主要内容主要内容第十讲 线性方程组(续)v齐次线性方程组的基础解系的概念，基础齐次线性方程组的基础解系的概念，基础 解系的求法；解系的求法；v齐次线性方程组的解的结构，即齐次线性齐次线性方程组的解的结构，即齐次线性 方程组的通解表达式；方程组的通解表达式；v齐次线性方程组的解空间的维数与系数矩齐次线性方程组的解空间的维数与系数矩 阵的秩的关系；阵的秩的关系；v非齐次线性方程组的通解表达式非齐次线性方程组的通解表达式.基本要求基本要求v理解齐次线性方程组的基础解系的概念及系理解齐次线性方程组的基础解系的概念及系 数矩阵的秩与全体解向量的秩之间的关系，数矩阵的秩与全体解向量的秩之间的关系， 熟悉基础解系的求法；理解非齐次线性方程熟悉基础解系的求法；理解非齐次线性方程 组的通解的构造组的通解的构造.1线性代数10线性方程组续课件一、复习一、复习第第四四节节 线线性性方方程程组组的的解解的的结结构构1. 系数矩阵是方阵的线性方程组系数矩阵是方阵的线性方程组设设 为方阵，若为方阵，若 ，则线性方程组，则线性方程组 有惟一解有惟一解.2. 系数矩阵是一般矩阵的线性方程组系数矩阵是一般矩阵的线性方程组（克莱默法则）（克莱默法则） 个未知数的齐次线性方程组个未知数的齐次线性方程组 有非零有非零解的充要条件是系数矩阵的秩解的充要条件是系数矩阵的秩 . 个未知数的非齐次线性方程组个未知数的非齐次线性方程组 有解有解的充要条件是系数矩阵的充要条件是系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩等于增广矩阵的秩；且当的秩；且当 时方程组有惟一解，时方程组有惟一解，当当 时方程组有无限多个解时方程组有无限多个解.2线性代数10线性方程组续课件二、齐次线性方程组的解的构造二、齐次线性方程组的解的构造1. 齐次线性方程组的解的性质齐次线性方程组的解的性质性质性质1 若若 为为 的解，的解， 则则 也是也是 的解的解.证证因为因为 为为 的解，所以的解，所以因而因而即即 满足方程满足方程 .3线性代数10线性方程组续课件性质性质2 若若 为为 的解，的解， 为实数，为实数， 则则也是也是 的解的解.证证因而因而因为因为 为为 的解，所以的解，所以即即 满足方程满足方程 .4线性代数10线性方程组续课件2. 齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间 设齐次线性方程组设齐次线性方程组 的所有解组成的集的所有解组成的集合为合为 ，显然显然 非空，非空，根据性质根据性质1知，知， 对于加法封闭，对于加法封闭， 根据性质根据性质2知，知， 对于数乘封闭，对于数乘封闭，所以所以 是一个向量空间，称为的是一个向量空间，称为的解空间解空间.5线性代数10线性方程组续课件3. 基础解系基础解系定义定义 齐次线性方程组的解空间的基称为该齐齐次线性方程组的解空间的基称为该齐次线性方程组的次线性方程组的基础解系基础解系. 换句话说，换句话说，齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系次线性方程组的基础解系.6线性代数10线性方程组续课件4. 齐次线性方程组的解的构造齐次线性方程组的解的构造 根据最大无关组的定义或基的定义知，由齐次根据最大无关组的定义或基的定义知，由齐次线性方程组的基础解系，就可以构造齐次线性方线性方程组的基础解系，就可以构造齐次线性方程组的通解表示式：程组的通解表示式：设齐次线性方程组设齐次线性方程组 的基础解系为的基础解系为则方程组则方程组 的通解为的通解为7线性代数10线性方程组续课件三、基础解系的求法三、基础解系的求法 设个未知数的方程组设个未知数的方程组 的系数矩阵的系数矩阵 的秩的秩 ，并不妨设，并不妨设 的前的前 个列向量线性无关，个列向量线性无关，则则 的行最简形矩阵的行最简形矩阵 为为如果非零如果非零首元不在首元不在 前，有前，有类似结论，类似结论，只是非自只是非自由未知数由未知数不同不同8线性代数10线性方程组续课件方法一（先求同解再求基础解系）：方法一（先求同解再求基础解系）： 选取选取 作为自由未知数，并令它作为自由未知数，并令它们依次等于们依次等于 ，得，得9线性代数10线性方程组续课件即即10线性代数10线性方程组续课件写成向量形式为写成向量形式为记作记作11线性代数10线性方程组续课件可知解集可知解集 中的任一向量中的任一向量 能由能由 线线又显然可见又显然可见 线性无关，所以线性无关，所以性表示，性表示，是解集的最大无关组，即是解集的最大无关组，即是方程组是方程组 的基础解系的基础解系.方法二（先求基础解系再求通解）：方法二（先求基础解系再求通解）：选取选取 作为自由未知数，作为自由未知数，令它们分别取下列令它们分别取下列 组数：组数：12线性代数10线性方程组续课件依次代入方程组依次代入方程组可以取其可以取其它情形的它情形的数组，只数组，只要所取的要所取的 个数个数组线性无组线性无关即可关即可13线性代数10线性方程组续课件于是所求基础解系为：于是所求基础解系为：14线性代数10线性方程组续课件四、解空间的维数与系数矩阵的秩的关系四、解空间的维数与系数矩阵的秩的关系 根据上述求基础解系的过程可得，齐次线性方根据上述求基础解系的过程可得，齐次线性方程组的解集的秩与系数矩阵的关系是：程组的解集的秩与系数矩阵的关系是：定理定理7 设设 矩阵矩阵 的秩的秩 ，则，则 元齐次元齐次线性方程组线性方程组 的解集的秩的解集的秩注意：注意：当当 时，则时，则 的解集的秩的解集的秩 ， 即方程组只有零解，此时方程组没有基础解系即方程组只有零解，此时方程组没有基础解系.当当 时，则时，则 的基础解系含有的基础解系含有 个向量个向量.15线性代数10线性方程组续课件例例1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的基础解系与通解的基础解系与通解.解解 析：此例是最基本的求基础解系与求解齐次析：此例是最基本的求基础解系与求解齐次方程的训练题方程的训练题. 与前面解决同一问题的方法相比与前面解决同一问题的方法相比较，现在求解此问题时，大致有三个方面的提高：较，现在求解此问题时，大致有三个方面的提高：解题思想更具有理论意义；解题思想更具有理论意义；解题手法更加灵活；解题手法更加灵活；并赋予它的解集以鲜明的集合意义并赋予它的解集以鲜明的集合意义.16线性代数10线性方程组续课件对系数矩阵作初等行变换，变为行最简形，对系数矩阵作初等行变换，变为行最简形，于是可得于是可得17线性代数10线性方程组续课件选取选取 为自由未知数，令为自由未知数，令及及代入所得同解方程组，对应有代入所得同解方程组，对应有及及所以，所求基础解系为所以，所求基础解系为方程组的通解为方程组的通解为18线性代数10线性方程组续课件说明说明v上述的解题过程是一个上述的解题过程是一个“标准程序标准程序”，其中把系，其中把系 数矩阵化为行最简形也是采用数矩阵化为行最简形也是采用“标准程序标准程序”（第（第 一行第一列的元素是非零首元）一行第一列的元素是非零首元）.v自由未知数取不同的数组，可以得到不同的基自由未知数取不同的数组，可以得到不同的基 础解系；若础解系；若对应的基础解系为对应的基础解系为19线性代数10线性方程组续课件v用初等行变换化简系数矩阵，若不采用用初等行变换化简系数矩阵，若不采用“标准标准 程序程序”化为行最简形，而是将系数矩阵的某些化为行最简形，而是将系数矩阵的某些 列化为单位坐标向量列化为单位坐标向量. 这样可以灵活地选取自这样可以灵活地选取自由未知数，从而得到不同于按由未知数，从而得到不同于按“标准程序标准程序”得得到的基础解系到的基础解系.20线性代数10线性方程组续课件所以基础解系为所以基础解系为v由以上说明更加清晰看出，基础解系不是惟一由以上说明更加清晰看出，基础解系不是惟一 的，所以通解表达式也不是惟一的的，所以通解表达式也不是惟一的.但是基础解但是基础解 系中所含向量个数是惟一的系中所含向量个数是惟一的.21线性代数10线性方程组续课件例例2 设设 ，证明，证明 .证证记记 ，则，则都是方程都是方程 的解的解设设 的解集为的解集为 ，由，由 知，知，即即而由定理而由定理7知，知，故故22线性代数10线性方程组续课件说明说明由于当由于当 时，有时，有 ，所以，所以 的解；的解； 的行向量都是齐次方程的行向量都是齐次方程 的解的解.v此例的结论：当此例的结论：当 时，时， 有有 着十分广泛的应用着十分广泛的应用.v当当 时，时， 的列向量都是齐次方程的列向量都是齐次方程这里这里 =矩阵矩阵 的列数的列数=矩阵矩阵 的行数的行数.23线性代数10线性方程组续课件例例3 证明矩阵证明矩阵 与与 行向量组等价的充要行向量组等价的充要条件是齐次方程组条件是齐次方程组 与与 同解同解.证证 析：讨论两个向量组等价，首先想到定理析：讨论两个向量组等价，首先想到定理2的推论，但是推论讲的是两个列向量组等价的充的推论，但是推论讲的是两个列向量组等价的充要条件，即要条件，即矩阵矩阵 与与 的向量组等价的向量组等价现在讨论的是行向量组，而现在讨论的是行向量组，而 与与 的行向量组就的行向量组就是是 与与 的列向量组，因此的列向量组，因此矩阵矩阵 与与 的行向量组等价的行向量组等价24线性代数10线性方程组续课件必要性：必要性： 矩阵矩阵 与与 的行向量组等价，就是方程的行向量组等价，就是方程组组 与与 可以互推可以互推.也就是方程组也就是方程组 与与 同解同解.充分性：充分性：方程组方程组 与与 同解同解方程组方程组 、 与与 同解同解它们的解集的秩相等它们的解集的秩相等它们系数矩阵的秩相等，即它们系数矩阵的秩相等，即矩阵矩阵 与与 的行向量组等价的行向量组等价.25线性代数10线性方程组续课件说明说明矩阵矩阵 与与 的行向量组等价，就是方程组的行向量组等价，就是方程组 与与 可以互推可以互推.因此，此例可以该叙为：因此，此例可以该叙为：齐次方程组齐次方程组 与与 可互推的充要可互推的充要条件是它们同解条件是它们同解.26线性代数10线性方程组续课件例例4 证明证明证证 析：此题仍然是运用解空间的维数与系数矩析：此题仍然是运用解空间的维数与系数矩阵的秩的关系证明结论的一道题目阵的秩的关系证明结论的一道题目.下面证方程组下面证方程组 与与 同解：同解：若若 满足满足 ，则有，则有 ，即即设设 为为 矩阵，矩阵， 为为 维列向量维列向量.若若 满足满足 ，则有，则有即即从而推知从而推知由以上可知由以上可知 与与 同解，因此同解，因此27线性代数10线性方程组续课件说明说明此题的结论对任意实矩阵都是成立的，但对复此题的结论对任意实矩阵都是成立的，但对复 矩阵结论不成立矩阵结论不成立. 因为因为对于复列向量对于复列向量 ，不能由，不能由 推出推出复矩阵复矩阵 ，结论应该为，结论应该为此题的结论是矩阵此题的结论是矩阵 的一个重要性质的一个重要性质.28线性代数10线性方程组续课件五、非齐次线性方程组的解的构造五、非齐次线性方程组的解的构造1. 非齐次线性方程组的解的性质非齐次线性方程组的解的性质性质性质3 设设 都是都是 的解，的解，则则 是其对应的齐次方程组是其对应的齐次方程组 的解的解.证证 性质性质4 设设 是方程组是方程组 的解，的解， 是其对应的是其对应的齐次方程组齐次方程组 的解，的解，则则 仍是仍是的解的解.证证 29线性代数10线性方程组续课件2. 非齐次线性方程组的解的构造非齐次线性方程组的解的构造 设设 是是 的任一解，若已经求得的任一解，若已经求得的一个解的一个解 ， 则则 总可以表示为总可以表示为其中其中 为方程为方程 的解的解.若若 的基础解系为的基础解系为 则则反之，对任何实数反之，对任何实数 上式总是上式总是 的解的解.30线性代数10线性方程组续课件非齐次线性方程组的解非齐次线性方程组的解 设设 ，若，若 的基础解系为的基础解系为 ， 是是 一个解一个解（特解）（特解）， 则则 的通解为的通解为31线性代数10线性方程组续课件注意：注意：非齐次线性方程组非齐次线性方程组 的解集的解集不是向量空间不是向量空间.32线性代数10线性方程组续课件例例5 求解方程组求解方程组解解对增广矩阵施行初等行变换：对增广矩阵施行初等行变换：33线性代数10线性方程组续课件可见可见故方程组有解，且有故方程组有解，且有所以特解为所以特解为又对应的齐次方程组可化为又对应的齐次方程组可化为34线性代数10线性方程组续课件所以对应的齐次方程组的基础解系为所以对应的齐次方程组的基础解系为于是所求通解为于是所求通解为35线性代数10线性方程组续课件例例6 已知方程组已知方程组：的一个基础解系为的一个基础解系为36线性代数10线性方程组续课件试写出方程组试写出方程组的通解，并说明理由的通解，并说明理由.解解 析：此题的目的是运用解空间的维数与系数析：此题的目的是运用解空间的维数与系数矩阵的关系求解方程矩阵的关系求解方程.：把方程组把方程组与与的系数矩阵分别记为的系数矩阵分别记为 与与 .则此题可叙述为则此题可叙述为37线性代数10线性方程组续课件“已知方程组已知方程组 基础解系是基础解系是 的列向量的列向量组，试写出组，试写出 的通解的通解.”于是可得于是可得因而因而所以所以 的列向量是的列向量是 的解，且的解，且 的列的列向量组就是向量组就是 的基础解系的基础解系.（由定理（由定理7）38线性代数10线性方程组续课件六、小结六、小结v设设 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 的解集为的解集为 ，则，则解集解集 的一个最大无关组称为齐次方程组的基的一个最大无关组称为齐次方程组的基础解系础解系.设设 ，则，则 ，知基础解，知基础解系含系含 个解向量个解向量.设设 为齐次线性方程组的基础解系，为齐次线性方程组的基础解系，则其通解为则其通解为v设非齐次方程组设非齐次方程组 的一个解为的一个解为 ，对应的齐，对应的齐次线性方程组次线性方程组 的基础解系为的基础解系为 ，则则 的通解为的通解为39线性代数10线性方程组续课件v求解方程组求解方程组 的的“标准程序标准程序”： 用初等行变换化简增广矩阵；用初等行变换化简增广矩阵； 判断方程是否有解，若有解，则将增广矩阵判断方程是否有解，若有解，则将增广矩阵化为行最简形；化为行最简形； 根据增广矩阵的行最简形求出一个特解；根据增广矩阵的行最简形求出一个特解； 根据系数矩阵的行最简形（将增广矩阵的行根据系数矩阵的行最简形（将增广矩阵的行最简形的最后列去掉即得），求出对应的齐次最简形的最后列去掉即得），求出对应的齐次方程组的基础解系；方程组的基础解系； 写出通解表达式写出通解表达式.40线性代数10线性方程组续课件作业：作业： P110 22.(1)(3) 23. 25. 26. 27.P111 29. 30. 31. 32.41线性代数10线性方程组续课件