39 曲曲 率率一、弧微分弧微分二、曲率及其计算公式曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径有向弧段的值、弧微分公式曲率、曲率的计算公式曲率圆曲率半径一、弧微分一、弧微分 s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s0，相反时s0xyOM0x0Mxs0 显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数 设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增量为Ds，于是 下面来求s(x)的导数及微分M0MM x0x x+DxDxDyxyODs1，因为因此由于ss(x)是单调增加函数，从而于是 ds 这就是弧微分公式 ) jM1M2N1N2 观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度，M0MM DsDa xyOa+Da)a)sC 设曲线C是光滑的，曲线 线C上 从 点M 到 点M 的 弧为Ds ，切线的转角为Da 平均曲率：曲率：曲率的计算公式： 设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数于是从而，有因为tan a y ，所以 例1 计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率解因此，y|x11，y|x12曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为 例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？ 解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，代入曲率公式，得要使K 最大，只须2axb0，抛物线的顶点因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为K|2a| 对应的点为 2若曲线由参数方程给出，那么曲率如何计算？ 1直线上任一点的曲率等于什么？讨论： 提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0于是 提示： 曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r 有如下关系：曲线在M点的曲率中心三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径M y=f(x)xyOD r曲线在M点的曲率半径曲线在M点的曲率圆 例3 设工件表面的截线为抛物线y04x 2现在要用砂轮磨削其内表面问用直径多大的砂轮才比较合适？42O2xy y=04 x2 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 例3 设工件表面的截线为抛物线y04x 2现在要用砂轮磨削其内表面问用直径多大的砂轮才比较合适？y08x ，y08，y|x00，y|x008抛物线顶点处的曲率半径为所以选用砂轮的半径不得超过125单位长，即直径不得超过250单位长08把它们代入曲率公式，得