2.3.32.3.3直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质2.3.42.3.4平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质目标导航目标导航课标要求课标要求理解直理解直线线与平面垂直、平面与平面垂直的性与平面垂直、平面与平面垂直的性质质, ,并能运用性并能运用性质质定理解决一些定理解决一些简单问题简单问题. .素养达成素养达成通通过过直直线线与平面垂直、平面与平面垂直的性与平面垂直、平面与平面垂直的性质质定理的学定理的学习习, ,锻锻炼炼了学生的了学生的逻辑逻辑思思维维能力、空能力、空间间想象能力想象能力, ,促促进进直直观观想象、想象、逻逻辑辑推理等核心素养的达成推理等核心素养的达成. .新知探求新知探求课堂探究课堂探究新知探求新知探求素养养成素养养成点击进入点击进入 情境导学情境导学知识探究知识探究1.1.直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理文字语言文字语言垂直于同一个平面的两条直线垂直于同一个平面的两条直线 . .符号语言符号语言图形语言图形语言 abab平行平行探究探究1:1:(1)(1)垂直于同一个平面的两条直线一定共面吗垂直于同一个平面的两条直线一定共面吗? ?(2)(2)三角形的两边可以垂直于同一个平面吗三角形的两边可以垂直于同一个平面吗? ?(3)(3)过一点有几条直线与已知平面垂直过一点有几条直线与已知平面垂直? ?答案答案: :(1)(1)共面共面. .由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的, ,故能确定故能确定一个平面一个平面. .(2)(2)不可以不可以. .若三角形的两边垂直于同一个平面若三角形的两边垂直于同一个平面, ,则这两条边平行则这两条边平行, ,不能构成不能构成三角形三角形. .(3)(3)有且仅有一条有且仅有一条. .假设过一点有两条直线与已知平面垂直假设过一点有两条直线与已知平面垂直, ,由直线与平面由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行垂直的性质定理可得这两条直线平行, ,应无公共点应无公共点, ,这与过同一点相矛盾这与过同一点相矛盾, ,故只有一条直线故只有一条直线. .2.2.平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理文字语言文字语言两个平面垂直两个平面垂直, ,则一个平面内则一个平面内 的的直线与另一个平面垂直直线与另一个平面垂直符号语言符号语言图形语言图形语言alal垂直于交线垂直于交线探究探究2:2:(1)(1)如果如果,则则内的直线必垂直于内的直线必垂直于内的无数条直线吗内的无数条直线吗? ? (2)(2)如果如果,过过内的任意一点作内的任意一点作与与交线的垂线交线的垂线, ,则这条直线必垂则这条直线必垂直于直于吗吗? ?答案答案: :(1)(1)正确正确. .若设若设=l,a=l,a,b,b,bl,bl,则则ab,ab,故故内与内与b b平行平行的无数条直线均垂直于的无数条直线均垂直于内的任意直线内的任意直线. .(2)(2)错误错误. .垂直于交线的直线必须在平面垂直于交线的直线必须在平面内才与平面内才与平面垂直垂直, ,否则不垂直否则不垂直. .自我检测自我检测1.(1.(面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理) )已知直线已知直线m,nm,n和平面和平面,若若,=m,=m,n n,要使要使n,n,则应增加的条件是则应增加的条件是( ( ) )(A)mn(A)mn(B)nm(B)nm(C)n(C)n(D)n(D)nB B2.(2.(线面垂直的性质定理线面垂直的性质定理) )在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,直线直线ll平面平面A A1 1C C1 1(l(l与棱与棱不重合不重合),),则则( ( ) )(A)B(A)B1 1Bl (B)BBl (B)B1 1BlBl(C)B(C)B1 1B B与与l l异面异面 (D)B(D)B1 1B B与与l l相交相交B B3.(3.(线面、面面垂直的综合应用线面、面面垂直的综合应用) )已知已知m,nm,n是两条不同的直线是两条不同的直线,是两个不是两个不同的平面同的平面, ,且且m,nm,n,则下列叙述正确的是则下列叙述正确的是( ( ) )(A)(A)若若,则则mnmn(B)(B)若若mn,mn,则则(C)(C)若若n,n,则则mm(D)(D)若若m,m,则则4.(4.(面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理) )下列命题中错误的是下列命题中错误的是( ( ) )(A)(A)如果平面如果平面平面平面,那么平面那么平面内一定存在直线平行于平面内一定存在直线平行于平面(B)(B)如果平面如果平面不垂直于平面不垂直于平面,那么平面那么平面内一定不存在直线垂直于平内一定不存在直线垂直于平面面(C)(C)如果平面如果平面平面平面,平面平面平面平面,=l,=l,那么那么ll平面平面(D)(D)如果平面如果平面平面平面,那么平面那么平面内所有直线都垂直于平面内所有直线都垂直于平面D DD D5.(5.(面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理) )已知已知m,n,lm,n,l是直线是直线,是平面是平面,=l,=l,n n,nl,m,nl,m,则直线则直线m m与与n n的位置关系是的位置关系是. .答案答案: :平行平行6.(6.(线线面面、面面面面垂垂直直的的应应用用) )设设,是是空空间间两两个个不不同同的的平平面面,m,n,m,n是是平平面面及及外外的的两两条条不不同同直直线线. .从从“mn;n;mmn;n;m”中中选选取取三三个个作作为为条条件件, ,余余下下一一个个作作为为结结论论, ,写写出出你你认认为为正正确确的的一一个个命命题题: :( (用用序号表示序号表示).).答案答案: :(或或) ) 题型一题型一 直线与平面垂直的性质定理的应用直线与平面垂直的性质定理的应用【例例1 1】(1)(1)已知两条直线已知两条直线m,n,m,n,两个平面两个平面,给出下面四个命题给出下面四个命题: :mn,mmn,mn;,mn;,m,n,nmn;mn,mmn;mn,mn;,mn,mn;,mn,mn.n.其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是( () )(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)课堂探究课堂探究素养提升素养提升(1)(1)解析解析: :由线面垂直的性质定理可知由线面垂直的性质定理可知正确正确; ;对于对于,当当,m,m ,n,n 时时,m,m与与n n可能平行也可能异面可能平行也可能异面, ,故故不正确不正确; ;对于对于,当当mn,mmn,m时时, ,nn或或n n ,故故不正确不正确; ;对于对于,由由mn,m,mn,m,得得n,n,又又,所所以以n,n,故故正确正确. .故选故选C.C.(2)(2)如图所示如图所示, ,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,M是是ABAB上的一点上的一点,N,N是是A A1 1C C的中点的中点, ,MNMN平面平面A A1 1DC.DC.求证求证:MNAD:MNAD1 1; ;(2)(2)证明证明: :因为因为ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1为正方体为正方体, ,所以所以ADAD1 1AA1 1D.D.又因为又因为CDCD平面平面ADDADD1 1A A1 1,AD,AD1 1 平面平面ADDADD1 1A A1 1, ,所以所以CDADCDAD1 1. .因为因为A A1 1DCD=D,DCD=D,所以所以ADAD1 1平面平面A A1 1DC.DC.又因为又因为MNMN平面平面A A1 1DC,DC,所以所以MNADMNAD1 1. .MM是是ABAB的中点的中点. .方法技巧方法技巧 证明两条直线平行的方法常见的有证明两条直线平行的方法常见的有:(1):(1)公理公理4:4:平行于同一平行于同一条直线的两条直线平行条直线的两条直线平行;(2);(2)线面平行的性质定理线面平行的性质定理: :如果一条直线与一个平如果一条直线与一个平面平行面平行, ,那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;(3);(3)面面平行的性质定理面面平行的性质定理: :如果两个平行平面同时和第三个平面相交如果两个平行平面同时和第三个平面相交, ,那么它那么它们的交线平行们的交线平行;(4);(4)线面垂直的性质定理线面垂直的性质定理: :垂直于同一个平面的两条直线平垂直于同一个平面的两条直线平行行. .即时训练即时训练1 1- -1:1:如图如图, ,已知已知ABAB平面平面ACD,DEACD,DE平面平面ACD,ACDACD,ACD为等边三角形为等边三角形, ,AD=DE=2AB,FAD=DE=2AB,F为为CDCD的中点的中点. .求证求证: :平面平面BCEBCE平面平面CDE.CDE.【备用例备用例1 1】 如图所示如图所示, ,已知矩形已知矩形ABCD,ABCD,过过A A作作SASA平面平面AC,AC,再过再过A A作作AESBAESB交交SBSB于点于点E,E,过点过点E E作作EFSCEFSC交交SCSC于点于点F.F.(1)(1)求证求证:AFSC;:AFSC;证明证明: :(1)(1)因为因为SASA平面平面AC,AC,BCBC 平面平面AC,AC,所以所以SABC,SABC,因为因为ABCDABCD为矩形为矩形, ,所以所以ABBC,ABBC,又又SAAB=A,SAAB=A,所以所以BCBC平面平面SAB,SAB,所以所以BCAE.BCAE.又又SBAE,BCSB=B,SBAE,BCSB=B,所以所以AEAE平面平面SBC,SBC,所以所以AESC.AESC.又又EFSC,AEEF=E,EFSC,AEEF=E,所以所以SCSC平面平面AEF,AEF,所以所以AFSC.AFSC.(2)(2)若平面若平面AEFAEF交交SDSD于点于点G.G.求证求证:AGSD.:AGSD.证明证明: :(2)(2)因为因为SASA平面平面AC,AC,所以所以SADC,SADC,又又ADDC,SAAD=A,ADDC,SAAD=A,所以所以DCDC平面平面SAD.SAD.所以所以DCAG.DCAG.又由又由(1)(1)有有SCSC平面平面AEF,AGAEF,AG 平面平面AEF,AEF,所以所以SCAG,SCAG,又又DCSC=C,DCSC=C,所以所以AGAG平面平面SDC,SDC,所以所以AGSD.AGSD.题型二题型二 平面与平面垂直的性质定理的应用平面与平面垂直的性质定理的应用【例例2 2】 (12 (12分分) )如图如图,P,P是四边形是四边形ABCDABCD所在平面外一点所在平面外一点, ,四边形四边形ABCDABCD是是DABDAB=60,=60,且边长为且边长为a a的菱形的菱形. .侧面侧面PADPAD为正三角形为正三角形, ,其所在平面垂直于底面其所在平面垂直于底面ABCD.ABCD.规范解答规范解答: :(1)(1)如图所示如图所示, ,连接连接BD.BD.因为四边形因为四边形ABCDABCD是菱形是菱形, ,且且DAB=60,DAB=60,所以所以ABDABD是正三角形是正三角形, ,2 2分分因为因为G G是是ADAD的中点的中点, ,所以所以BGAD.BGAD. 3 3分分又因为平面又因为平面PADPAD平面平面ABCD,ABCD,平面平面PADPAD平面平面ABCD=AD.ABCD=AD.所以所以BGBG平面平面PAD.PAD. 6 6分分(1)(1)若若G G为为ADAD边的中点边的中点, ,求证求证:BG:BG平面平面PAD;PAD;(2)(2)求证求证:ADPB.:ADPB.规范解答规范解答: :(2)(2)连接连接PG.PG.因为因为PADPAD为正三角形为正三角形,G,G为为ADAD的中点的中点, ,所以所以PGAD.PGAD. 7 7分分由由(1)(1)知知BGAD,BGAD,而而PGBG=G,PGBG=G,PGPG 平面平面PBG,PBG,BGBG 平面平面PBG.PBG.所以所以ADAD平面平面PBG.PBG. 1010分分又因为又因为PBPB 平面平面PBG,PBG,所以所以ADPB.ADPB. 1212分分方法技巧方法技巧 利用面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理, ,证明线面垂直的问题时证明线面垂直的问题时, ,要注意要注意以下三点以下三点:(1):(1)两个平面垂直两个平面垂直;(2);(2)直线必须在其中一个平面内直线必须在其中一个平面内;(3);(3)直线必须直线必须垂直于它们的交线垂直于它们的交线. .即时训练即时训练2 2- -1:1:已知已知: :如图如图, ,平面平面PABPAB平面平面ABC,ABC,平面平面PACPAC平面平面ABC,AEABC,AE平面平面PBC,EPBC,E为垂足为垂足. .证明证明: :(1)(1)在平面在平面ABCABC内任取一点内任取一点D,D,作作DFACDFAC于点于点F,F,作作DGABDGAB于点于点G.G.因为平面因为平面PACPAC平面平面ABC,ABC,且交线为且交线为AC,AC,所以所以DFDF平面平面PAC.PAC.因为因为PAPA 平面平面PAC,PAC,所以所以DFPA.DFPA.同理可证同理可证,DGPA.,DGPA.因为因为DGDF=D,DGDF=D,所以所以PAPA平面平面ABC.ABC.(1)(1)求证求证:PA:PA平面平面ABC;ABC;证明证明: :(2)(2)连接连接BEBE并延长交并延长交PCPC于点于点H.H.因为因为E E是是PBCPBC的垂心的垂心, ,所以所以PCBH.PCBH.又因为又因为AEAE平面平面PBC,PBC,所以所以PCAE.PCAE.因为因为BHAE=E,BHAE=E,所以所以PCPC平面平面ABE,ABE,所以所以PCAB.PCAB.又因为又因为PAPA平面平面ABC,ABC,所以所以PAAB.PAAB.因为因为PAPC=P,PAPC=P,所以所以ABAB平面平面PAC.PAC.所以所以ABAC,ABAC,即即ABCABC是直角三角形是直角三角形. .(2)(2)当当E E为为PBCPBC的垂心时的垂心时, ,求证求证:ABC:ABC是直角三角形是直角三角形. .【备用例备用例2 2】 如图如图, ,平行四边形平行四边形ABCDABCD中中,BD=2 ,AB=2,AD=4,BD=2 ,AB=2,AD=4,将将BCDBCD沿沿BDBD折起到折起到EBDEBD的位置的位置, ,使平面使平面EBDEBD平面平面ABD.ABD.(1)(1)求证求证:ABDE:ABDE(2)(2)求三棱锥求三棱锥E-ABDE-ABD的侧面积的侧面积. .题型三题型三 线面、面面垂直的综合问题线面、面面垂直的综合问题【例例3 3】 如图如图, ,三角形三角形PDCPDC所在的平面与长方形所在的平面与长方形ABCDABCD所在的平面垂直所在的平面垂直,PD=PC,PD=PC=4,AB=6,BC=3.=4,AB=6,BC=3.(1)(1)证明证明:BC:BC平面平面PDA;PDA;(1)(1)证明证明: :因为长方形因为长方形ABCDABCD中中,BCAD,BCAD,又又BCBC 平面平面PDA,ADPDA,AD 平面平面PDA,PDA,所以所以BCBC平面平面PDA.PDA.(2)(2)证明证明: :取取CDCD的中点的中点H,H,连接连接PH,PH,因为因为PD=PC,PD=PC,所以所以PHCD.PHCD.又因为平面又因为平面PDCPDC平面平面ABCD,ABCD,平面平面PDCPDC平面平面ABCD=CD,ABCD=CD,所以所以PHPH平面平面ABCD.ABCD.又因为又因为BCBC 平面平面ABCD,ABCD,所以所以PHBC.PHBC.又因为长方形又因为长方形ABCDABCD中中,BCCD,PHCD=H,BCCD,PHCD=H,所以所以BCBC平面平面PDC.PDC.又因为又因为PDPD 平面平面PDC,PDC,所以所以BCPD.BCPD.(2)(2)证明证明:BCPD;:BCPD;(3)(3)求点求点C C到平面到平面PDAPDA的距离的距离. .方法技巧方法技巧 直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系, ,当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化, ,要证线面、面面垂要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证直或平行时要用判定定理进行论证. .即时训练即时训练3-1:3-1:如图如图, ,在矩形在矩形ABCDABCD中中,AB=2BC,P,Q,AB=2BC,P,Q分别为线段分别为线段AB,CDAB,CD的中点的中点, ,EPEP平面平面ABCD.ABCD.(1)(1)求证求证:AQ:AQ平面平面CEP;CEP;(2)(2)求证求证: :平面平面AEQAEQ平面平面DEP.DEP.证明证明: :(2)(2)因为因为EPEP平面平面ABCD,AQABCD,AQ 平面平面ABCD,ABCD,所以所以AQEP.AQEP.因为因为AB=2BC,PAB=2BC,P为为ABAB的中点的中点, ,所以所以AP=AD.AP=AD.连接连接PQ,PQ,则四边形则四边形ADQPADQP为正方形为正方形. .所以所以AQDP.AQDP.又又EPDP=P,EPDP=P,所以所以AQAQ平面平面DEP.DEP.因为因为AQAQ 平面平面AEQ,AEQ,所以平面所以平面AEQAEQ平面平面DEP.DEP.题型四题型四 易错辨析易错辨析推理不严谨致误推理不严谨致误【例例4 4】 求证求证: :如果一个平面与另一个平面的垂面平行如果一个平面与另一个平面的垂面平行, ,那么这两个平面互那么这两个平面互相垂直相垂直. .已知已知:,.:,.求证求证:.:.错解错解: :设设=a,=b,=a,=b,在在内作直线内作直线ma,ma,因为因为,=a,m,=a,m ,ma,ma,所以所以m.m.因为因为,所以在所以在内存在直线内存在直线n,n,使使nm.nm.因为因为nm,m,nm,m,所以所以n,n,因为因为n n ,所以所以.纠错纠错: :上述证法错在逻辑推理不严谨上述证法错在逻辑推理不严谨, ,对面面平行的性质定理理解不透彻对面面平行的性质定理理解不透彻. .正解正解: :证明证明mm同上同上. .由由,在在内任取一点内任取一点P,P,则直线则直线m m与点与点P P确定一个平面确定一个平面. .设设=n,=n,因为因为, =m, =n, =m, =n,所以所以mn.mn.又因为又因为m,m,所以所以n.n.又因为又因为n n ,所以所以.