第一章第一章 有限元基本理论有限元基本理论平衡方程平衡方程几何方程几何方程物理方程物理方程边界条件边界条件物理系统物理系统有限元离散有限元离散单元的位移场单元的位移场(假定单元内位移函数假定单元内位移函数)单元节点关系单元节点关系求解区域的位移场、应力场求解区域的位移场、应力场简简单单化化1.1 有限元分析有限元分析 (FEA)有有限限元元分分析析 是是利利用用数数学学近近似似的的方方法法对对真真实实物物理理系系统统（几几何何和和载载荷荷工工况况）进进行行模模拟拟。它它利利用用简简单单而而又又相相互互作作用用的的元元素素，即即单单元元，用用有有限限数数量量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。的未知量去逼近无限未知量的真实系统。1.2 有限单元法的基本思想有限单元法的基本思想v将将连连续续的的结结构构离离散散成成有有限限个个单单元元，并并在在每每一一单单元元中中设设定定有有限限个个节节点点，将将连连续续体体看看作作只只在在节节点点处处相相连连接接的一组单元的集合体。的一组单元的集合体。v选选定定场场函函数数的的节节点点值值作作为为基基本本未未知知量量，并并在在每每一一单单元元中中假假设设一一近近似似插插值值函函数数，以以表表示示单单元元中中场场函函数数的的分布规律。分布规律。v利利用用力力学学中中的的某某种种变变分分原原理理去去建建立立用用以以求求节节点点未未知知量量的的有有限限单单元元法法方方程程，将将一一个个连连续续域域中中有有限限自自由由度度问题化为离散域中有限自由度问题。问题化为离散域中有限自由度问题。1.3 物理系统举例物理系统举例几何体几何体 载荷载荷 物理系统物理系统结构结构热热电磁电磁1.3.1 平衡方程平衡方程1.3.2 几何方程几何方程1.3.3 物理方程物理方程(本构方程本构方程)拉梅系数拉梅系数体积应变体积应变剪切模量剪切模量1.3.4 边界条件边界条件应力边界条件应力边界条件位移边界条件位移边界条件1.4 有限元模型有限元模型真实系统真实系统有限元模型有限元模型 有限元模型有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象是真实系统理想化的数学抽象。1.5 自由度自由度(DOFs)自由度自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性用于描述一个物理场的响应特性。结构结构 DOFs 结构结构 位移位移 热热 温度温度 电电 电位电位 流体流体 压力压力 磁磁 磁位磁位 问题问题 自由度自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ1.6 节点和单元节点和单元节节点点:空空间间中中的的坐坐标标位位置置，具具有有一一定自由度和定自由度和存在相互存在相互物理作用物理作用。单单元元: 一一组组节节点点自自由由度度间间相相互互作作用用的的数数值值、矩矩阵阵描描述述（称称为为刚刚度度或或系系数数矩矩阵阵)。单单元元有有线线、面面或或实实体体以以及及二二维或三维的单元等种类。维或三维的单元等种类。有有限限元元模模型型由由一一些些简简单单形形状状的的单单元元组组成成，单单元之间通过元之间通过节点节点连接，并承受一定连接，并承受一定载荷载荷。载荷载荷载荷载荷1.6 节点和单元节点和单元 (续续)信息是通过单元之间的公共节点传递的。信息是通过单元之间的公共节点传递的。分分离离但但节节点点重重叠叠的的单单元元A和和B之之间间没没有有信信息息传传递递（需需进进行行节点合并处理）节点合并处理）具具有有公公共共节节点点的的单单元元之之间间存存在信息传递在信息传递 .AB.AB.1 node2 nodes1.6 节点和单元节点和单元 (续续)节点自由度是随连接该节点节点自由度是随连接该节点 单元类型单元类型 变化的。变化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元三维杆单元 (铰接铰接) UX, UY, UZ三维梁单元三维梁单元UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ二维或轴对称实体单元二维或轴对称实体单元UX, UY三维四边形壳单元三维四边形壳单元UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ三维实体热单元三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元三维实体结构单元UX, UY, UZ1.7 单元形函数单元形函数FEA仅仅求解节点处的仅仅求解节点处的DOF值。值。单单元元形形函函数数是是一一种种数数学学函函数数，规规定定了了从从节节点点DOF值值到单元内所有点处到单元内所有点处DOF值的计算方法。值的计算方法。因因此此，单单元元形形函函数数提提供供出出一一种种描描述述单单元元内内部部结结果果的的“形状形状”。单元形函数描述的是给定单元的一种单元形函数描述的是给定单元的一种假定假定的特性。的特性。单单元元形形函函数数与与真真实实工工作作特特性性吻吻合合好好坏坏程程度度直直接接影影响响求解精度。求解精度。真实的二次曲线真实的二次曲线.节点节点单元单元 二次曲线的线性近似二次曲线的线性近似 (不理想结果不理想结果).21.7 单元形函数单元形函数(续续)节点节点单元单元 DOF值二次分布值二次分布.1节点节点 单元单元 线性近似线性近似(更理想的结果更理想的结果)真实的二次曲线真实的二次曲线. . . .3节点节点单元单元二次近似二次近似 (接近于真实的二次近似拟合接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果最理想结果).41.7 单元形函数单元形函数(续续)vDOF值值可可以以精精确确或或不不太太精精确确地地等等于于在在节节点点处处的的真真实实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。v这些平均意义上的典型解是从单元这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来推导出来的（如：结构应力、热梯度）。的（如：结构应力、热梯度）。 nodal solutionelement solutionUX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ、E1.7 单元形函数单元形函数(续续)v如如果果单单元元形形函函数数不不能能精精确确描描述述单单元元内内部部的的DOFs，就就不不能能很很好好地地得得到到导导出出数数据据，因因为为这这些些导导出出数数据据是是通过单元形函数推导出来的。通过单元形函数推导出来的。v当当选选择择了了某某种种单单元元类类型型时时，也也就就十十分分确确定定地地选选择择并并接受接受该种单元类型所假定的单元形函数。该种单元类型所假定的单元形函数。v在在选选定定单单元元类类型型并并随随之之确确定定了了形形函函数数的的情情况况下下，必必须须确确保保分分析析时时有有足足够够数数量量的的单单元元和和节节点点来来精精确确描描述述所要求解的问题。所要求解的问题。1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v就就整整个个直直杆杆来来说说，位位移移函函数数U(x)是是未未知知的的，但但对对每每一一单单元元可可以以近近似似地地假假设设一一位位移移函函数数，它它在在结结点点上上等等于于结结点点位位移移。此此处处，假假设设单单元元中中的的位位移移按按线线性性分分布布 ，即：，即：1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应变和应力用节点位移表示的公式：变和应力用节点位移表示的公式： 1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v外载荷与结点的平衡方程外载荷与结点的平衡方程为第为第i个结点上承受的外载荷个结点上承受的外载荷1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v假定将直杆分割成假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为个单元，每个单元长为a=L/3，则对结点则对结点2，3，4列出的平衡方程为：列出的平衡方程为：1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)1.8 直杆受自重作用的拉伸问题直杆受自重作用的拉伸问题(续续)v联立求解线性代数方程组得：联立求解线性代数方程组得：1.9 有限单元法解题的一般步骤有限单元法解题的一般步骤v结构的离散化结构的离散化v选择位移模式选择位移模式v建立平衡方程建立平衡方程v求解节点位移求解节点位移v计算单元中的应力和应变计算单元中的应力和应变1.9.1 结构的离散化结构的离散化v将将分分析析的的结结构构物物分分割割成成有有限限个个单单元元体体，使使相相邻邻的的单单元元体体仅仅在在节节点点处处相相连连接接，而而以以如如此此单单元元的的结结合合体去代替原来的结构。体去代替原来的结构。1.9.2 选择位移模式选择位移模式(形函数形函数)v首先对单元假设一个位移差值函数，或称之为位移首先对单元假设一个位移差值函数，或称之为位移模式，得到用节点位移表示单元体内任一点的唯一模式，得到用节点位移表示单元体内任一点的唯一的关系式的关系式v有了位移模式，就可利用几何关系和应力有了位移模式，就可利用几何关系和应力-应变关系应变关系表出用单元节点位移表示单元中应变和应力的表达表出用单元节点位移表示单元中应变和应力的表达式式1.9.3 三角形单元的形函数三角形单元的形函数v基基本本假假定定：假假定定单单元元内内的的位位移移可可以以用用一一个个比比较较简简单单的的函函数数来来表表示示，如如线线性性插插值值函函数数。这这在在单单元元划划分分比比较较密密的的情情况况下下是合理可行的。是合理可行的。1.9.3 三角形单元的形函数三角形单元的形函数(续续)v将将三三角角形形单单元元的的3个个顶顶点点的的2个个方方向向位位移移代代入入位位移移函函数数可可求求出出6个个待待定定系系数数。即即可可用用节节点的位移表示内部任意一点的位移：点的位移表示内部任意一点的位移：1.9.4 建立平衡方程建立平衡方程v可可利利用用最最小小势势能能原原理理建建立立结结构构的的节节点点载载荷荷和和节节点点位位移之间的关系式，即结构的平衡方程移之间的关系式，即结构的平衡方程1.9.5 求解结点位移求解结点位移v将边界条件代入线性代数方程组将边界条件代入线性代数方程组 后，后，经解算可求得所有未知的结点位移。经解算可求得所有未知的结点位移。1.9.6 计算单元中的应变和应力计算单元中的应变和应力v依据求得的结点位移，由依据求得的结点位移，由可求得单元中任一点的应变和应力。可求得单元中任一点的应变和应力。