( (人教版人教版) )数学九年级上册数学九年级上册课件：课件：24-1-224-1-2圆圆2(2(共共3232张张PPT)PPT) 这座桥建于隋开皇大业年间，由一名普通这座桥建于隋开皇大业年间，由一名普通的石匠李春所建，距今已有的石匠李春所建，距今已有14001400多年的历史。多年的历史。在漫长的岁月中，虽然经历过无数次洪水冲在漫长的岁月中，虽然经历过无数次洪水冲击、风吹雨打、冰雪风霜的侵蚀和八次地震击、风吹雨打、冰雪风霜的侵蚀和八次地震的考验，却仍然安然无恙、巍然挺立在的考验，却仍然安然无恙、巍然挺立在洨洨河河上。上。 这种设计，在建桥史上是一个创举，既减轻了流这种设计，在建桥史上是一个创举，既减轻了流水对桥身的冲击力，使桥不容易被大水冲毁，又减水对桥身的冲击力，使桥不容易被大水冲毁，又减轻了桥身的重量，节省了石料。直到轻了桥身的重量，节省了石料。直到1919世纪中叶，世纪中叶，才在欧洲国家出现，比赵州桥晚才在欧洲国家出现，比赵州桥晚12001200多年。赵州桥多年。赵州桥表现了劳动人民的智慧和才干，是我国宝贵的历史表现了劳动人民的智慧和才干，是我国宝贵的历史遗产。遗产。赵州桥的主桥是圆弧形赵州桥的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所弧所对的弦的长对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵州桥主桥你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形圆是轴对称图形. .圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线, ,它有无它有无数条对称轴数条对称轴. .OOABCDE把一个圆沿着它的任意一条直把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？么？由此你能得到什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴在直线都是它的对称轴如图，如图，AB是是O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CD AB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 二二（1 1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CDCD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BE弧：，弧：，把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，点点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，和和 重合，重合，和和重合重合AM=BM,AB是是 O的一条弦的一条弦.n作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.On发现图中有发现图中有:ABCDMn由由 CD是是直直径径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧.探究垂径定理结论的得出方法探究垂径定理结论的得出方法（1）利用折叠重合）利用折叠重合（2）利用全等）利用全等（3）利用等腰三角形的）利用等腰三角形的 三线合一性质三线合一性质OAMBCD探究垂径定理探究垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧.题设题设结论结论（1）直径）直径（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧垂径定理垂径定理符号语言符号语言定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧. 探究垂径定理探究垂径定理OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD. (M是是AB的中点的中点)（C、D是弧的中点）是弧的中点）直径平分弦，并且直径平分弦，并且平分及平分及OABCDE垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧即即，zxxkwAM=BM,n由由 CD是直是直径径 CDAB可推得可推得AD=BD. AC=BC,CDAB,n由由 CD是直是直径径 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得可推得垂径定理：垂径定理：推论：推论：判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的平分弧的直径必平分弧所对的( ( ) ) 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 ( ) ( )垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦( ) ( ) 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦( ) ( ) 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 ( ) ( )平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦( ) ( ) 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 ( ) ( )解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题例例2 2、赵州桥的主桥是圆弧形、赵州桥的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的弧的中点到弦的距离中点到弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？州桥主桥拱的半径吗？解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在Rt OAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB 相交于点相交于点D，根据前面的结论，根据前面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高解：解：1 1如图，在如图，在O O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8cm8cm，圆心，圆心O O到到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，求，求O O的半径的半径OABE练习练习解：解：答：答：O的半径为的半径为5cm.在在Rt AOE 中中 zxxkw2如图，在如图，在O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明： 四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又 AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. 某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为宽度为.2 m .2 m ，过，过O O 作作OC OC AB AB 于于D D， 交圆弧交圆弧于于C C，CD=2.4mCD=2.4m， 现有一艘宽现有一艘宽3m3m，船舱顶部为方，船舱顶部为方形并高出水面（形并高出水面（ABAB）2m2m的货船要经过拱桥，此货的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO 垂垂直直 直直径径 半半径径过圆心的直线过圆心的直线如图如图, O直径直径CD与弦与弦AB（非直径）交于点（非直径）交于点M，添加一个条件：添加一个条件：_，就可得到点，就可得到点M是是AB的中点的中点.小试牛刀小试牛刀EEE在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧或相等的圆弧例例1 1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径径径径OB=10OB=10OB=10OB=10，水面宽，水面宽，水面宽，水面宽AB=16AB=16AB=16AB=16。求截面圆心。求截面圆心。求截面圆心。求截面圆心O O O O到水面的距离。到水面的距离。到水面的距离。到水面的距离。DC1088想一想想一想: :排水管中水最深多少排水管中水最深多少? ?解：连结OAOMAB，OM4，AB2AM6(cm)变式变式1：如图所示，直径为：如图所示，直径为10cm的的 圆中，圆心到弦圆中，圆心到弦AB的距离的距离4cm 求弦求弦AB的长的长变式变式2、 如图，已知在如图，已知在 O中，弦中，弦AB的的长为长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离为的距离为3厘厘米，求米，求 O的半径。的半径。.AEBO题后小结：题后小结：1作作圆心到弦的距离圆心到弦的距离和和连连半径半径是圆中常见的辅助线；是圆中常见的辅助线；OABCr rd d2 半径（半径（r)、半弦、圆心、半弦、圆心到弦的距离到弦的距离(d)组成的直角三组成的直角三角形是研究与圆有关问题的角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：主要思路，它们之间的关系：DC1088.AEBO垂径定理的应用垂径定理的应用变式变式：如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧( (即图中弧即图中弧CD,CD,点点O O 是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的一上的一点点, ,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求这段弯路的半径。求这段弯路的半径。解解: :连接连接OC OC O OC CD DE EF F例例3、 已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆为圆心的两个同心圆中，大圆的弦的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。求证：求证：ACBD。E.ACDBO与相等与相等证明：过点作证明：过点作 AB于点，于点，则，则，所以，所以，即即变式变式 ：如图，已知如图，已知AB为为 O 的直径，的直径，AC为弦，为弦，OD AC，交交AC于点于点D，BC=6cm，求，求OD的长。的长。ACBDO新建 (6).doc如图，过已知如图，过已知P为为O内的一点，你能用三角内的一点，你能用三角尺画尺画O 的一条弦的一条弦AB,使点使点P恰为恰为AB的中点吗？的中点吗？说明你的理由。说明你的理由。BCBCBC就是所要求的弦就是所要求的弦本节课主要内容本节课主要内容：（1 1）圆的轴对称性；（）圆的轴对称性；（2 2）垂径定理）垂径定理2 2垂径定理的应用：垂径定理的应用： 计算和证明计算和证明3 3、小结解题的主要方法：、小结解题的主要方法： （1） 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.AEBO （2 2）半径（）半径（r)r)、半弦、弦心距、半弦、弦心距(d)(d)组成的直角三角组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系： 进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇强子，别跑了，快来我给你扇扇”。孩。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你看热的，跑什么？你看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅长的时间隧道，袅结束