解答题的考查难度稳定,多年来都控制在中等或中等偏上一点的程度,解答题一般位于试卷的第18题或第19题的位置.题型一题型二题型三题型四题型一相关关系的判断及回归分析例1下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.注:年份代码1-7分别对应年份2008-2014.题型一题型二题型三题型四(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2018年我国生活垃圾无害化处理量.附注:题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四解题心得解题心得在求两变量相关系数和两变量的回归方程时,由于 的公式组成比较复杂,求它们的值计算量比较大,为了计算准确,可将其分成几个部分分别计算,这样等同于分散难点,各个攻破,提高了计算的准确度.题型一题型二题型三题型四对点训练对点训练1(2017河北石家庄二中模拟,理18)下表是某校高三一次月考5个班级的数学、物理的平均成绩:(1)一般来说,学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系,根据上表提供的数据,求两个变量x,y的线性回归方程(2)从以上5个班级中任选两个参加某项活动,设选出的两个班级中数学平均分在115分以上的个数为X,求X的分布列和数学期望.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型二独立性检验的综合问题例2(2017全国,理18)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).题型一题型二题型三题型四解: (1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”.由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62,故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)5=0.66.故P(C)的估计值为0.66.因此,事件A的概率估计值为0.620.66=0.409 2.题型一题型二题型三题型四(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表由于15.7056.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)5=0.340.5,题型一题型二题型三题型四解题心得解题心得有关独立性检验的问题的解题步骤:(1)作出22列联表;(2)计算随机变量K2的值;(3)查临界值,检验作答.题型一题型二题型三题型四对点训练对点训练2(2017辽宁沈阳三模,理18改编)“共享单车”的出现,为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度,从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户,得到了一个用户满意度评分的样本,并绘制出茎叶图如图:题型一题型二题型三题型四(1)根据茎叶图,比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2)若得分不低于80分,则认为该用户对此种交通方式“认可”,否则认为该用户对此种交通方式“不认可”,请根据此样本完成此22列联表,并据此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关;(3)若从此样本中的A城市和B城市各抽取1人,则在此2人中恰有一人认可的条件下,此人来自B城市的概率是多少?题型一题型二题型三题型四解: (1)A城市评分的平均值小于B城市评分的平均值;A城市评分的方差大于B城市评分的方差.(2)22列联表如下:所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关.题型一题型二题型三题型四(3)设事件M:恰有一人认可,事件N:来自B城市的人认可,事件M包含的基本事件数为510+1510=200,事件MN包含的基本事件数为1510=150,题型一题型二题型三题型四题型三离散型随机变量的分布列(多维探究)类型一互斥事件、独立事件的概率及分布列例3(2017天津,理16)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四解题心得解题心得使用简洁、准确的数学语言描述解答过程是解答这类问题并得分的根本保证.引进字母表示事件可使得事件的描述简单而准确,使得问题描述有条理,不会有遗漏,也不会重复.题型一题型二题型三题型四对点训练对点训练3在某娱乐节目的一期比赛中,有6名歌手(1至6号)登台演出,由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的歌手,各家媒体独立地在投票器上选出3名出彩候选人,其中媒体甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,另在2号至6号中随机选出2名;媒体乙不欣赏2号歌手,他必不选2号;媒体丙对6名歌手的演唱没有偏爱,因此在1至6号歌手中随机地选出3名.(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四类型二古典概型及分布列的综合例4(2017山东,理18)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四对点训练对点训练4(2017北京,理17)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“ ”表示服药者,“+”表示未服药者.题型一题型二题型三题型四解: (1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E();(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四类型三二项分布例5(2017辽宁鞍山一模,理19)上周某校高三年级学生参加了数学测试,年级部组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中抽取80名学生的数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.题型一题型二题型三题型四(1)估计这次月考数学成绩的平均分和众数;(2)假设抽出学生的数学成绩在90,100段各不相同,且都超过94分.若将频率视为概率,现用简单随机抽样的方法,从95,96,97,98,99,100这6个数字中任意抽取2个数,有放回地抽取3次,记这3次抽取中恰好有两名学生的数学成绩的次数为X,求X的分布列和数学期望.解: (1)平均分为0.0545+0.1555+0.265+0.375+0.2585+0.0595=72(分).众数的估计值是75分.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四解题心得对于实际问题中的随机变量X,如果能够断定它服从二项分布B(n,p),则其概率、均值与方差可直接利用公式 (k=0,1,2,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)求得,因此,熟记二项分布的相关公式,可以避免烦琐的运算过程,提高运算速度和准确度.题型一题型二题型三题型四对点训练对点训练5某班将要举行篮球投篮比赛,比赛规则是:每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次,在A区每进一球得2分,不进球得0分;在B区每进一球得3分,不进球得0分,得分高的选手胜出.已知某参赛选手在A区和B区每次投篮进球的概率分别是(1)如果该选手以在A,B区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准,问该选手应该选择哪个区投篮?请说明理由;(2)求该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型四样本的均值、方差与正态分布的综合例6(2017全国,理19改编)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.题型一题型二题型三题型四()试说明上述监控生产过程方法的合理性;()下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四解: (1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为0.997 3,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.002 7,故XB(16,0.002 7).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.997 3160.042 3.X的数学期望为E(X)=160.002 7=0.043 2.(2)()如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.002 7,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.042 3,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四解题心得解题心得解决正态分布有关的问题,在理解,2意义的情况下,记清正态分布的密度曲线是一条关于x=对称的钟形曲线,很多问题都是利用图象的对称性解决的.题型一题型二题型三题型四对点训练对点训练6从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:题型一题型二题型三题型四(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2),其中近似为样本平均数 ,2近似为样本方差s2.利用该正态分布,求P(187.8Z212.2);某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用的结果,求E(X).附: 12.2.若ZN(,2),则P(-Z+)=0.682 7,P(-2Z+2)=0.954 5.题型一题型二题型三题型四解: (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差s2分别为 =1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200,s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.(2)由(1)知,ZN(200,150),从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)=0.682 7.由知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 7,依题意知XB(100,0.682 7),所以E(X)=1000.682 7=68.2768.