1 1 特征值性质和估计特征值性质和估计第第8 8章章 矩阵特征值计算矩阵特征值计算一、特征值问题及其性质一、特征值问题及其性质二、特征值估计与扰动二、特征值估计与扰动2 2 幂法及反幂法幂法及反幂法一、一、幂法幂法幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值1及其对应的特征向量x1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。A=1 1 0.5;1 1 .25;.5 .25 2u=1,1,1v=A*u,v1=max(v),u=v/v1二、二、加速方法加速方法1. 原点平移法原点平移法三、反幂三、反幂法法反幂法可求非奇异实矩阵的按模最小特征值及特征向量。反幂法计算公式反幂法计算公式:A=2 1 0;1 3 1;0 1 4,p=1.2679,B=A-p*eye(3);L U P=lu(B);L,U,P,v=U1 1 1, mu=max(v);u=v/mu,v=U(L(P*u), mu=max(v);u=v/mu,lamda=p+1/mu3 3 正交变换与矩阵分解正交变换与矩阵分解 本节介绍豪斯霍尔德变换和吉文斯变换及其在矩阵分解中的应用.一、一、Householder变换变换二、吉文斯（二、吉文斯（Givens）变换）变换三、矩阵的三、矩阵的QRQR分解与舒尔分解分解与舒尔分解定理定理18 (Schur分解分解)：任何一个 阶复矩阵 酉相似于一个上(下)三角矩阵。也可以采用也可以采用Givens变换和变换和Schmidt正交化方法进行正交化方法进行QR分解。分解。4 QR4 QR方法方法Rutishauser(1958)利用矩阵的三角分解提出计算矩阵特征值的LR算法，Francis(1961,1962)利用矩阵的QR分解建立计算矩阵特征值的QR方法.QR方法是一种变换方法，是计算一般(中小型)矩阵全部特征值问题的最有效方法之一.目前QR方法主要用来计算：（1）上海森伯格阵全部特征值问题；（2）对称三对角阵全部特征值问题.下面主要介绍求非奇异矩阵的全部特征值的基本QR方法。一、基本一、基本QR方法方法Q, R=qr(A), A=R*Q,