Xiamen University厦门大学第厦门大学第厦门大学第厦门大学第九九九九届届届届“ “景润杯景润杯景润杯景润杯” ”数学竞赛数学竞赛数学竞赛数学竞赛系列讲座系列讲座系列讲座系列讲座厦门大学数学科学学院厦门大学数学科学学院 林建华林建华 第八讲第八讲第八讲第八讲 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 三部分内容三部分内容三部分内容三部分内容 1. 1. 1. 1. 空间空间空间空间积分曲线积分曲线积分曲线积分曲线的参数化的参数化的参数化的参数化 2. 2. 2. 2. 曲线积分曲线积分曲线积分曲线积分对称性、格林公式对称性、格林公式对称性、格林公式对称性、格林公式 3. 3. 3. 3. 曲面积分曲面积分曲面积分曲面积分的对称性、高斯公式的对称性、高斯公式的对称性、高斯公式的对称性、高斯公式 两类曲线积分两类曲线积分计算的计算的公式为公式为一、空间曲线的参数化一、空间曲线的参数化若积分曲线若积分曲线 的参数方程的参数方程 计算的关键是如何将计算的关键是如何将空间空间积分曲线积分曲线 参数化。参数化。下面将给出积分曲线下面将给出积分曲线 参数化的参数化的一一些些常见常见方法。方法。由由计算计算公式可以看出公式可以看出1.设积分曲线设积分曲线 , ,从中消去某个自从中消去某个自变量变量, ,例如例如 ，得到，得到 在在xoy平面的投影曲线，这些平面的投影曲线，这些投影曲线常常是园或是椭圆，先投影曲线常常是园或是椭圆，先利用熟知的参数方利用熟知的参数方程程将它们表示成参数方程将它们表示成参数方程 然后将它然后将它们代入到们代入到 ，解出，解出由此得到：由此得到：如下如下 的参数方程的参数方程：例例1 将曲线将曲线 ，( (其中其中 )用参数方程表示。用参数方程表示。2.2.若若 的方程的方程组组中含有园、椭圆或球的方程时，中含有园、椭圆或球的方程时，可可充分利用园、椭圆或球的充分利用园、椭圆或球的大家大家所熟知的所熟知的 园的园的参数方程参数方程 x=rcost，y=rsint， 椭圆参数方程椭圆参数方程 x=acost， y=bsint， 球坐标球坐标 先将其参数化，再代入先将其参数化，再代入 的另一方程，求出另的另一方程，求出另一变量的参数表达式。一变量的参数表达式。例如：将球面上的三角形曲线参数化例如：将球面上的三角形曲线参数化利用球坐标：利用球坐标：例例2 2 将曲线将曲线 ，( (其中其中 ) )用参数方程表示。用参数方程表示。例例3 3 将曲线将曲线 ( (其中其中 ) )用参数方程表示。用参数方程表示。例例3 3 将曲线将曲线 ( (其中其中 ) )用参数方程表示。用参数方程表示。故故举一反三练习举一反三练习 将曲线将曲线 用参数方程表示。用参数方程表示。（1 1）（2 2）1. 注意到曲线积分的被积函数注意到曲线积分的被积函数 是定义在积分曲是定义在积分曲线上的，因此它的自变量应满足积分曲线方程线上的，因此它的自变量应满足积分曲线方程， 所所以以计算曲线积分之前，计算曲线积分之前，首先首先要要用积分曲线方程用积分曲线方程 去化简被积函数去化简被积函数 。 二、二、曲线积分的计算曲线积分的计算（1）曲线曲线 关于关于x轴对称，是指轴对称，是指 换句话说，若换句话说，若 则它的对称点则它的对称点 ；（2）曲线曲线 关于关于y轴对称，是指轴对称，是指 换句话说，若换句话说，若 则它的对称点则它的对称点 ； 2.对称性的应用对称性的应用(以第一类平面曲线积分为例以第一类平面曲线积分为例)（3）曲线曲线 关于原点对称，是指关于原点对称，是指 换句话说，若换句话说，若 则它的对称点则它的对称点 ；（4）曲线曲线 关于直线关于直线 对称对称(或或 对称对称)，是指，是指 (或或 ),换句话说，换句话说， 互为对称点互为对称点 ， 互互为为对称点。对称点。 若曲线积分若曲线积分 的被积函数的被积函数 在任意的对称在任意的对称点处的函数值互为相反数，则点处的函数值互为相反数，则 ； 在任意的对称点处函数值都相等，则在任意的对称点处函数值都相等，则其中其中 是相应对称积分曲线的一半。是相应对称积分曲线的一半。 例例1 计算计算 (1) ,(1) ,其中其中 ; ;(2) (2) 其中其中 , ,周长为周长为a。解：解：(1)由于由于L关于关于y轴对称，被积函数轴对称，被积函数x在对在对称点处的函数值互为相反数，所以称点处的函数值互为相反数，所以 。由于由于L关于直线关于直线 y=x对称，函数对称，函数 在对在对称称点处互为相反数点处互为相反数,所以所以 . .即即 . .从而有从而有由于由于L的参数方程为的参数方程为所以所以(2)由于由于L关于关于x轴对称，且轴对称，且2xy在对称点处的值互在对称点处的值互为相反数，所以为相反数，所以例例2 2 设设 ，求，求对对弧长弧长的曲线积分的曲线积分 ，其中其中 为正方形为正方形 的边界。的边界。解：如图解：如图 , ,由于折线由于折线ABEFG 对关于直线对关于直线 y=-x对称对称, ,且在对称且在对称点上有点上有 , ,所以所以原式原式例例3 3 计算计算 其中其中 。解：由于在解：由于在 上上y=x, ,所以所以由例由例1 的参数方程为的参数方程为 则则 所以所以定理定理其中其中 是是 在在xoy平面上的投影曲线，其方向与平面上的投影曲线，其方向与 的方的方向一致。向一致。一类特殊的空间曲线积分的计算方法一类特殊的空间曲线积分的计算方法例例4 4解解:由由（1）若积分曲线不是封闭，则可添加若干条直线若积分曲线不是封闭，则可添加若干条直线(或曲线或曲线)使之构成封闭曲线，再应用格林公式；使之构成封闭曲线，再应用格林公式； 3. 格林公式的应用格林公式的应用（2）若封闭曲线若封闭曲线L所围成的区域所围成的区域D内有内有“奇点奇点”,则在则在 奇点外成立奇点外成立 等式的条件下，有等式的条件下，有 成立，其中成立，其中L 是围绕奇点是围绕奇点且同且同L具有相具有相向向方向的方向的简单简单闭曲线，通常是园或椭圆等。闭曲线，通常是园或椭圆等。 例例1 设设 ，记记 为它为它 的正向边界曲线。证明：的正向边界曲线。证明：解：由格林公式得解：由格林公式得类似可证类似可证其中其中 是由于是由于 是关于直线是关于直线 y=x对称对称. . 例例2 计算计算 ，其中，其中 是以是以(1,0)为中心为中心 R(R1)为半径的正向圆周。为半径的正向圆周。由于由于所以所以例例3 已知关于坐标的曲线积分已知关于坐标的曲线积分 (常数常数)，其中函数其中函数 可导，且可导，且 是围绕是围绕(0,0)(0,0)的的任一分段光滑正向闭曲线，求（任一分段光滑正向闭曲线，求（1 1）函数）函数 的表的表达式；（达式；（2 2）A A的值。的值。解：（解：（1）为了应用格林公式求出）为了应用格林公式求出 ，首先，首先证明对于任一不包含原点的分段光滑的正向闭证明对于任一不包含原点的分段光滑的正向闭曲线曲线C，都有都有 . . 因为因为 未知，所以原点有可能是被积函数的未知，所以原点有可能是被积函数的不连续点，故不连续点，故由此可知对由此可知对 有：有：成立，整理即得成立，整理即得解此微分方程得解此微分方程得 . . 由于由于所以所以C=1=1，所求的，所求的 . .(2)(2)取取L1为正向圆周为正向圆周, ,则则（1）柱面）柱面 被曲面被曲面 截下部截下部分的面积。分的面积。 计算公式为计算公式为 ，其中，其中 在在xoy面上面上的投影曲线的投影曲线. 4利用曲线积分来计算曲面的面积利用曲线积分来计算曲面的面积例例1 求柱面求柱面 位于球面位于球面 之内的侧面之内的侧面 的面积的面积 。解：由于解：由于 关于三个坐标面都对称关于三个坐标面都对称, ,所以所以 (S0是是S位于第一卦限部分的面积位于第一卦限部分的面积)。由对弧长。由对弧长的曲线积分的几何意义，知道的曲线积分的几何意义，知道所以所以 举一反三练习举一反三练习 计算圆柱面计算圆柱面 被球面被球面截截下的那部分的面积。下的那部分的面积。（2）由坐标面上的平面曲线绕某轴旋转一周而成的旋转）由坐标面上的平面曲线绕某轴旋转一周而成的旋转 曲面的面积。曲面的面积。 例如例如yoz平面上的曲线平面上的曲线 绕绕y轴轴 旋转一周而成的旋转曲面的面积旋转一周而成的旋转曲面的面积.计算公式为计算公式为 例例2 2 设设 ， ，求求 的表面位于的表面位于 内部分的内部分的 的面积。的面积。解：解： 的表面位于的表面位于 内部分的曲面内部分的曲面 ,可以看成是可以看成是由由AB绕绕z轴旋转一周而成的旋转的侧面，轴旋转一周而成的旋转的侧面，其中其中 , ,所以所以 三、曲面积分的计算三、曲面积分的计算（1）曲面曲面 关于关于xoy平面对称，是指若平面对称，是指若 则它关于则它关于xoy平面的对称点平面的对称点 ；（2）曲面曲面 关于原点对称，是指关于原点对称，是指 则它的对称点则它的对称点 ； (3) 曲面曲面 关于平面关于平面 对称，是指对称，是指 则它的对称点则它的对称点 ； 1. 第一类曲面积分第一类曲面积分 的对称性的对称性 若被积函数若被积函数 的在对称点处的函数值互为相反的在对称点处的函数值互为相反 数，则数，则 ；在对称点处函数值相等，则在对称点处函数值相等，则 其中其中 是相应对称积分曲面的一半。是相应对称积分曲面的一半。与曲线积分类似，可用边界曲面方程来简化被积函数，与曲线积分类似，可用边界曲面方程来简化被积函数，以达到化简曲面积分计算的目的。以达到化简曲面积分计算的目的。例例1 求下列曲面积分求下列曲面积分（1） ， 其中其中 ；（2） ， 其中其中 .解：解：(1)(1)由于由于 关于平面关于平面 z=R 对称对称,且函数且函数 z-R在对称在对称点处的值互为相反数点处的值互为相反数,故故解：解：(2)(2)故故（1）设曲面）设曲面 关于关于xoy平面对称，若被积函数平面对称，若被积函数 在对称点处的函数值互为相反数，则在对称点处的函数值互为相反数，则 ；在对称点处函数值相等，则在对称点处函数值相等，则 ，其中其中 是相应对称积分曲面的一半。是相应对称积分曲面的一半。 2. 第二类曲面积分第二类曲面积分 的对称性及高斯公式的对称性及高斯公式的对称性类似。的对称性类似。若若x与与y互换，互换， 的方程及侧不变，则的方程及侧不变，则 若若x与与z互换，互换， 的方程及侧不变，则的方程及侧不变，则（2）当）当 不是闭曲面时，适当添上一块外侧曲面不是闭曲面时，适当添上一块外侧曲面 ,使得使得 组成闭曲面组成闭曲面(所围成的闭区域为所围成的闭区域为 )，于是，于是高斯公式为高斯公式为 （3）当）当 是外侧闭曲面，是外侧闭曲面， 是它所围的闭区域，是它所围的闭区域， 在在 的内部的内部 有不连续点有不连续点 时，时，可以作位于可以作位于 内部的外侧闭曲面内部的外侧闭曲面 ,将点将点 包围起来，这个闭曲面包围起来，这个闭曲面 常常是小球面、小椭球面，常常是小球面、小椭球面，于是高斯公式为于是高斯公式为 当在当在 上除点上除点 外处处有外处处有 时，时， 例例2 其中其中 是上半椭球面是上半椭球面 的外侧。的外侧。解：解：由于由于x与与y互换，互换， 的方程及侧不变，且的方程及侧不变，且 关于关于yoz平面对称，且被积函数在对称点处的值平面对称，且被积函数在对称点处的值互为相反数，所以互为相反数，所以其中其中 是是 的的 部分，前侧，部分，前侧， 是是 在在yoz平面上的投影平面上的投影. .故原式故原式其中其中 是椭球是椭球 的体积的体积. .例例3. 3. 计算曲面积分计算曲面积分 其中其中 是球面是球面 的外侧。的外侧。解：由于解：由于 关于关于zox平面对称平面对称,函数函数 在对称点在对称点处的值相等，所以处的值相等，所以 。当。当x与与z互换时，互换时， 的方程及侧不变，所以的方程及侧不变，所以其中其中 是是 的的 的部分的部分,且且在对称点处的值互为相反数，所以有在对称点处的值互为相反数，所以有例例4 4 计算计算 其中其中 是柱面是柱面 及两平面及两平面 所围立体所围立体 表面的外侧。表面的外侧。解：解： 是外侧曲面，但原点在是外侧曲面，但原点在 内部，内部， 都不连续都不连续( (没定义没定义),),从而不能运用高斯公式从而不能运用高斯公式. .又又 关于关于xoy平面对称，平面对称， 在对称点处的在对称点处的值相等值相等, ,所以所以于是于是其中其中由积分性质，有由积分性质，有又又 关于关于yoz平面对称，平面对称， 在对称点处的在对称点处的值互为相反值互为相反, ,所以所以其中其中 是是 的的 的部分的部分, ,前侧前侧, , 是是 在在yoz平面的投影。平面的投影。例例5 5 求曲面积分求曲面积分 ，其中其中 是上半球是上半球 的上侧。的上侧。解：令解：令 ，则，则 成为上半球面成为上半球面的上侧。的上侧。其中添加其中添加( (下侧下侧) )使使闭曲面闭曲面, ,应用高斯公式计算。应用高斯公式计算。是外侧是外侧例例6 6 计算计算 其中其中 是曲面是曲面 的外侧。的外侧。解：由于解：由于 在原点不连续，所以不能直接应用高斯公式。在原点不连续，所以不能直接应用高斯公式。为此作小球面为此作小球面使之使之含在含在 中中并取外侧并取外侧. .由于除原点外，都有由于除原点外，都有成立成立, ,故故