第 41 页 共 78 页2022 年广东省高等职业院校招收中等职业学校毕业生考试数学一、选择题:本大题共 15 小题，每小题 5 分，满分 75 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 A=1，3，4，B=0，1，2，则 AB=()A0，1，2，3，4B1，2，3C0，1D1【答案】D【考点】集合的运算【解释】集合 A，B 有且仅有一个公共元素 1，故选 D2设函数 f(x)2 x，x 022，x 0，则 f(2)f(0)()A0B1C2D3【答案】B【考点】分段函数求函数值【解释】依题意，f(2)2 (2)0，f(0)20 1，f(2)f(0)0 1 1，故选 B3“x 1”是“|x|1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【考点】充要条件【解释】解不等式|x|1得 x 1 或 x 1，“x 1”的范围小，故选 A4函数 f(x)xx 1的定义域是()A(，)B(，0)(0，)C(，1)(1，)D(，1)(1，0)(0，)【答案】C【考点】求函数的定义域【解释】依题意，需满足分母 x 1 0，即x 1，故选 C5已知 log2a 3，则 a2()A9B36C64D81【答案】C【考点】指数对数的运算【解释】由 log2a 3，得 a 23 8，a2 64，故选 C第 42 页 共 78 页6设向量 a=(x，1)，b=(2，4)，若 a 与 b 共线，则 x ()A2B2C12D12【答案】C【考点】平行向量的条件【解释】依题意，ab 4x 1 2，x 12，故选 C7已知四点 P1(1，3)，P2(0，8)，P3(7，3)，P4(1，6)，则P1P2P2P3P3P4()A(2，9)B(2，9)C(10，3)D(3，8)【答案】A【考点】向量的坐标运算【解释】依题意，P1P2P2P3P3P4P1P4(1，6)(1，3)(2，9)，故选 A8数列an满足a1 1，an 3an 1 1(n 1)，则a4()A2B5C14D41【答案】C【考点】数列通项的递推公式【解释】依题意，a2 3a1 1 3 1 1 2，a3 3a2 1 3 2 1 5，a4 3a3 1 3 5 1 14，故选 C9甲有编号 9，6，5 三张卡片，乙有 8，7 两张卡片，两人各取一张自己的卡片，则甲比乙大的概率是()A16B13C25D23【答案】B【考点】概率【解释】依题意，甲乙各取一张卡片的事件有9，8，9，7，6，8，6，7，5，8，5，7共 6 种，其中甲比乙大的有 2 种，P 2613，故选 B10某中学为了了解学生上学的方式，随机抽查了部分学生，数据绘制成饼图，该校共有 1500 个学生，则骑自行车上学的学生人数大约为()A150B300C450D600【答案】B【考点】频数与频率【解释】依题意，骑自行车上学的学生有1 40%30%10%20%，人数约为1500 20%300，故选 B11函数 f(x)4sin6x 56的最小正周期为()第 43 页 共 78 页A6B3C2D56【答案】B【考点】正余弦型函数的周期和最值【解释】依题意，6，原函数的最小正周期 T 263，故选 B12已知角的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，角的终边经过点 P(1，2)，则cos2()A35B45C35D45【答案】A【考点】三角函数的定义 二倍角公式【解释】依题意，r 12 225，sin25，cos2 1 2sin2 35，故选 A13已知抛物线 x2 2y 上的点 M 到点 0，12的距离为 5，则点 M 到直线 y 12的距离为()A25B52C4D5【答案】D【考点】抛物线的性质 点到直线的距离公式【解释】依题意，点 0，12是抛物线的焦点，直线 y 12是椭圆的准线，由抛物线的性质，点 M 到准线 y 12的距离等于点 M 到焦点的距离为 5，故选 D14已知圆 x2 y2 2x 2ky 1 0(k 0)的面积为 4，则 k ()A 1B 2C 2D4【答案】C【考点】圆的一般方程【解释】依题意，圆面积 S r2 4，r 2由圆方程，r2(2)2(2k)2 4 14 4，解得 k 2 或 k 2(舍去)，故选 C15已知定义在 R 上的函数 F(x)f(x)2 是奇函数，满足 f(1)1，则 f(0)f(1)()A3B1C2D5【答案】D【考点】函数的奇偶性【解释】依题意，F(0)f(0)2 0，得f(0)2；F(1)f(1)2 1 2 1，F(x)第 44 页 共 78 页是奇函数，F(1)f(1)2 1，得f(1)3，f(0)f(1)5，故选 D二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分16已知a1，a2的平均数为 6.5，a3，a4，a5的平均数为 9，则a1，a2，a3，a4，a5的平均数为【答案】8【考点】样本均值【解释】依题意，a1 a2 2 6.5 13，a3 a4 a5 3 9 27，则a1，a2，a3，a4，a5的平均数为a1 a2 a3 a4 a5513 275 8，故填 817已知向量 a=(1，1)，b=(3，4)，设 a，b 的夹角为，则 cos【答案】210【考点】向量的夹角公式【解释】依题意，ab 1 3 1(4)1，|a|12 122，|b|32(4)25，由ab|a|b|cos，得 cosab|a|b|12 5 210，故填21018数列an的通项公式为ann n+1，则数列an的前 8 项和为【答案】2【考点】数列裂项求和【解释】依题意，S8(1 2)(2 3)(8 9)1 9 2，故填219已知点 A(1，5)，B(9，3)，则线段 AB 的垂直平分线方程为【答案】y 5x 16 或 5x y 16 0【考点】求线段的垂直平分线【解释】依题意，kAB3 59(1)15，线段 AB 的垂直平分线的斜率 k 1kAB 5，线段 AB 的中点坐标为1 92，5 32即(4，4)，线段 AB 的垂直平分线方程为 y 4 5(x 4)，即 y 5x 16，故填y 5x 16 或 5x y 16 020若 tan 2，则cos(2)cos2【答案】12【考点】诱导公式【解释】依题意，原式 cossin 1sincos 1tan 12，故填12第 45 页 共 78 页三、解答题:本大题共 4 小题，第 2123 题各 12 分，第 24 题 14 分，满分 50 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤21(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，P 是函数 y 4x(x 0)图像上的一点，点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴上，四边形 OAPB 为矩形（1）求矩形 OAPB 的面积；（2）若矩形 OAPB 的周长为 10，求点 P 的坐标【解】（1）依题意，|PB|x，|PA|y，矩形 OAPB 的面积 S|PB|PA|xy x 4x 4（2）矩形 OAPB 的周长 C 2(|PB|PA|)2(x y)2(x 4x)10，整理得 x2 5x 4 0，解得 x 1 或，x 4(经检验，均是方程 2(x 4x)10 的根)当 x 1 时，y 41 4；当 x 4 时，y 44 1 点 P 的坐标为(1，4)或(4，1)22(本小题满分 12 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 A 6，B 4（1）求 sinC 的值；（2）若 a 2，求ABC 的周长【解】（1）依题意，sinC sin(A B)sin(A B)sinAcosB sinAcosB sinAcosB cosAsinB 122232222 64（2）由正弦定理得，asinAbsinB，asinAcsinC，b asinBsinA2 2212 2，c asinCsinA2 2 64123 1，故ABC 的周长为 a b c 2 2 3 1 2 3 3第 46 页 共 78 页23(本小题满分 12 分)已知等差数列an满足a1 a2 a3 9，a1a2 6（1）求an的通项公式；（2）设bn3an6n 1，求数列bn的前 n 和 Sn【解】（1）依题意，设数列an的公差为 d，则有3a1 3d 9a1(a1 d)6，解得a1 2，d 1，an n+1；（2）由（1），bn3n 16n 112n 1，bn 1bn12n 212n 112，b1121 114，数列bn是首项为14，公比为12的等比数列，Sn141 12n1 121212n 124(本小题满分 14 分)已知椭圆与双曲线x24y25 1有共同的左右焦点 F1，F2，且椭圆的离心率为35（1）求椭圆的标准方程；（2）设点 P 是椭圆与双曲线左支的交点，求 cosF1PF2的值（3）若以 F2为圆心，半径为 r 的圆与椭圆没有交点，求 r 的取值范围【解】（1）依题意，c 4 5 3，设椭圆方程为x2a2y2b2 1(a b 0)椭圆的离心率 e ca3a35，a 5，b a2 c225 9 4，第 47 页 共 78 页故椭圆方程为x225y216 1；（2）在双曲线中，双曲线的半实轴长为 4 2，由双曲线的性质，得|PF2|PF1|2 2 4，由椭圆的性质得，|PF2|PF1|2 5 10，|PF1|3，|PF2|7，又|F1F2|2c 6，在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|32 72 622 3 71121；（3）依题意，右焦点 F2到椭圆左顶点的距离是 a c 5 3 8，右焦点 F2到椭圆右顶点的距离是 a c 5 3 2，r 的取值范围为(0，2)(8，)