第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 等腰三角形的概念与性质等腰三角形的概念与性质 定义有_相等的三角形是等腰三角形相等的两边叫腰，第三边为底性质轴对称性等腰三角形是轴对称图形，有_条对称轴定理1等腰三角形的两个底角相等(简称为：_)定理2等腰三角形顶角的平分线、底边上的_和底边上的高互相重合，简称“三线合一”两边两边 一一 等边对等角等边对等角 中线中线第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦拓展(1)等腰三角形两腰上的高相等(2)等腰三角形两腰上的中线相等(3)等腰三角形两底角的平分线相等(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：_)拓展(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形等角对等边等角对等边考点考点3 3 等边三角形等边三角形 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦定义三边相等的三角形是等边三角形性质等边三角形的各角都_，并且每一个角都等于_等边三角形是轴对称图形，有_条对称轴判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形(2)有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形相等相等 60 3 考点考点4 4 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦定义经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的_上实质构成线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点_的所有点的集合相等相等 垂直平分线垂直平分线 距离相等距离相等 第第20讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例类型之一等腰三角形的性质的运用类型之一等腰三角形的性质的运用 命题角度：命题角度：1. 等腰三角形的性质；等腰三角形的性质；2. 等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”的性质；的性质；3. 等腰三角形两腰上的高等腰三角形两腰上的高(中线中线)、两底角的平分线的性质、两底角的平分线的性质. 例例1 如如图201，在等腰三角形，在等腰三角形ABC中，中，ABAC，AD是是BC边上的中上的中线，ABC的平分的平分线BG，交，交AD于点于点E，EFAB，垂足，垂足为F.求求证：EFED.图图201第第20讲讲 归类示例归类示例解析解析 根据等腰三角形三线合一，确定根据等腰三角形三线合一，确定ADBC，又因，又因为为EFAB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证出结论等证出结论证明：证明：ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，ADBC.BG平分平分ABC，EFAB，EFED.驾校一点通365网 http:/www.jxedt365.com/ 驾校一点通2016科目一 科目四驾驶员理论考试网 http:/www.jsyllks.com/ 2016科目一考试 科目四考试第第20讲讲 归类示例归类示例 (1)(1)利用利用线段的垂直平分段的垂直平分线进行等行等线段段转换，进而而进行角度行角度转换 (2) (2)在同一个三角形中，等角在同一个三角形中，等角对等等边与等与等边对等角等角进行互相行互相转换 类型之二等腰三角形判定类型之二等腰三角形判定 命题角度：命题角度：等腰三角形的判定等腰三角形的判定第第20讲讲 归类示例归类示例图202 例例2 2011扬州州 已知：如已知：如图202，锐角角ABC的两的两条高条高BD、CE相交于点相交于点O，且，且OBOC.(1)求求证：ABC是等腰三角形；是等腰三角形；(2)判断点判断点O是否在是否在BAC的平分的平分线上，并上，并说明理由明理由 第第20讲讲 归类示例归类示例解析解析 (1)利用利用BDCCEB 证明证明DCBEBC；(2)连接连接AO，通过，通过HL证明证明ADOAEO，从而得到，从而得到DAOEAO，利用角平分线上的点到两边的距，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论离相等，证明结论解：解：(1)证明：证明：OBOC，OBCOCB.BD、CE是两条高，是两条高，BDCCEB90.又又BCCB，BDCCEB (AAS)DBCECB, ABAC.ABC是等腰三角形是等腰三角形第第20讲讲 归类示例归类示例(2)点点O是在是在BAC的平分的平分线上上连接接AO.BDCCEB，DCEB.OBOC， ODOE.又又BDCCEB90，AOAO，ADOAEO(HL)DAOEAO. 点点O是在是在BAC的平分线上的平分线上第第20讲讲 归类示例归类示例要要证明明一一个个三三角角形形是是等等腰腰三三角角形形，必必须得得到到两两边相相等等，而而得得到到两两边相相等等的的方方法法主主要要有有(1)(1)通通过等等角角对等等边得得两两边相相等等；(2)(2)通通过三三角角形形全全等等得得两两边相相等等；(3)(3)利利用用垂垂直直平平分分线的性的性质得两得两边相等相等 类型之三类型之三 等腰三角形的多解问题等腰三角形的多解问题 例例3 3 20122012广安广安 已知等腰已知等腰ABC中，中，ADBC于点于点D，且，且AD0.5 BC，则ABC底角的度数底角的度数为()A45 B75C45或或75 D60第第20讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分；有底角和顶角之分；2. 遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况C 第第20讲讲 归类示例归类示例第第20讲讲 归类示例归类示例 因因为等等腰腰三三角角形形的的边有有腰腰与与底底之之分分，角角有有底底角角和和顶角角之之分分，等等腰腰三三角角形形的的高高线要要考考虑高高在在形形内内和和形形外外两两种种情情况况故故当当题中中条条件件给出出不不明明确确时，要要分分类讨论进行行解解题，才能避免漏解情况，才能避免漏解情况 类型之四等边三角形的判定与性质类型之四等边三角形的判定与性质 例例4 4 2011绍兴 数学数学课上，李老上，李老师出示了如下框中出示了如下框中的的题目目在在等等边三三角角形形ABC中中，点点E在在AB上上，点点D在在CB的的延延长线上上，且且EDEC，如如图203.试确确定定线段段AE与与DB的的大小关系，并大小关系，并说明理由明理由第第20讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：等边三角形的判定与性质的综合等边三角形的判定与性质的综合图图203第第20讲讲 归类示例归类示例小敏与同桌小小敏与同桌小聪讨论后，后，进行了如下解答：行了如下解答：(1)特殊情况，探索特殊情况，探索结论当点当点E为AB的中点的中点时，如，如图204，确定，确定线段段AE与与DB的大小关系，的大小关系，请你直接写出你直接写出结论：AE_DB(填填“”“”“”或或“”)理由如下：如理由如下：如图204，过点点E作作EFBC，交，交AC于点于点F.(请你完成以下解答你完成以下解答过程程)(3)拓展拓展结论，设计新新题在等在等边三角形三角形ABC中，点中，点E在直在直线AB上，点上，点D在直在直线BC上，且上，且EDEC.若若ABC的的边长为1，AE2，求，求CD的的长(请你直接写出你直接写出结果果) (3)1或或3.第第20讲讲 归类示例归类示例方法一：等边三角形方法一：等边三角形ABCABC中，中，ABCABCACBACBBACBAC6060，ABABBCBCACAC. .EFEFBCBC，AEFAEFAFEAFE6060BACBAC，AEFAEF是等边三角形，是等边三角形，AEAEAFAFEFEF，ABABAEAEACACAFAF，即，即BEBECFCF. .又又ABCABCEDBEDBBEDBED6060，ACBACBECBECBFCEFCE6060，且且EDEDECEC，EDBEDBECBECB，BEDBEDFCEFCE. .又又DBEDBEEFCEFC120120，DBEDBEEFCEFC，DBDBEFEF，AEAEBDBD. .第第20讲讲 归类示例归类示例方法二：在等边三角形方法二：在等边三角形ABCABC中，中，ABCABCACBACB6060，ABDABD120120. .ABCABCEDBEDBBEDBED，ACBACBECBECBACEACE，EDEDECEC，EDBEDBECBECB，BEDBEDACEACE. .FEFEBCBC，AEFAEFAFEAFE6060BACBAC，AEFAEF是正三角形，是正三角形，EFCEFC180180ACBACB120120ABDABD. .EFCEFCDBEDBE，DBDBEFEF，而由而由AEFAEF是正三角形可得是正三角形可得EFEFAEAE. .AEAEDBDB. . 第第20讲讲 归类示例归类示例 等等边三三角角形形中中隐含含着着三三边相相等等和和三三个个角角都都等等于于6060的的结论，所所以以要要充充分分利利用用这些些隐含含条条件件，证明明全全等等或或者者构造全等构造全等