建筑工程制图与识图建筑工程制图与识图( (第二版第二版) )课件课件- -第第3 3章章1熟练掌握点的三面投影的投影规律及作图方法；2熟练掌握各种位置直线、平面的投影特性和作图方法；3会用直角三角形法求一般位置直线与投影面的倾角及线段的实长；4掌握两直线相互垂直，其中一条直线平行于投影面时的投影特性和作图方法；5熟练掌握平面内点和直线的投影特性及在平面内定点和直线的作图方法；6能够利用积聚性求直线与平面的交点和平面与平面的交线。学学习习目目标标1. 点的三面投影的投影规律及作图方法；2. 用直角三角形法求一般位置直线与投影面的倾角及线段实长的方法；3. 用定比的方法确定直线上点投影；4两直线相互垂直，其中一条直线平行于投影面时的投影特性和作图方法；5. 平面内点和直线的投影特性及在平面内定点和直线的作图方法；6. 求平面内水平线和平面内正平线的方法；7. 利用积聚性求直线与平面的交点和直线与平面的交线。学学习习重点重点3.1 3.1 点的投影点的投影点的单面投影点的三面投影点的投影规律点的投影与坐标两点的相对位置和重影点3.1.1 3.1.1 点的点的单面投影面投影点在某一投影面上的投影，实质上是过该点向投影面所作垂线的垂足。因此，点的投影仍然是点。过空间点A向投影面H作投影线，该投影线与投影面的交点a，即为点A在投影面H上的投影。这个投影是唯一确定的。仅根据点的一个投影还不足以确定点在空间的位置。3.1.2 3.1.2 点的点的三三面投影面投影前章说过，为了表达形体的形状，通常要画出三面投影图。点，作为形体的几何元素，通常也要画出三面投影。（a）直观图 （b）投影图3.1.3 3.1.3 点的投影点的投影规律律（1）点A的水平投影a与正面投影a的连线垂直于OX轴，即aaOX。（2）点A的正面投影a和侧面投影a的连线垂直于OZ轴，即aaOZ。（3）点A的水平投影a到OX轴的距离aax等于点的侧面投影a到OZ的距离aaZ，即aax= aaZ。符合“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。3.1.3 3.1.3 点的投影点的投影规律律位于投影面上的点也符合三条投影规律3.1.3 3.1.3 点的投影点的投影规律律知道点的任何两个投影都能反映出该点到三个投影面的距离。只要给出点的任意两个投影就可以补出第三个投影（即“二补三”作图）。例例3-13-1已知A点的水平投影a和正面投影a，求侧面投影a。例例3-1 3-1 解解（1）过a引OZ轴的垂线aaZ（2）在aaZ的延长线上截取aaZ= aax，a即为所求。3.1.4 3.1.4 点的投影与坐点的投影与坐标点到某一投影面的距离，等于该点在另一投影面上的投影到相应投影轴的距离。空间点到三个投影面的距离就等于它的坐标。空间点的位置不仅可以用其投影确定，也可以由它的坐标确定。已知三面投影即可求三个坐标，已知三个坐标也可求三面投影。例例3-23-2已知点A的坐标为（20，10，15），求点A的三面投影a、a和a。例例3-2 3-2 解解（1）作出投影轴，即坐标轴。（2）在OX轴上截取x=20，得ax；然后过ax作OX轴的垂线；由沿该垂线向前量取y=10，即得点A的水平投影a，向上量取z=15，即得点A的正面投影a。（3）过a引OZ轴的垂线aaZ，从OZ轴向右量取y=10，即得点A的侧面投影a。A(20,10,15)例例3-33-3在立体图中画出点A（20，12，15）的投影及其空间位置。例例3-3 3-3 解解（1）画出H、V、W三投影面的立体图：将V面画成正离的矩形，下边作为OX，右边作为OZ，；然后分别以OX和OZ为一边，把H面和W面画成锐角为4的两个相交平行四边形，交线即OY。例例3-3 3-3 解解（2）分别在OX、OY、OZ上量取Oax=20，Oay =12，OaZ=15，求得ax、ay和aZ，分别过ax和ay作OY和OX的平行线，交点即为水平投影a；分别过ax和aZ作OZ和OX的平行线，交点即为正面投影a；分别过ay和aZ作OZ和OY的平行线，交点即为侧面投影a例例3-3 3-3 解解（3）分别过a、a、a作OZ、OY和OX的平行线，这三条线必交于一点，该点即为空间点A。3.1.5 3.1.5 两点的相两点的相对位置和重影点位置和重影点两点的相对位置两点的相对位置是指两点间左右、前后、上下的位置关系可通过比较两点在投影图中同名投影坐标值的大小来判断两点的相对位置比较x坐标的大小，可以判断两点左右的位置关系，x大的点在左，x小的点在右。比较y坐标的大小，可以判断两点前后的位置关系，y大的点在前，y小的点在后。比较z坐标的大小，可以判断两点上下的位置关系，z大的点在上，z小的点在下。3.1.5 3.1.5 两点的相两点的相对位置和重影点位置和重影点两点的相对位置A点的x坐标小于B点的x坐标，所以A点距W面较近，A点在B点的右方；A点的y坐标大于B点的y坐标，所以A点距V 面较远，A点在B点的前方；A点的z坐标大于B点的z坐标，所以A点距H面较远，A点在B点的上方，综合A、B两点三个坐标大小的比较，可以判定A点在B点的右前上方。例例3-43-4已知点A的三个投影，另一点B在点A上方8mm。左方12mm，前方10mm，求点B的三面投影。例例3-4 3-4 解解（1）在a左方12mm，上方8mm处确定b。（2）过b作OX轴的垂线，在其延长线上a前10mm处确定b。（3）根据三面投影关系求得b。3.1.5 3.1.5 两点的相两点的相对位置和重影点位置和重影点重影点及其投影的可见性若空间两点位于某一投影面的同一条投影线上，则它们在该投影面上的投影必然重合，这两点投影称为该投影的重影点(ghost image point)。水平投影重合的两个点，叫水平重影点；正面投影重合的两个点，叫正面重影点；侧面投影重合的两个点，叫侧面重影点。3.1.5 3.1.5 两点的相两点的相对位置和重影点位置和重影点重影点投影可见性的判别方法对水平重影点，观者从上向下看，上面一点看得见，下面一点看不见（上下位置可从正面投影或侧面投影中看出）；对正面重影点，观者从前向后看，前面一点看得见，后面一点看不见（前后位置可从水平投影或侧面投影中看出）；对侧面重影点，观者从左向右看，左面一点看得见，右面一点看不见（左右位置可从正面投影或水平投影中看出）。3.1.5 3.1.5 两点的相两点的相对位置和重影点位置和重影点 直 观 图 投 影 图 投 影 特 性水平重影点1. 正面投影和侧面投影反映两点的上下位置2. 水平投影重合为一点，上面一点可见，下面一点不可见正面重影点1. 水平投影和侧面投影反映两点的前后位置2. 正面投影重合为一点，前面一点可见，后面一点不可见侧面重影点1. 水平投影和正面投影反映两点的左右位置2. 侧面投影重合为一点，左面一点可见，右面一点不可见3.2 3.2 直直线线的投影的投影直线投影图的作法各种位置直线的投影特性一般位置直线的实长和倾角直线上的点两直线的相对位置3.2.1 3.2.1 直直线投影投影图的作法的作法两点可以确定一条直线，直线的投影可以由直线上任意两点的投影决定。若已知直线上的点A（a，a，a）和点B（b，b，b），那么就可以画处直线AB的投影图3.2.2 3.2.2 各种位置直各种位置直线的投影特性的投影特性（1） 投影面平行线平行于一个投影面倾斜于另两个投影面的直线，称为投影面平行线(Parallel line)(Parallel line)。与H面平行的直线称为水平线；与V 面平行的直线称为正平线；与W面平行的直线称为侧平线。3.2.2 3.2.2 各种位置直各种位置直线的投影特性的投影特性名称立体图投影图投影特性水平线（H）（ 1） abOX，abOYW（2）ab = AB（3）反映倾角 、大小正平线（V）（ 1） abOX，abOZ（2）ab = AB（3）反映倾角 、大小侧平线（W）（1）abOYH，abOZ（2）ab = AB（3）反映倾角 、大小3.2.2 3.2.2 各种位置直各种位置直线的投影特性的投影特性投影面平行线的特性（1）直线在所平行的投影面上的投影反映实长，此投影与投影轴的夹角反映直线与另两个投影面的夹角实形；（2）直线在另两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，但不反映实长。例例3-53-5已知直线AB的水平投影ab，并知AB对H面的倾角为30，A点距水平投影面H为5mm，A点在B点的左下方，求AB的正面投影ab。例例3-5 3-5 解解（1）过a作OX轴的垂直线aax，在aax的延长线上截取aax=5mm；（2）过a 作与OX轴成30的直线，与过b作OX轴垂线bbx的延长线相交，因点A在点B的左下方，得b。3.2.2 3.2.2 各种位置直各种位置直线的投影特性的投影特性（2） 投影面垂直线垂直于某一投影面的直线，称为投影面垂直线(vertical (vertical line)line)。与H面垂直的直线称为铅垂线；与V 面垂直的直线称为正垂线；与W面垂直的直线称为侧垂线。3.2.2 3.2.2 各种位置直各种位置直线的投影特性的投影特性名称立体图投影图投影特性铅垂线（H）（1）H投影积聚为一点（2）abOX，abOYW（3）ab = ab = AB正垂线（V）（1）V投影积聚为一点（2）abOX，abOZ（3）ab = ab= AB侧垂线（W）（1）W投影积聚为一点（2）abOZ，abOYH，（3）ab = ab = AB3.2.2 3.2.2 各种位置直各种位置直线的投影特性的投影特性投影面垂直线的特性1）直线在其所垂直的投影面上的投影积聚为一点；2）直线在另两个投影面上的投影，垂直于相应的投影轴，且反映线段的实长。3.2.2 3.2.2 各种位置直各种位置直线的投影特性的投影特性（3） 一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线叫一般位置直线(general position line)。特点：1）直线的三个投影均倾斜于投影轴；2）直线的三个投影与投影轴的夹角，均不反映直线与任何投影面的倾角，、和均为锐角；3）各投影的长度小于直线的实长。3.2.3 3.2.3 一般位置直一般位置直线的的实长和和倾角角（1） 求直线段对H面的倾角及实长按照投影求出直线与投影面的倾角及线段的实长。通常将这种方法称为直角三角形法。只要求出直角AA0B的实形，即可求得AB对H面的倾角及其实长3.2.3 3.2.3 一般位置直一般位置直线的的实长和和倾角角作法（1）1）过b作OX轴的平行线与aa交于a1，则aa1等于A、B两点到H面的距离之差；2）过a作ab的垂线，在该垂线上截取aA0 = aa1，连接bA0，则A0ba即为AB对H面的倾角，A0b=AB（T.L）。3.2.3 3.2.3 一般位置直一般位置直线的的实长和和倾角角作法（2）1）过b作OX轴的平行线与aa交于a1，则aa1即为A、B两点到H面的距离之差；2）在ba1的延长线上截取a1B0 = ab，并连接a、B0，则a1B0a即为AB对H面的倾角，aB0=AB（T.L）。3.2.3 3.2.3 一般位置直一般位置直线的的实长和和倾角角（2）求直线段对V面的倾角及实长只要求出直角AB0B的实形，即可求得AB对V面的倾角及其实长。AB的正面投影ab已知，B、A两点到V面的距离之差，可由其水平投影求得，由此即可作出直角AB0B.的实形。3.2.3 3.2.3 一般位置直一般位置直线的的实长和和倾角角作法（1）1）过a作OX轴的平行线与bb交于b1，则bb1等于B、A两点到V面的距离之差；2）过b作ab的垂线，在该垂线上截取bB0 = bb1，连接aB0，则B0 ab即为AB对V面的倾角，aB0 =AB（T.L）。3.2.3 3.2.3 一般位置直一般位置直线的的实长和和倾角角作法（2）1）过a作OX轴的平行线与bb交于b1，则bb1等于B、A两点到V面的距离之差；2）在ab1的延长线上截取b1A0 = ab，并连接b、A0，则bA0 b1即为AB对V面的倾角，bA0 =AB（T.L）。例例3-63-6已知直线AB的正面投影ab和点A的水平投影a，并知AB=25mm，点B在点A之后，求AB的水平投影ab及AB对V面的倾角。例例3-6 3-6 解解（1）以ab为一直角边，以25mm为斜边，作一直角A0 ab，则A0 a = YA YB，它所对的A0ba = 。（2）过b作OX轴的垂线，过a作OX轴的平行线，两者交于b1，然后从b1沿OX轴的垂线向上截取b1b = YA YB（因为B点在A点之后），即得b。（3）连接a、b，即得AB直线的水平投影ab。例例3-73-7已知直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a，并知AB对H面的倾角 = 30，点B在点A之上，求AB的正面投影ab。例例3-7 3-7 解解（1）以ab为一直角边，作一锐角为30的直角B0 ba，则B0 b等于A、B两点到H面的距离之差ZB ZA。（2）过b作OX轴的垂线，过a作OX轴的平行线，两者交于b1，然后从b1沿OX轴的垂线向上截取b1b = ZB ZA（因为B点在A点之上），即得b。（3）连接a、b，即得AB直线的正面投影ab。例例3-73-7已知直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a，并知AB对H面的倾角 = 30，点B在点A之上，求AB的正面投影ab。3.2.4 3.2.4 直直线上的点上的点点在直线上，其各面投影必在直线的同名投影上，且符合点的投影规律。直线上的点分直线段所成的比例等于点的投影分直线段同名投影所成的比例。例例3-83-8在直线AB上找一点K，使AKKB = 23例例3-8 3-8 解解（1）过a任作一直线，并从a起在该直线上任取五等分，得1、2、3、4、5五个分点；（2）连接b、5，再过分点2作b5的平行线，与ab相交，即得点K的水平投影k；（3）过k作OX轴的垂线，与ab相交，即得点K的正面投影k。则akkb= akkb=23。例例3-93-9判定图示的点K，是否在侧平线AB上。例例3-9 3-9 解解作图方法一：用定比性来判定。（1）在水平投影上过b任作一直线，取bk1= bk、k1a1= ka。（2）连接a1、a，过k1作a1a的平行线，它与ab的交点不是k，这说明akkbakkb。由此可判定点K不在直线AB上。例例3-9 3-9 解解作图方法二：用直线上点的投影规律来判定。分别补出点K和直线AB的侧面投影k和ab，可以看出k不在ab上，由此也可判定点K不在直线AB上。3.2.5 3.2.5 两直两直线的相的相对位置位置（1） 两直线平行空间两直线相互平行，则它们的同名投影也相互平行，且同名投影的长度之比等于空间两线段的长度之比。若判别两直线是否平行，一般只要看它们的正面投影和水平投影是否平行。3.2.5 3.2.5 两直两直线的相的相对位置位置（1） 两直线平行两直线均为某投影面平行线时，应从直线在所平行的投影面上的投影来判定是否平行。3.2.5 3.2.5 两直两直线的相的相对位置位置（2） 两直线相交空间两直线相交，则它们的同名投影必定相交，而且各同名投影的交点就是两直线空间交点的同名投影。只要任意两个同面投影的交点的连线垂直于相应的投影轴，就可判定这两条直线在空间一定相交。3.2.5 3.2.5 两直两直线的相的相对位置位置（2） 两直线相交当两条直线中有一条直线是投影面平行线时，应利用直线在所平行的投影面内投影来判断两直线是否相交。3.2.5 3.2.5 两直两直线的相的相对位置位置（3）两直线交叉两直线即不平行也不相交，称为两直线交叉。两种表现形式：同面投影可表现为有一个或两个同面投影互相平行，但不可能有三个同面投影互相平行。表现为有一个、两个甚至三个同面投影相交,但三个同面投影的交点不符合一个点的三面投影规律。3.2.5 3.2.5 两直两直线的相的相对位置位置（3）两直线交叉在投影图上，如果两直线有两同面投影相交。而交点的连线不垂直于相应的投影轴，则空间这两直线一定交叉。3.2.5 3.2.5 两直两直线的相的相对位置位置（3）两直线垂直对于直角，只要有一边平行于某一投影面，则该直角在该投影面上的投影仍然是直角。反之，如果两直线的某一投影面互相垂直，而且其中有一条直线平行于该投影面，则这两直线在空间一定互相垂直。例例3-103-10过点C作直线CD，使之与直线AB平行，并使ABCD = 32。例例3-10 3-10 解解（1）过c和c分别作cdab、cdab；（2）过a任作一直线，截此直线为三等分，等分点为1、2、3；（3）连b3，过2作e2b3，交ab于e，求出e；（4）在cl上取cd =ae，在cl上取cd =ae。例例3-113-11作一条水平线MN与直线AB和CD相交，且距水平投影面H的距离为l。例例3-11 3-11 解解（1）在正面投影图上，距离OX轴l作OX轴的平行线，分别与ab和cd交于n和m；（2）过n和m作OX轴的垂线分别交ab于n，交cd于m；（3）连接nm，即为所求。例例3-11 3-11 解解（1）在正面投影图上，距离OX轴l作OX轴的平行线，分别与ab和cd交于n和m；（2）过n和m作OX轴的垂线分别交ab于n，交cd于m；（3）连接nm，即为所求。例例3-123-12过点A作直线AB与水平线CD相交垂直例例3-12 3-12 解解（1）过a作cd的垂线，与cd相交于b。（2）过b作OX轴的垂线，与cd相交于b，连接b、a，即得AB的正面投影ab。例例3-133-13已知矩形ABCD的一边平行于面，根据图中所给的投影，补全该矩形的两面投影。例例3-13 3-13 解解（1）过a作ab的垂线，过c作OX轴的垂线，这两条直线的交点，即为点C的水平投影c。（2）过b和c分别作ac和ab的平行线，这两直线的交点，即为点D的水平投影d。（3）过b和c分别作ac和ab的平行线，这两直线的交点，即为点D的正面投影d。3.3 3.3 平面的投影平面的投影平面的表示方法各种位置平面的投影特性平面上的点和直线平面内的特殊位置直线 直直线线与平面相交、平面与与平面相交、平面与平面相交平面相交3.3.1 3.3.1 平面的表示方法平面的表示方法（1）不在同一条直线上的三个点（2）一直线和线外一点（3）两平行直线（4）两相交直线（5）平面图形（即平面的有限部分，例如三角形等）3.3.2 3.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性（1） 投影面平行面（与一个投影面平行的平面）1）平面在它平行的投影面上的投影反映实形；2）平面的其他两个投影积聚成线段，并且平行于相应的投影轴。3.3.2 3.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性名称立体图投影图投影特性水平面（H）（1）H投影反映实形 （2）V 、W 投影均积聚为直线段，且分别平行于OX、OYW轴正平面（V）（1）V 投影反映实形 （2）H、W 投影均积聚为直线段，且分别平行于OX、OZ轴侧平面（W）（1）W投影反映实形 （2）V、H投影均积聚为直线段，且分别平行于OZ、OYH轴3.3.2 3.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性（2） 投影面垂直面（与一个投影面垂直的平面）1）平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一斜直线，并且该投影与投影轴的夹角等于该平面与相应投影面的倾角；2）平面的其他两个投影不是实形，但有相仿性。3.3.2 3.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性名称立体图投影图投影特性铅垂面（H）（1）H投影积聚为一直线，且反映、的大小（2）V、 W投影不反映实形，但有相仿性正垂面（V）（1）V投影积聚为一直线，且反映、的大小（2）H、 W投影不反映实形，但有相仿性侧垂面（W）（1）W投影积聚为一直线，且反映、的大小（2）V、H投影不反映实形，但有相仿性3.3.2 3.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性（3） 一般位置平面（与三个投影面都倾斜的平面）均不反映实形，也无积聚性，但具有原图形的相仿性。3.3.3 3.3.3 平面上的点和直平面上的点和直线（1）平面上的点如果点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上。3.3.3 3.3.3 平面上的点和直平面上的点和直线（2）平面上的直线如果直线经过平面上两个点，或经过平面上一点，且平行于平面上的一条直线，则此直线必定在该平面上。欲在平面内取点，需先在平面内取线；欲在平面内取线，又需先在平面内取点。例例3-143-14已知ABC平面上点M的正面投影m，求它的水平投影图m例例3-14 3-14 解解法1：（1）在正面投影上过a和m作辅助线am，并延长与bc相交于d；（2）自d向下引OX轴的垂线，与bc相交于d，连ad；（3）自m向下引OX轴的垂线，与ad相交于m，m即为所求。例例3-14 3-14 解解法2：（1）过m作辅助线ef，使efac；并与bc相交于e；（2）自e向下引OX轴的垂线，与bc相交于e，作efac；（3）自m向下引OX轴的垂线，与ef相交于m，m即为所求。例例3-153-15已知平面四边形ABCD的水平投影abcd和两邻边AB、BC的正面投影ab和bc，试完成该四边形的正面投影。例例3-15 3-15 解解（1）连接A、C两点的同面投影a、c和a、c；（2）连接B、D两点的水平投影b、d，与ac相交于e；（3）过e向上作OX轴的垂线，与ac相交于e，连接be；（4）自d向上作OX轴的垂线，与be的延长线相交得d，连接ad和dc，完成作图。3.3.4 3.3.4 平面内的特殊位置直平面内的特殊位置直线（1）平面内的正平线和水平线平面内平行于V的直线，称为平面内的正平线。平面内平行于H的直线，称为平面内的水平线。图中A1为正平线，a1反应实长。C2为水平线，c2反应实长。3.3.4 3.3.4 平面内的特殊位置直平面内的特殊位置直线（2）平面内的最大斜度线平面内对投影面的最大斜度线是指该平面内对该投影面倾角最大的某一条直线。平面内对投影面的最大斜度线必垂直于平面内的该投影面的平行线。例例3-163-16求平面ABC对H面的倾角例例3-16 3-16 解解（1）过c引cdOX轴交ab于d，求出cd，CD为ABC内的水平线； （2）过b作bkcd交cd于k，求出bk，BK即为平面对H面的最大斜度线； （3）以bk为一直角边，以B、K两点的z坐标差为另一直角边作直角三角形 ，bkk0，则直角三角形中斜边bk0与bk的夹角为BK对H面的倾角，该倾角即为所求。3.3.5 3.3.5 直直线与平面相交、平面与平与平面相交、平面与平面相交面相交直线与平面相交有一个交点，交点是公共点，它即在直线上又在平面上。平面与平面相交有一条交线，交线是两平面的公共线，即同时位于两个平面上。求交点、交线，利用共有性求解。3.3.5 3.3.5 直直线与平面相交、平面与平与平面相交、平面与平面相交面相交（1） 特殊情况相交参与相交的无论是直线还是平面，至少有一个元素对投影面处于特殊位置，它在该投影面上的投影有积聚性。利用积聚性可以直接确定交点或交线的一个投影；而后再利用线上定点或面上定点的方法求交点的第二个投影；利用面上定线的方法求出交线的第二投影。3.3.5 3.3.5 直直线与平面相交、平面与平与平面相交、平面与平面相交面相交（1） 特殊情况相交直线与平面相交直线与平面相交后， 直线便从平面的一侧到了平面的另一侧（以交点为分界）。假定平面是不透明的，则沿投射方向观察直线时，位于一般直线与铅垂面相交面两侧的直线，一侧直线看得见，另一侧直线则被平面遮挡而看不见，这就有判别可见性的问题。看得见的直线画成粗实线，把看不见的直线画成虚线，交点是可见与不可见的分界点。例例3-173-17 求一般位置直线AB与铅垂面P的交点K例例3-17 3-17 解解（1）在直线AB的水平投影ab和平面的积聚投影p的交点处标出交点的水平投影k；（2）自k向上作OX轴垂线，与直线AB的正面投影ab交于k，k为交点的正面投影。ak在p面之前，所以其正面投影ak为可见，bk与p重影部分为不可见。例例3-183-18已知铅垂线MN和一般位置平面ABC相交，求它们的交点K例例3-18 3-18 解解（1）在铅垂线MN的水平积聚投影m（n）上，标出交点K的水平投影k；（2）在平面内过k点作辅助线ad，并作出它的正面投影ad，ad与mn的交点k即交点K的正面投影。从水平投影可以看出，ab上的点2在后，mn上的点1在前，故kn为可见，mk和abc的重影部分为不可见，画虚线。例例3-18 3-18 解解（1）在铅垂线MN的水平积聚投影m（n）上，标出交点K的水平投影k；（2）在平面内过k点作辅助线ad，并作出它的正面投影ad，ad与mn的交点k即交点K的正面投影。从水平投影可以看出，ab上的点2在后，mn上的点1在前，故kn为可见，mk和abc的重影部分为不可见，画虚线。3.3.5 3.3.5 直直线与平面相交、平面与平与平面相交、平面与平面相交面相交（1） 特殊情况相交平面与平面相交积聚投影与一般位置平面水平投影重合部分，即为交线的投影，而交线的另一投影必在该平面的另一投影上。平面与平面相交也有可见性问题。例例3-193-19求作铅垂面ABC与一般位置平面EFG的交线MN例例3-19 3-19 解解（1）在铅垂面的积聚投影abc上标出交线MN的水平投影mn（端点M和N实际上是GF边和GE边与ABC平面的交点）；（2）自m和n分别向上作OX轴的垂线，与gf和ge相交于m和n；（3）连接mn，mn即为交线MN的正面投影。efg的gmn部分在铅垂面的后面，被铅垂面遮挡的部分为看不见，efg的efmn部分在铅垂面的前面，未被遮挡为看得见。例例3-203-20求作水平面ABC与正垂面P的线MN例例3-20 3-20 解解（1） 在水平面ABC的正面投影abc与正垂面P的正面投影p的交点处标注出两平面交线MN的正面投影m（n）；（2）过m（n）向下作轴的垂线，垂线在abc与p的重影部分范围内的线段mn，即是交线MN的正面投影。MNAB在平面P的下方，MNC在平面P的上方，所以mnab与p重影部分为不可见，mnc和p重影部分为可见。交线mn为可见。3.3.5 3.3.5 直直线与平面相交、平面与平与平面相交、平面与平面相交面相交（1） 特殊情况相交当两个铅垂面相交，其交线为一铅垂线。两铅垂面的水平投影有积聚性，而交线具有共有性，所以积聚投影的交点即为交线的水平投影，交线是一条铅垂线。同理，两个正垂面相交，交线为一条正垂线；两个侧垂面相交，交线为一条侧垂线。3.3.5 3.3.5 直直线与平面相交、平面与平与平面相交、平面与平面相交面相交（2） 一般情况相交一般情况相交，是指参与相交的无论是直线还是平面在投影体系中均处于一般位置。投影无积聚性，直线与平面交点投影、平面与平面交线的投影不能利用积聚性求出。可通过作辅助面的方法求出交点或交线的投影。3.3.5 3.3.5 直直线与平面相交、平面与平与平面相交、平面与平面相交面相交（2） 一般情况相交直线与平面相交通过辅助平面法求交点，具体分为三个步骤： 过已知直线作一辅助平面。为使作图简单，辅助平面应选择投影面的垂直面，如正垂面、铅垂面等； 求出辅助平面和已知平面的交线； 已知直线和上述交线的交点，即为与平面的交点。3.3.5 3.3.5 直直线与平面相交、平面与平与平面相交、平面与平面相交面相交（2） 一般情况相交直线与平面相交例：求直线EF和平面ABC的交点投影3.3.5 3.3.5 直直线与平面相交、平面与平与平面相交、平面与平面相交面相交（2） 一般情况相交直线与平面相交a. 包含直线EF作铅垂面P，则铅垂面P的水平投影PH与ef重合；b. 求出平面P与平面ABC的交线MN，因为铅垂面P的水平投影具有积聚性，直接定出mn，再求出mn；c. 交线的正面投影mn和直线EF的正面投影ef的交点k，即为交点的正面投影，过k向下作OX轴垂线和直线EF的水平投影ef相交，求出交点的水平投影k。3.3.5 3.3.5 直直线与平面相交、平面与平与平面相交、平面与平面相交面相交（2） 一般情况相交直线与平面相交因为直线EF和平面ABC均处于一般位置，H面、V面投影均要分别判断可见性。先判断正面投影的可见性。再判断水平投影的可见性。3.3.5 3.3.5 直直线与平面相交、平面与平与平面相交、平面与平面相交面相交（2） 一般情况相交平面与平面相交两面相交的交线是两面的共有线，只要作出两一般位置平面的两个公有点，连接起来就是该两面的交线。由于两一般位置平面的位置各有不同，它们的交线有全在一个面的轮廓之内的，也有互相穿插的，也有在两平面图形之外的。求交线的方法有线面交点法、辅助平面法等。3.3.5 3.3.5 直直线与平面相交、平面与平与平面相交、平面与平面相交面相交（2） 一般情况相交平面与平面相交 线面交点法求交线在两平面相交时，选取两根直线，分别与另一平面相交，求出它们的交点， 连接起来，即为所求的交线。例例3-213-21求平面ABC和DEF的交线MN。例例3-21 3-21 解解（1）求DEF的DE与ABC的交点M，（2）求DEF的DF与ABC的交点N，（3）连接m、n和m、n。直线MN即为两平面的交线。判断可见性3.3.5 3.3.5 直直线与平面相交、平面与平与平面相交、平面与平面相交面相交（2） 一般情况相交平面与平面相交 辅助平面法求交线相交两平面在图形有限范围内不相交，为求交线用辅助平面法求它们的交线。为方便作图，两辅助平面可选用平行的两个投影面平行面或投影面垂直面。例例3-223-22已知平面ABDC和平面GEF，求出它们的交线MN。例例3-223-22（1）作水平面P1，分别与平面ABCD和平面EFG相交，交线的正面投影为12、34，求出12、34，它们相交于m；由m求出m；（2）作水平面P2，分别与平面ABCD和平面EFG相交，交线的正面投影为56、78，求出56、78，它们相交于n；由n求出n；（3）连接mn和mn即为所求交线的投影。本章小本章小结1.点的投影规律：点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴；点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴；点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ的距离。2.点的投影和坐标：空间点到三个投影面的距离就等于该点的坐标，也就是说点到W面的距离为该点的X坐标，点到V面的距离为该点的Y坐标，点到面的距离为Z坐标。3. 两点的相对位置及其重影点的判别。4.各种位置直线的投影特性：投影面的平行线在所平行的投影面上的投影反映该直线的实长，此投影与投影轴的夹角反映直线与另两个投影面的夹角实形；在另两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，但不反映实长。投影面垂直线在其所垂直的投影面上的投影积聚为一点；在另两个投影面上的投影，垂直于相应的投影轴，且反映线段的实长。一般位置直线的三个投影均倾斜于投影轴；三个投影与投影轴的夹角，均不反映直线与任何投影面的倾角，三个投影的长度小于直线的实长。本章小本章小结5.直线上点的投影，一般位置直线的实长及倾角求法，两直线的各种相对位置的判别。6.各种位置平面的投影特性：投影面的平行面在它平行的投影面上的投影反映实形；其他两个投影积聚成线段，并且平行于相应的投影轴。投影面的垂直面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一斜直线，并且该投影与投影轴的夹角等于该平面与相应投影面的倾角；其他两个投影不是实形，但有相仿性。一般位置平面的投影在三个投影面上的投影均不反映实形，也无积聚性，但具有原图形的相仿性。7.直线与平面的交点和平面与平面的交线求法： （1）利用积聚性求交点与交线； （2）利用“线面交点法”求交点与交线； （3）利用“辅助面法”求交点与交线。思考思考题1.点的投影具有哪些投影规律？已知点的两个投影求第三投影的根据是什么？2.如何根据投影图判断两点的相对位置？3.重影点的定义和特征是什么？如何判定重影点的可见性4.各种位置直线的投影特性都有哪些？5.在投影图上，如何用直角三角形法求一般位置直线的实长和其与投影面的倾角6.直线上的点有哪些投影特征？如何用定比方法确定直线上点的投影？7.两直线的相对位置关系有几种？各种关系的投影特点如何？8.两直线相互垂直，在什么情况下它们有一个投影反映垂直？哪个投影反映垂直？9.投影面的平行面和垂直面有哪些投影特性？10.如何判定点或直线是否在已知平面内？11.怎样在平面内取点和线？12.利用辅助面求直线与平面交点的步骤是什么？ 结束结束