眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观背景背景 随着人类文明的不断发展，卫生设施的改善随着人类文明的不断发展，卫生设施的改善和医疗水平的提高，以前曾经肆虐全球的一些传和医疗水平的提高，以前曾经肆虐全球的一些传染性疾病已经得到了有效的控制，但是，伴随着染性疾病已经得到了有效的控制，但是，伴随着经济的增长，一些新的传染性疾病，如经济的增长，一些新的传染性疾病，如2003年时年时曾给世界人民带来深重灾难的曾给世界人民带来深重灾难的SARS病毒和如今病毒和如今依然在世界范围蔓延的艾滋病毒，仍在危害着全依然在世界范围蔓延的艾滋病毒，仍在危害着全人类的健康人类的健康.长期以来，建立传染病模型来描述传长期以来，建立传染病模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国专家学者预报传染病高潮的到来等，一直是各国专家学者关注的课题关注的课题.传染病模型传染病模型眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观1、问题的提出、问题的提出描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，用机理分析方按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型法建立模型眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观 已感染人数已感染人数 (病人病人) i(t) 每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 分析分析假设假设若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模?眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观 4.1 4.1 模型模型SISI模型模型1.1.模型的假设条件模型的假设条件SISI模型有下面两个假设条件：模型有下面两个假设条件：(1)(1)人群分为易感染者人群分为易感染者(Susceptible)(Susceptible)和已感染和已感染者者(Infective)(Infective)两类两类( (取两个单词的第一个字母，称取两个单词的第一个字母，称之为之为SISI模型模型).).以下简称为健康者和病人，以下简称为健康者和病人，t t时刻这两时刻这两类人在总人数中所占的比例分别记作类人在总人数中所占的比例分别记作s s( (t t) )和和i i( (t t).).(2)(2)每个病人每天有效接触的平均人数是常数每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率，当病人与健康者有效接触时，称为日接触率，当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人使健康者受感染变为病人. .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观 2.2.模型的建立与求解模型的建立与求解根据假设，总人数为根据假设，总人数为N N，每个病人每天可使，每个病人每天可使ss( (t t) )个健康者变为病人，因为病人人数为个健康者变为病人，因为病人人数为NiNi( (t t) )，所以每天共有所以每天共有NsNs( (t t) )i i( (t t) )个健康者被感染，于是个健康者被感染，于是NsNs( (t t) )i i( (t t) )就是病人数就是病人数NiNi( (t t) )的增加率，即有的增加率，即有(4.1)又因为s(t)i(t)1(4.2)眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观再记初始时刻(t0)病人的比例为i0，则有(4.3) 方程(4.3)是Logistic模型，它的解为(4.4)i(t)t和的图形如图4-1所示.眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观图4-1眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观3.3.模型的分析讨论模型的分析讨论由式由式(4.3)(4.3)、(4.4)(4.4)及图及图4-14-1可知可知: :(1)(1)当当时，时，达到最大值达到最大值，这，这个时刻为个时刻为(4.5)(4.5)这时病人人数增加得最快，预示着传染病高这时病人人数增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻. .t tm m与与成反成反比，因为日接触率比，因为日接触率表示该地区的卫生水平，表示该地区的卫生水平，越越小卫生水平越高，所以改善保健设施，提高卫生水小卫生水平越高，所以改善保健设施，提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来平可以推迟传染病高潮的到来. .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观(2)(2)当当t t时，时，i i11，即所有人终将被感染，即所有人终将被感染，全变为病人，这显然不符合实际情况，其原因是模全变为病人，这显然不符合实际情况，其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈型中没有考虑到病人可以治愈. .为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设. .下下面两个模型中我们讨论病人可以治愈的情况面两个模型中我们讨论病人可以治愈的情况. .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观4.2 模型模型SIS模型模型有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变为健康者，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变为健康者，健康者还可以再被感染变为病人，我们就这种情况健康者还可以再被感染变为病人，我们就这种情况建立的模型称为建立的模型称为SIS模型模型.眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观1.1.模型的假设模型的假设SISSIS模型的假设条件模型的假设条件(1)(1)、(2)(2)与与SISI模型的假设相模型的假设相同，增加的条件同，增加的条件( (即条件即条件(3)(3)为为: :(3)(3)病人每天被治愈的占病人总数的比例为病人每天被治愈的占病人总数的比例为，称为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康称为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康者，则者，则是这种传染病的平均传染期是这种传染病的平均传染期. .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观2.2.模型的建立与求解模型的建立与求解考虑到假设考虑到假设(3)(3)，SISI模型的式模型的式(4.1)(4.1)应修正为：应修正为：(4.6)(4.6) 式式(4.2)(4.2)不变，于是式不变，于是式(4.3)(4.3)应改为：应改为：(4.7)(4.7)眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观 方程方程(4.7)的解可表示为：的解可表示为：(4.8)眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观3.3.模型的分析讨论模型的分析讨论定义定义(4.9)(4.9)注意到注意到和和 的含义可知，的含义可知，是一个传是一个传染期内每个病人的有效接触的平均人数，称接触数，染期内每个病人的有效接触的平均人数，称接触数，由式由式(4.8)(4.8)和和(4.9)(4.9)容易得到，当容易得到，当t t时，时，(4.10)(4.10)眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观 根据式根据式(4.8)(4.8) (4.10)(4.10)可以画出可以画出i i( (t t) ) t t的图的图形如图形如图4-24-2所示所示. .接触数接触数1 1是一个阈值，当是一个阈值，当11时病人比例时病人比例i i( (t t) )越来越小，最终趋于零，这是由于传染期内经越来越小，最终趋于零，这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变为病人的人数不超过原来有效接触从而使健康者变为病人的人数不超过原来病人人数的缘故；当病人人数的缘故；当11时，时，i i( (t t) )的增减性取决于的增减性取决于i i(0)(0)的大小，但其极限值的大小，但其极限值i i()()1 11 1随随的增加的增加而增加而增加. .SISI模型可视为本模型的特例模型可视为本模型的特例. .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观图 4-2眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观4.3 4.3 模型模型SIRSIR模型模型1.1.模型的假设模型的假设大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以治愈后的人既非健康愈后均有很强的免疫力，所以治愈后的人既非健康者者( (易感染者易感染者) )也不是病人也不是病人( (已感染者已感染者) )，他们已经退，他们已经退出传染系统出传染系统. .这种情况下的模型假设条件为：这种情况下的模型假设条件为：(1)(1)人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)(Removed)三种，称三种，称SIRSIR模型模型. .三类人在总人数三类人在总人数N N中所中所占的比例分别为占的比例分别为s s( (t t) )、i i( (t t) )和和r r( (t t) )；(2)(2)病人的日接触率为病人的日接触率为，日治愈率为，日治愈率为，/ /. .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观2.2.模型的建立与求解模型的建立与求解由条件由条件(1)(1)，有，有s s( (t t) )i i( (t t) )r r( (t t) )1 1(4.11)(4.11)根据条件根据条件(2)(2)，方程，方程(4.6)(4.6)仍成立仍成立. .对于病愈免疫的移对于病愈免疫的移出者而言，应有出者而言，应有(4.12)(4.12) 再记初始时刻的健康者和病人的比例分别再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是是s s0 0(0)(0)和和i i0 0(0)(0)(不妨设移出者的初始值不妨设移出者的初始值r r0 00)0)，则由式则由式(4.6)(4.6)、(4.11)(4.11)和和(4.12)(4.12)，SIRSIR模型的方程可模型的方程可以写为：以写为：眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观(4.13) 方程方程(4.13)无法求出无法求出s(t)和和i(t)的解析解，的解析解，我们转到相平面我们转到相平面si上来讨论解的性质上来讨论解的性质.相轨线的定相轨线的定义域义域(s，i)D应为：应为：D(s，i)|s0，i0，si1(4.14)眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观在方程在方程(4.13)(4.13)中消去中消去d dt t，并利用式，并利用式(4.9)(4.9)，可得可得(4.15)(4.15)容易求出方程容易求出方程(4.15)(4.15)的解为：的解为：(4.16)(4.16)则在定义域则在定义域D D内，相轨线如图内，相轨线如图4-34-3所示所示. .图中图中箭头表示了随着时间箭头表示了随着时间t t的增加的增加s s( (t t) )和和i i( (t t) )的变化趋向的变化趋向. .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观图 4-3眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观3.3.模型的分析讨论模型的分析讨论下面根据式下面根据式(4.13)(4.13)、(4.16)(4.16)和图和图4-34-3分析分析t t时时s s( (t t) )、i i( (t t) )和和r r( (t t) )的变化情况的变化情况( (它们的极限值分别记它们的极限值分别记作作s s，i i和和r r).).(1)(1)首先，由式首先，由式(5.4.13)(5.4.13)，而，而s s( (t t)0)0，故，故s s存在；由式存在；由式(5.4.12)(5.4.12)知，知，而，而r r( (t t)1)1，故，故r r存在；再由式存在；再由式(5.4.11)(5.4.11)知知i i存在存在. .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观其次，若其次，若i i00，则由式，则由式(4.12)(4.12)，对于充分，对于充分大的大的t t，有，有 ，这将导致，这将导致r r，与，与r r存存在相矛盾在相矛盾. .故不论初始条件故不论初始条件s s0 0，i i0 0如何，病人终将消如何，病人终将消失，即失，即i i0 0(4.17)(4.17)从图从图4-34-3上看，不论相轨线从上看，不论相轨线从p p1 1或从或从p p2 2出发，出发，它终将与它终将与s s轴相交轴相交. .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观(2)(2)最终未被感染的健康者比例是最终未被感染的健康者比例是s s，在式，在式(4.16)(4.16)中令中令i i0 0，得到，得到s s是方程是方程(4.18)(4.18)在在 内的单根，在图内的单根，在图4-34-3中中s s是相轨线是相轨线与与s s轴在轴在 内交点的横坐标内交点的横坐标. .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观(3)(3)若若，则，则i i( (t t) )先增加，当先增加，当时，时，i i( (t t) )达到最大值达到最大值然后然后i i( (t t) )减小且趋于零，减小且趋于零，s s( (t t) )则单调减小至则单调减小至s s. .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观(4)(4)若若，则，则i i( (t t) )减小且趋于零，减小且趋于零，s s( (t t) )则单调减则单调减小至小至s s. .可以看出，如果仅当病人比例可以看出，如果仅当病人比例i i( (t t) )有一段增长的时期才有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么认为传染病在蔓延，那么 是一个阈值，当是一个阈值，当时传染病就会蔓延时传染病就会蔓延. .而减小传染期接触数而减小传染期接触数，即提高，即提高阈值阈值 ，使得，使得 ，传染病就不会蔓延，传染病就不会蔓延( (健康者比例健康者比例的初始值的初始值s s0 0是一定的，通常可认为是一定的，通常可认为s s0 01)1)，我们注意到在，我们注意到在中，人们的卫生水平越高，日接触率中，人们的卫生水平越高，日接触率越小，医疗水越小，医疗水平越高，日治愈率平越高，日治愈率越大，于是越大，于是越小，所以提高卫生水平越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延和医疗水平有助于控制传染病的蔓延. .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观从另一方面看，从另一方面看，是传染期内一个病人是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一个病人被个病人被ss个健康者交换个健康者交换. .所以当所以当 ，即，即ss0 011时，必有时，必有ss1.1.既然交换数不超过既然交换数不超过1 1，病人，病人比例比例i i( (t t) )绝不会增加，传染病就不会蔓延绝不会增加，传染病就不会蔓延. .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观我们看到在我们看到在SIRSIR模型中接触数模型中接触数是一个重要参数是一个重要参数. .可以由实际数据估计，因为病人比例的初始值可以由实际数据估计，因为病人比例的初始值i i0 0通常很小，在式通常很小，在式(4.18)(4.18)中略去中略去i i0 0可得可得(4.19)(4.19)于是当传染病结束而获得于是当传染病结束而获得s s0 0和和s s以后，由式以后，由式(4.19)(4.19)能算出能算出. .另外，对血样作免疫检验也可以根另外，对血样作免疫检验也可以根据对检验无反应和有反应，估计出据对检验无反应和有反应，估计出s s0 0和和s s，然后计，然后计算算. .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观4.4.模型验证模型验证本世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所本世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了有病人都死亡了. .死亡相当于移出传染系统，有关部死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，依此实际数据，门记录了每天移出者的人数，依此实际数据，KermackKermack等人用这组数据对等人用这组数据对SIRSIR模型作了验证模型作了验证. .首先，由方程首先，由方程(4.11)(4.11)、(4.13)(4.13)可以得到可以得到(4.20)(4.20) (4.21)(4.21)眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观当当时，取式时，取式(4.21)(4.21)右端右端e err泰勒展泰勒展开的前开的前3 3项，在初始值项，在初始值r r0 00 0下的解为：下的解为：(4.22)(4.22)其中其中. .从从式式(4.22)(4.22)容易算出容易算出 眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观 (4.23) (4.23) 然后取定参数然后取定参数s s0 0、等，画出式等，画出式(4.23)(4.23)的图的图形，如图形，如图4-44-4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示中的曲线，实际数据在图中用圆点表示. .可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错. .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观图 4-4眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观5.SIR5.SIR模型的应用模型的应用下面介绍下面介绍SIRSIR模型的两个应用模型的两个应用. .1)1)被传染比例的估计被传染比例的估计在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值例是健康者人数比例的初始值s s0 0与与t t的极限值的极限值s s之差，记作之差，记作x x，假定，假定i i0 0很小，很小，s s0 0接近于接近于1 1，由式，由式(4.18)(4.18)可得可得(4.24)(4.24)眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观取对数函数泰勒展开的前两项有取对数函数泰勒展开的前两项有(4.25)(4.25) 记记，可视为该地区人可视为该地区人口比例超过阈值口比例超过阈值 的部分的部分. .当当时式时式(4.25)(4.25)给出给出(4.26)(4.26)眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观 这个结果表明，被传染人数比例约为这个结果表明，被传染人数比例约为的的2 2倍倍. .对一种传染病，当该地区的医疗和卫生水平不对一种传染病，当该地区的医疗和卫生水平不变，即变，即不变时，这个比例就不会改变不变时，这个比例就不会改变. .而当阈值而当阈值提高时，提高时，减小，于是这个比例就会降低减小，于是这个比例就会降低. .眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观2)2)群体免疫和预防群体免疫和预防根据对根据对SIRSIR模型的分析，当模型的分析，当时传染病时传染病不会蔓延不会蔓延. .所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值变大以外，另一个途径是降低平，使阈值变大以外，另一个途径是降低s s0 0，这可以通过如预防接种使群体免疫的办法做到这可以通过如预防接种使群体免疫的办法做到. .忽略忽略病人比例的初始值病人比例的初始值i i0 0，有，有s s0 01 1r r0 0，于是传染病不，于是传染病不会蔓延的条件会蔓延的条件可以表示为可以表示为: : (4.27)(4.27)眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例移出者比例( (即免疫者比例即免疫者比例) )r r0 0满足式满足式(4.27)(4.27)，就可，就可以制止传染病的蔓延以制止传染病的蔓延. .这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的，据估计在在全体人口中，实际上这是很难做到的，据估计在印度等国天花传染病的接触数印度等国天花传染病的接触数55，由式，由式(4.27)(4.27)知知至少要有至少要有4/54/5的人接受免疫才行的人接受免疫才行. .据世界卫生组织报据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高告，即使花费大量资金提高r r0 0，也因很难做到免疫，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得天花直到者的均匀分布，使得天花直到19771977年才在全世界根年才在全世界根除除. .而有些传染病的而有些传染病的更高，根除就更加困难更高，根除就更加困难. .