一、一、函数项级数函数项级数(jsh)的概念的概念设为定义(dngy)在区间 I 上的函数项级数 .对若常数(chngsh)项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ;若常数项级数为定义在区间 I 上的函数, 称收敛,发散 ,所有为其收 为其发散点, 发散点的全体称为其发散域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共29页第一页，共30页。为级数(j sh)的和函数 , 并写成若用令余项则在收敛(shulin)域上有表示(biosh)函数项级数前 n 项的和, 即在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共29页第二页，共30页。例如例如(lr),等比级数等比级数它的收敛(shulin)域是它的发散(fsn)域是或写作又如, 级数级数发散 ;所以级数的收敛域仅为有和函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共29页第三页，共30页。二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性形如的函数(hnsh)项级数称为幂级数, 其中(qzhng)数列下面(xi mian)着重讨论例如, 幂级数为幂级数的系数 .即是此种情形.的情形, 即称 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共29页第四页，共30页。发 散发 散收 敛收敛(shulin)发散(fsn)定理定理(dngl)1.(Abel定理定理(dngl)若幂级数则对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 若当的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 ,则对满足不等式证: 设收敛,则必有于是存在常数 M 0, 使阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共29页第五页，共30页。当 时, 收敛(shulin),故原幂级数绝对(judu)收敛 .也收敛(shulin),反之, 若当时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛 ,面的证明可知,级数在点故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 ,则对一切则由前也应收敛, 与所设矛盾,证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共29页第六页，共30页。幂级数在 (, +) 收敛(shulin) ;由Abel 定理可以(ky)看出, 中心(zhngxn)的区间. 用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R = 0 时,幂级数仅在 x = 0 收敛 ;R = 时,幂级数在 (R , R ) 收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.R 称为收敛半径 ， 在R , R 可能收敛也可能发散 .外发散;在(R , R ) 称为收敛区间.发 散发 散收 敛收敛 发散机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共29页第七页，共30页。定理定理(dngl)2.若若的系数(xsh)满足证:1) 若 0,则根据(gnj)比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,即时,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共29页第八页，共30页。2) 若则根据(gnj)比值审敛法可知,绝对(judu)收敛 ,3) 若则对除 x = 0 以外的一切(yqi) x 原级发散 ,对任意 x 原级数因此因此 的收敛半径为说明: :据此定理因此级数的收敛半径机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共29页第九页，共30页。对端点(dun din) x =1, 的收敛(shulin)半径及收敛(shulin)域.解:对端点 x = 1, 级数(j sh)为交错级数(j sh)收敛; 级数为发散 . 故收敛域为例例1 1. .求幂级数求幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共29页第十页，共30页。例例2.求下列求下列(xili)幂级数的收敛域幂级数的收敛域:解: (1)所以(suy)收敛域为(2)所以级数(j sh)仅在 x = 0 处收敛 .规定: 0 ! = 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共29页第十一页，共30页。例例3.的收敛(shulin)半径 .解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用(yngyng)定理2,比值审敛法求收敛(shulin)半径.时级数收敛时级数发散 故收敛半径为 故直接由机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共29页第十二页，共30页。例例4.的收敛(shulin)域.解: 令 级数(j sh)变为当 t = 2 时, 级数(j sh)为此级数发散;当 t = 2 时, 级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共29页第十三页，共30页。三、幂级数的运算三、幂级数的运算(ynsun)定理(dngl)3. 设幂级数及的收敛(shulin)半径分别为令则有 :其中以上结论可用部分和的极限证明 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共29页第十四页，共30页。说明说明(shumng):两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径(bnjng)可能比原来两个幂级数的收敛(shulin)半径小得多.例如, 设 它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共29页第十五页，共30页。定理定理(dngl)4若幂级数若幂级数的收敛(shulin)半径(证明(zhngmng)见第六节)则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同: 注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共29页第十六页，共30页。解: 由例2可知级数的收敛(shulin)半径 R+.例例5.则故有故得的和函数(hnsh) .因此(ync)得设机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共29页第十七页，共30页。例例6.的和函数(hnsh)解: 易求出幂级数的收敛(shulin)半径为 1 ,x1 时级数(j sh)发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共29页第十八页，共30页。例例7.求级数求级数(jsh)的和函数(hnsh)解: 易求出幂级数的收敛(shulin)半径为 1 , 及收敛 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共29页第十九页，共30页。因此(ync)由和函数的连续性得:而及机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第20页/共29页第二十页，共30页。例例8.解: 设则机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第21页/共29页第二十一页，共30页。而故机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第22页/共29页第二十二页，共30页。内容内容(nirng)小结小结1. 求幂级数收敛(shulin)域的方法1) 对标准型幂级数先求收敛(shulin)半径 , 再讨论端点的收敛(shulin)性 .2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2. 幂级数的性质1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求 .乘法运算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共29页第二十三页，共30页。2) 在收敛(shulin)区间内幂级数的和函数连续;3) 幂级数在收敛区间(q jin)内可逐项求导和求积分.思考(sko)与练习 1. 已知处条件收敛 , 问该级数收敛半径是多少 ?答:根据Abel 定理可知, 级数在收敛 ,时发散 .故收敛半径为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共29页第二十四页，共30页。2. 在幂级数中,n 为奇数(j sh)n 为偶数(u sh)能否(nn fu)确定它的收敛半径不存在 ?答答:不能不能.因为当时级数收敛 ,时级数发散 ,说明: 可以证明比值判别法成立根值判别法成立机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共29页第二十五页，共30页。P215 1 (1), (3), (5), (7), (8) 2 (1), (3)P257 7 (1), (4) 8 (1), (3) 作业作业(zuy)第四节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第26页/共29页第二十六页，共30页。备用备用(biyng)题题求极限求极限其中(qzhng)解: 令作幂级数设其和为易知其收敛(shulin)半径为 1,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共29页第二十八页，共30页。感谢您的欣赏(xnshng)！第29页/共29页第二十九页，共30页。内容(nirng)总结一、 函数项级数的概念。发散点的全体称为(chn wi)其发散域 .。第1页/共29页。为级数的和函数 , 并写成。的一切 x 幂级数都绝对收敛.。可能收敛也可能发散 .。1) 若 0,。3) 当 时,。对端点 x =1,。例2. 求下列幂级数的收敛域 :。两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比。注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.。2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)。根据Abel 定理可知, 级数在第三十页，共30页。