第 1 页 共 19 页一(1)选择题1. 设 A，B 为 n 阶矩阵，则必有（）A.222()2ABAABBB.22()()AB ABABC.()()()()AEAEAEAED.222() ABA B2对于n元齐次线性方程组0Ax，以下命题中，正确的是（）(A) 若A的列向量组线性无关，则0Ax有非零解；(B) 若A的行向量组线性无关，则0Ax有非零解；(C) 若A的行向量组线性相关，则0Ax有非零解(D) 若A的列向量组线性相关，则0Ax有非零解；3若齐次线性方程组0002321321321xxkxxkxxxxx有非零解，则k必须满足（） 。（A）4k（B）1k（C）1k且4k（D）1k或4k4若存在可逆矩阵 C，使1BC AC，则 A 与 B()(A) 相等(B) 相似(C)合同（D)可交换5.向量组r,21线性相关且秩为 s，则()（A）sr (B)sr (C)rs (D)rs 6矩阵A与B相似的充分条件是（） 。（A）BA （B）)()(BrAr（C）A与B有相同的特征多项式（D）n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值互不相同。一(2)选择题1. 设 A，B 为 n 阶矩阵，则必有（）A.222()2ABAABBB.22()()AB ABABC.()()()()AEAEAEAED.222() ABA B2、设有n维向量组（） ：12,r 和（） ：12,()mmr ，则（） (A)向量组（）线性无关时，向量组（）线性无关；第 2 页 共 19 页(B)向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关；(C) 向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关；(D) 向量组（）线性无关时，向量组（）线性相关3.设 A 是 n 阶矩阵，O 是 n 阶零矩阵，且 A2-E=O，则必有（）A.A=EB.A=-EC .A=A-1D.|A|=14已知向量组2, 5 , 4, 0,0 , 0 , 2,1 , 1, 2 , 1321t的秩为 2，则t（ ） 。（A）3（B）3（C）2（D）25矩阵A与B相似的充分条件是（） 。（A）BA （B）)()(BrAr（C）A与B有相同的特征多项式（D）n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值互不相同。6.设nm矩阵A的秩等于n，则必有（） 。（A）nm （B）nm （C）nm （D）nm 一(3)、选择题：1.已知B为可逆矩阵，则11() TTB_(A)B(B)TB(C)1B(D)1()TB2. 若齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx有非零解,则（）A.1 或-2B. 1 或2C.1 或 2D.1 或 2.3.,A B均为n阶方阵，且()0A BE，则（）(A)ABA(B)| 0|B| 1A 或(C)| 0|B-E| 0A 或(D)0ABE或4.设A是sn 矩阵，则齐次线性方程组0Ax 有非零解的充要条件().A.A的行向量组线性无关B.A的列向量组线性无关C.A的行向量组线性相关D.A的列向量组线性相关第 3 页 共 19 页5. 设2326219321862131D，则42322212AAAA()。(A) 1(B) -1(C) 0(D) 2一(4)、选择题：1. 设n阶矩阵A的行列式等于D，则kA等于 （）.)(AkA)(BAkn)(CAkn 1)(DA2. 设向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则（）.(A)()(ARBR(B)()(ARBR(C)()(ARBR(D)()(ARBR3. 设n阶矩阵A，B和C，则下列说法正确的是（）.)(AACAB 则CB )(B0AB,则0A或0B)(CTTTBAAB)()(D22)(BABABA4.向量组)0 , 1 , 1 (, )0 , 0 , 0(, )0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (4321的最大无关组为（）（A）21,(B)421,(C)43,（D）321,5.n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是.(A) 矩阵A有n个特征值(B) 矩阵A有n个线性无关的特征向量(C) 矩阵A的行列式0A (D) 矩阵A的特征方程没有重根一(5)、单项选择题1、若1333231232221131211aaaaaaaaa，则333231312322212113121111232323aaaaaaaaaaaa（）A、0B、3C、1D、-32、设A、B为n阶方阵，I为n阶单位阵，则下列等式正确的是（）A、ABBABA2)(222B、)(22BABABA第 4 页 共 19 页C、ABABAA)()(D、IAAIA2)(223、设nm矩阵A的秩等于n，则必有（ ） 。A、nm B、nm C、nm D、nm 4、设A、B为n阶方阵，则下列说法正确的是（）A. 若OAB ，则0A或0BB. 若OAB ，则OA 或OB C. 若0AB，则OA 或OB D. 若0AB，则OA 且OB 5、设2326219321862131D，则42322212AAAA()。A、1B、-1C、0D、26、向量组n,21 线性无关的充要条件是（）A、任意i不为零向量B、n,21 中任两个向量的对应分量不成比例C、n,21 中有部分向量线性无关D、n,21 中任一向量均不能由其余 n-1 个向量线性表示7、设A为n阶方阵，且秩().,Ana a112是非齐次方程组AXB的两个不同的解向量,则AX 0的通解为()A、1kB、2kC、)(21kD、)(21k8、已知2),(321R,3),(432R,则 ()A、321,线性无关B、432,线性相关C、1能由32,线性表示D、4能由321,线性表示第 5 页 共 19 页一(6)、1、行列式333222111321321321aaaaaaaaaD的值为（）A、0B、1C、2D、32、设 A、B、C 为 n 阶方阵，则下列说法正确的是（）A、若OAB ，则0A或0BB、ABBABA2)(222C、111)(BABAD、若ACAB ，则CB 3、满足矩阵方程200112101211021X的矩阵X（）A、023B、113102C、011410321D、5433744、设nm矩阵A的秩等于n，则必有（ ）.A、nm B、nm C、nm D、nm 5、已知, ,A B C均为n阶可逆矩阵，且ABCI，则下列结论必然成立的是（ ）.A、BCAIB、ACBIC、BACID、CBAI6、设A为n阶方阵，nrAR)(，则A的行向量中（）A、必有r个行向量线性无关B、任意r个行向量构成极大线性无关组C、任意r个行向量线性相关D、任一行都可由其余r个行向量线性表示7、设A为n阶方阵，且1)( nAr，21,是 AX=0 的两个不同解，则21，一定（）A、线性相关B、线性无关C、不能相互线性表示D、有一个为零向量8、设有n维向量组（） ：12,r 和（） ：12,()mmr ，则（） A、向量组（）线性无关时，向量组（）线性无关B、向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关第 6 页 共 19 页C、向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关D、 向量组（）线性无关时，向量组（）线性相关一（7）选择题选择题1.设 A 为 n 阶方阵, 则正确的结论是 ()(A) 如果2,AO那么 A=O(B) 如果2,AA那么 A=O 或 A=E(C) 如果,AO那么0A (D) 如果0,A 那么AO2. 设1234xx1232yy105,12则12,y y（)(A)（1，2）(B) （1，1）(C) （2，1）(D)（1，1）3在矩阵 A 中增加一列而得到矩阵 B，设 A、B 的秩分别为1r,2r，则它们之间的关系必为：()(A)12 rr(B)12 1rr(C)12 rr(D)12 rr4.A,B均为n阶矩阵，且22()()AB ABAB，则必有（）(A)BE(B)AE(C)ABBA(D)AB5. 已知向量组 A 线性相关， 则在这个向量组中()(A)必有一个零向量 .(B)必有两个向量成比例 .(C)必有一个向量是其余向量的线性组合 .(D)任一个向量是其余向量的线性组合 .6. 设 A 为n阶方阵，且秩( )1R An,12,a a是非齐次方程组Axb的两个不同的解向量, 则 Ax=0 的通解为()(A)12()k aa(B)12()k aa(C)1ka(D)2ka一一. （8）选择题选择题1设(.)表示排列的逆序数, 则(51324)= ()(A)1(B) 5(C) 3(D) 22.设123, 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量, 且系数矩阵 A 的第 7 页 共 19 页秩等于 3,1 (1,2,3,4) ,T23 (0,1,2,3) ,TC 表示任意常数，则方程组 Ax=b的通解x = ()(A)1121 ;3141C (B)1021 ;3244C (C)1223 ;3445C (D)1324 .3546C 3. 已知向量组1,mK线性相关，则（）(A) 该向量组的任何部分组必线性相关(B) 该向量组的任何部分组必线性无关(C) 该向量组的秩小于m(D) 该向量组的最大线性无关组是唯一的4设有矩阵,m ll nm nABC则下列运算可行的是 ()(A)ABC(B)TA CB(C)TABC(D)TCB A5n 阶矩阵 A 可对角化，则（）(A) A 的秩为 n(B) A 必有 n 个不同的特征值(C) A 有 n 个线性无关的特征向量(D) A 有 n 个两两正交的特征向量6. 若有1133016 ,02135kkk 则 k 等于(A) 1(B) 2(C)3(D) 4二(!)填空题1.设矩阵21100413aA有一个特征值2,对应的特征向量为12 ,2x 则数a=_.2.若 3 阶方阵 A 的三个特征根分别是1,2,3则方阵 A 的行列式A 3设矩阵 A=1 0 20 1 0，B=3 010 1 0，则 ABT=_第 8 页 共 19 页4.行列式333222111321321321aaaaaaaaaD的值为5.设矩阵 A=1101 0012 0000 ，则齐次线性方程组0Ax 的基础解系的向量个数为;6设向量组TTTa)2, 1, 1 (,) 1, 2 , 1 , 2(,)2 , 6 , 3 , 1 (321线性相关,则a二(2)填空题1.设矩阵21100413aA有一个特征值2,对应的特征向量为12 ,2x 则数 a=_.2.若 n 阶矩阵 A 有一个特征根为 2。则2AI3设矩阵 A=1 0 20 1 0，B=3 010 1 0，则 ABT=_4. 若 n 阶矩阵 A 满足224AAI，则1()IA=.5在 5 阶行列式中，项5314453221aaaaa的符号为6设向量组TTTa)2, 1, 1 (,) 1, 2 , 1 , 2(,)2 , 6 , 3 , 1 (321线性相关,则a二(3)、填空题：1.设A为三阶矩阵，*A为其伴随矩阵，已知1A ，那么*A _.2.R AB_ R ARB.3. n 阶矩阵A满足_，称 A 为正交矩阵4. 若Tk11与T121正交，则k5.矩阵1302A的逆矩阵为_.二(4)、填空题：第 9 页 共 19 页1,112301 =.2.排列 7623451 的逆序数是.3.若 A 为m n矩阵，则齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是_.4. 向量( 2,1,0,2)T的模（范数）_.5.设A为 3 阶方阵，且|=-2A，则A的伴随矩阵*A的行列式*|A=_.二(5)、填空题1、已知矩阵BA，满足EBBA2，且2112A,则 B 的行列式=.2、设03540202kkD当且仅当 k=3、若A、B均为 3 阶矩阵，且2A，3B，则3*3BA4、dcbaA,且)0(bcad，则*A 5、设向量组TTTa)2, 1, 1 (,) 1, 2 , 1 , 2(,)2 , 6 , 3 , 1 (321线性相关,则a6、若齐次线性方程组0002321321321xxkxxkxxxxx有非零解，则k二(6)、填空题1、在 5 阶行列式中，项5314453221aaaaa的符号为2、I为n阶单位矩阵，k为整数，则)(kIR3、若A、B均为n阶矩阵，且2A，022IABA，则 BA4、如果n,21 线性无关，且1n不能由n,21 线性表示，则121, n第 10 页 共 19 页的线性5、设T)5 , 2(1,Ta)1 (2，当a时，21,线性相关.6、行列式0001002103014121二二（7） 填空填空1已知A=1101，则2016A_。2. 设2是可逆矩阵 A 的一个特征值,则矩阵1213A的一个特征值为。3.设123456333A，则齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系所含向量个数为_。4. 设 A,B 均为 4 阶方阵，且2A ，3B 则1A B。5. 在五阶行列式中，项2543543112aaaaa的符号应取( 填正号或负号)。6. 已知 B 为可逆矩阵,则11() TTB=。二二（8）填空填空1设31,13A则4A 。2矩阵方程组m nAXB有解的充分必要条件是_。3. 设向量组12:,lB b bbL能由向量组12:,mA a aaL线性表示，则12(,)mR a aa12( ,)lR b bb。(填“=”或“”或“”)4. 设 A,B 均为 3 阶方阵，且2A ，3B ，则12TA B_。5.设向量组11,1,1T,21,2,3T,31,3,Tt线性无关， 则t。6.第 11 页 共 19 页若 n 阶矩阵 A 有一个特征值是 1,则253AAE有一个特征值三(1)计算题1.设245031001A，求(4E) (4E)TAA。2.计算行列式1111111111111111xxDyy3解矩阵方程XBAX,其中101111010A，350211B。4求线性方程组12222412432143214321xxxxxxxxxxxx的解。5.设11124233Ax，已知 A 与对角形矩阵相似，A 的特征值是 2,2,y，求 x 和 y 的值。6给定向量组123412341345,.011246ab 已知矩阵1234()A，的秩为( )2,R A 求（1）, a b的值； （2）向量组4321，的一个极大线性无关组；（3）把其余向量用这个最大线性无关组表示出来.(6 分)三(2)计算题第 12 页 共 19 页1计算A0112012120112110。2解矩阵方程XBAX,其中101111010A，350211B。3求下列矩阵的列向量组的一个极大无关组，并将其余列向量用此极大无关组线性表示1 1 2 210 2 1 511 1 0 414求线性方程组12222412432143214321xxxxxxxxxxxx的解。5.设21222361xA ，40000002By，已知 A 与 B 相似，求 x 和 y 的值。6齐次线性方程组02043032321321321axxxxxxxxx中，当a为何值时有非零解，并求出其通解。三(3)、计算题1. 已知25461321X，求X.第 13 页 共 19 页2. 求阶 n 行列式 D=xabcaxbcabxc3. 求矩阵201034011A的特征值和特征向量4. 设线性方程组123123123(1)0,(1)3,(1),xxxxxxxxx问取何值时，此方程组（1）有唯一解；(2)无解;(3)有无限多解？并在有无限多解时求其通解.5. 试求向量组 A:T1(1,1,2,2),T2(0,2,1,5),T3(2,0,3,-1),T4(1,1,0,4)的秩和该向量组 A 的一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组表示.6. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系,并用基础解系表示方程的通解1234123412340311232xxxxxxxxxxxx 三(4)、计算题 1. 计算 4 阶行列式2141312112325062D 2. 求矩阵的逆121111110A3. 求矩阵3113A的特征值和特征向量.4. 问a取什么值时向量组a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T1)线性相关,2)线性无关.5. 求下向量组的秩和一个最大无关组， 并把不属于最大无关组的列向量用最大无第 14 页 共 19 页关组线性表示123421234 ,1 ,3 ,5 .2012 6.求方程组1212341234522153223xxxxxxxxxx的全部解，并用齐次线性方程组的基础解系表示出来.三(5)、1、812784194213211112、011101110nD（主对角线为 0，其余为 1）3、判断矩阵011012111A是否可逆，并求其逆矩阵.4、设矩阵12213121A，请讨论矩阵 A 的秩.5、求 向量 组A:T)2 , 1, 1 (1，T) 1 , 3 , 0(2，T)7 , 0 , 3(3，T)2 , 2, 1 (4，T)5 , 1 , 2(5的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示.6、求非齐次线性方程组5793583332154321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx的通解.三(6)、计算题1、yyxx11111111111111112、81278419421321111第 15 页 共 19 页3、判断矩阵201013121A是否可逆，若可逆请求其逆矩阵.4、已知矩阵12243311At的秩3)(AR，请求t的值.5、求 向量组A：T)-2,6,2,0(1，T)1,-2,-1,0(2，T)-2,-4,0,2(3，T)22 ,10, 0(4，的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示.6、求齐次线性方程组7793183332154321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx的通解.三三（7） 计算题计算题1设3312A，1121B, ,求2TABB。2计算四阶行列式41241202105200117D 的值。3. 设25461321X,求矩阵X。4求矩阵3223A的特征值和特征向量。5。求向量组1=(1,-2,3,-1,2)T,2=(3,-1,5,-3,-1)T,3=(5,0,7,-5,-4)T,4=(2,1,2,-2,-3)T的秩和该向量组的一个最大无关组，并将不在最大无关组中的向量用最大无关组线性表示。第 16 页 共 19 页6 6。求非齐次线性方程组214321432143212201xxxxxxxxxxxx的通解,并求其对应的齐次线性方程组的基础解系。三（8）计算题1设3122A，2132B, 求BAAB。2. 计算五阶行列式1111098010000710605413020015D3. . 求矩阵1234012300120001A的逆矩阵1A.4求矩阵 A 的特征值与特征向量,其中110430 .102A 5 试求向量组1=(1,1,2,2)T,2=(0,2,1,5)T,3=(2,0,3,-1)T,4=(1,1,0,4)T的秩和该向量组的一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组表示。6 6取为何值时,线性方程组12312321231xxxxxxxxx有唯一解,无穷多解,无解?四(1)证明题1. 若A是反对称矩阵，B是对称矩阵， 求证:AB是反对称矩阵的充要条件是ABBA.2.已知向量组123,a a a线性无关，1223132 +2,+2,线性无关.四(2)证明题第 17 页 共 19 页1.设0是非齐次线性方程组bAX 的一个特解，1，2是其导出组0AX的一个基础解系，试证明：（1）101，202均是bAX 的解； （2）0，1，2线性无关四(3)、证明题1.设方阵 A 满足 A2A2EO 证明 A 及 A2E 都可逆 并求 A1及(A2E)12. 已知 R(a1 a2 a3)2 R(a2 a3 a4)3 证明(1) a1能由 a2 a3线性表示(2) a4不能由 a1 a2 a3线性表示四(4)、证明题1.设方阵 A 满足 A22A4EO 证明 AE 都可逆 并求(AE)12. 已知向量组123,a a a线性无关，112223331,baa baa baa，试证明向量组123,b b b线性无关.四(5)、证明题1、设向量组A：321,线性无关，求证：31，12，32线性无关.2、设A为为n阶可逆矩阵，*A为A的伴随矩阵，求证：nAR)(*.四(6)、证明题1、设向量组A：321,线性无关，求证：212，1323，133线性无关.2、设A为为n阶可逆矩阵，*A为A的伴随矩阵，求证*A为满秩矩阵.四四（7 7）证明题证明题 1设 n 阶方阵 A 满足320AAAE,证明：矩阵 A 可逆,并求出其逆矩阵。2 2若向量组 123,线性无关，而1123，21232，四（四（8） 证明题证明题1已知向量组A1(0,1,1)Ta ，2(1,1,0)Ta ，向量组B1( 1,0,1)Tb ，2(1,2,1)Tb ，3(3,2, 1)Tb ， 证明：向量组A与向量组B等价。第 18 页 共 19 页2 （4 分）设A是n阶矩阵，若方阵 A 满足 A2-2A-4E = O，证明：A+E 可逆，并求矩阵1AE。