返回概率论与数理统计概率论与数理统计返回帕斯卡帕斯卡帕斯卡帕斯卡费尔马费尔马费尔马费尔马课程简介课程简介概率论起源于概率论起源于博弈问题博弈问题 17世纪世纪 甲乙两赌徒甲乙两赌徒 赌金为各赌金为各6枚金币枚金币规则：规则：谁先胜三局就得谁先胜三局就得12枚金币枚金币问题：问题：甲胜甲胜1局乙胜局乙胜2局时，赌博结束，赌金该如何分配？局时，赌博结束，赌金该如何分配？ 答案：答案：甲得甲得3枚，乙得枚，乙得9枚枚社社会会实实践践科科学学研研究究概率论概率论数理统计数理统计相关相关系数系数方差方差数学数学期望期望协方协方差差独立独立性性联合概率布联合概率布(密度密度)边缘概率布边缘概率布(密度密度)概率概率分布分布概率概率密度密度分布分布函数函数条件条件样本样本空间空间试验试验 概率概率独立重复独立重复数字数字特征特征随机随机向量向量随机随机变量变量随机随机事件事件落落叶叶归归根根服服务务社社会会分析分析回归回归分析分析方差方差假设假设检验检验参数参数估计估计方差分析方差分析单因素单因素方差分析方差分析双因素双因素统统 计计量量点估点估计计区间区间估计估计拒绝拒绝域域检验检验两个正态总体两个正态总体检验检验一个正态总体一个正态总体小概率小概率原理原理最小最小二乘法二乘法线性线性回归模型回归模型检验检验 与预测与预测大数大数定律定律中心极定理中心极定理自然现象自然现象电电雷雷风风 雨雨人类活动人类活动行行住住衣衣 食食本课程的知识网络图本课程的知识网络图返回学习方法学习方法多听：多听：注意听讲（概念的内涵、外延，公式的来龙注意听讲（概念的内涵、外延，公式的来龙 去脉，解题思路技巧）；去脉，解题思路技巧）；多看：多看：仔细、反复阅读教材仔细、反复阅读教材;多多记记：在在理理解解的的基基础础上上归归纳纳记记忆忆一一些些必必要要的的概概念念、 公式、题型；公式、题型；多练：多练：通过做题巩固所学知识；通过做题巩固所学知识；多思：多思：学而不思则罔。学而不思则罔。返回第一章第一章 随机事件及其概率（约随机事件及其概率（约1212学时）学时）基本基本要求：要求： 1 1 理解随机事件的概念，及概率的统计定义理解随机事件的概念，及概率的统计定义理解随机事件的概念，及概率的统计定义理解随机事件的概念，及概率的统计定义; ;2 2 了解样本空间的概念了解样本空间的概念了解样本空间的概念了解样本空间的概念; ;3 3 掌握事件的关系及运算掌握事件的关系及运算掌握事件的关系及运算掌握事件的关系及运算; ;4 4 掌握古典概概率的计算掌握古典概概率的计算掌握古典概概率的计算掌握古典概概率的计算; ;5 5 掌握概率的加法定理掌握概率的加法定理掌握概率的加法定理掌握概率的加法定理6 6 理解条件概率和全概率公式理解条件概率和全概率公式理解条件概率和全概率公式理解条件概率和全概率公式7 7 理解随机事件的独立性，了解独立试验序列理解随机事件的独立性，了解独立试验序列理解随机事件的独立性，了解独立试验序列理解随机事件的独立性，了解独立试验序列返回第第1.11.1节节 随机事件及其概率随机事件及其概率概率的统计定概率的统计定义义一、随机事件一、随机事件确定性现象确定性现象(必然现象必然现象)从窗上往下跳从窗上往下跳今年是公元今年是公元2010年年,明年明年异性电荷放置一起异性电荷放置一起下落下落公元公元2011年年相互吸引相互吸引随机现象随机现象(偶然现象偶然现象) 1.记录某网站一分钟内受到的点击次数记录某网站一分钟内受到的点击次数; 2.掷二颗骰子，考虑可能出现的点数；掷二颗骰子，考虑可能出现的点数；3.购买体育彩票一注购买体育彩票一注,考察中特等奖的情况考察中特等奖的情况;返回 随机现象随机现象 在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象. 随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性 在相同条件下多次重复某一试验或观察时，其各种结在相同条件下多次重复某一试验或观察时，其各种结果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统计规律性计规律性. 概率论与数理统计的研究对象概率论与数理统计的研究对象 概率论与数理统计以随机现象为研究对象概率论与数理统计以随机现象为研究对象.随机现象随机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性的普遍存在性决定了它的广泛应用性.返回可在相同条件下重复进行；可在相同条件下重复进行； 试验可能结果不止一个试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果但能确定所有的可能结果;一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。随机试验（简称试验）随机试验（简称试验） 对随机现象进行的试验与观察对随机现象进行的试验与观察. .随机试验的三个特点：随机试验的三个特点：重复性、明确性重复性、明确性 、随机性、随机性. .随机事件随机事件 随机试验的各种可能的结果随机试验的各种可能的结果. .简称简称“事件事件”. .常用常用A A、B B、CC表示表示. .返回A为随机事件为随机事件B为必然事件为必然事件U例如例如 掷一颗质地均匀的骰子掷一颗质地均匀的骰子, ,观察其出现的点数观察其出现的点数. .记记 A=“A=“出现奇数点出现奇数点”B=“B=“点数大于零点数大于零”C=“C=“点数大于点数大于6”6”C为不可能事件为不可能事件V必然事件必然事件在每次试验结果中在每次试验结果中, 必然发生的事件必然发生的事件.常用常用U表示表示.不可能事件不可能事件在每次试验结果中在每次试验结果中.一定不发生的事件一定不发生的事件.常用常用V表示表示.返回 练习练习 已知一批产品共已知一批产品共100个个,其中有其中有95个合格品个合格品和和5个次品个次品.检查产品质量时检查产品质量时,从这批产品中任意抽取从这批产品中任意抽取10个来检查个来检查.指出下列事件中指出下列事件中,哪些是随机事件哪些是随机事件,哪些哪些是必然事件是必然事件,哪些是不可能事件哪些是不可能事件?B=“次品数不多于次品数不多于5个个”C=“次品数不少于次品数不少于5个个”D=“没有次品数没有次品数”A=“恰有恰有1个次品个次品”随机事件随机事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件随机事件随机事件返回二、概率的统计定义二、概率的统计定义返回频率的性质频率的性质(1) 0 fn(A ) 1；(2)不可能事件的频率不可能事件的频率fn( )=0.(3)必然事件的频率必然事件的频率fn()1；返回 有人做过下列试验有人做过下列试验, ,试图证明抛掷匀质硬币时，试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等出现正反面的机会均等( (用用“A A” 表示出现正面表示出现正面) )。实验者实验者 抛掷次数抛掷次数n 正面向上次数正面向上次数m 频数频数fn(A) 贾淑芬贾淑芬 10 40.4 风车车风车车50 27 .54 假老练假老练500 246 .492 德摩根德摩根 2048 1061 0.5181 蒲蒲 丰丰 4040 2048 0.5069 费歇尔费歇尔 10000 4979 0.4979 皮尔逊皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊皮尔逊 24000 12012 0.5005返回概率的统计定义概率的统计定义 频率的稳定值频率的稳定值.返回概率的性质：概率的性质：(1) 0 (A) 1；(2) 必然事件的概率必然事件的概率()1； (3) 不可能事件的概率不可能事件的概率(V )=0.注意注意: :频率与试验有关频率与试验有关, , 频率是概率的随机表现；频率是概率的随机表现；概率与试验无关，是客观存在的概率与试验无关，是客观存在的. .不能就个别现象不能就个别现象来谈概率。来谈概率。返回样本点样本点()随机试验可能发生的每一个基本结果。随机试验可能发生的每一个基本结果。第第1.21.2节节 样本空间样本空间样本空间（样本空间（）全体样本点构全体样本点构 成的集合。成的集合。例例1 抛掷一枚硬币，用抛掷一枚硬币，用 表示表示“正面向上正面向上”，用，用 表示表示“反面向上反面向上”。则。则样本点有样本点有:样本空间为样本空间为:例例2 设试验为测量车床加工的零件的直径，则设试验为测量车床加工的零件的直径，则样本点有样本点有:样本空间为样本空间为:返回例例3 设试验为从装有三个白球设试验为从装有三个白球(记为记为1,2,3号号)与两个黑与两个黑 球（记为球（记为4、5号）的袋中任取两个球号）的袋中任取两个球.（1）若观察取出两球的颜色，则）若观察取出两球的颜色，则样本点有样本点有:样本空间为样本空间为:（2）若观察取出两球的号码，则）若观察取出两球的号码，则样本点有样本点有:样本空间：样本空间：由由 个样本点构成的集合个样本点构成的集合:返回必然事件必然事件U 不可能事件不可能事件V 任意事件任意事件A都是样本空间的子集，该子集中任一都是样本空间的子集，该子集中任一样本点发生时事件样本点发生时事件A即发生。即发生。基本事件基本事件的单元素子集，即每个样本点构的单元素子集，即每个样本点构 成的集合成的集合.返回写出下列各个试验的样本空间写出下列各个试验的样本空间: :1.1.袋中有编号为袋中有编号为1,2,3,n的球的球,从中任取一个从中任取一个,观察球的观察球的 号码；号码；2.2.掷二枚骰子，观察点数和；掷二枚骰子，观察点数和；3.3.从自然数从自然数 1,2,3,91,2,3,9中接连随意取三个组成一个三中接连随意取三个组成一个三位数，每取一个还原后再取下一个位数，每取一个还原后再取下一个. .若是不还原呢？若是不还原呢？课堂练习课堂练习返回第第1.31.3节节 事件的关系及运算事件的关系及运算记号记号 概率论概率论 集合论集合论 样本空间样本空间, ,必然事件必然事件 全集全集 不可能事件不可能事件 空集空集 样本点样本点 元素元素事件事件 集合集合事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算一致，只是术语不同而已。一致，只是术语不同而已。返回A A是是B B的子集的子集, ,表示若事件表示若事件A A出现出现, ,事件事件B B一定出现一定出现. .A与与B相等，表示相等，表示A与与B中任意事件发生必然导致另中任意事件发生必然导致另一事件发生一事件发生一、事件间的关系一、事件间的关系AB返回A A与与B B的并的并( (和和).).表示事件表示事件A A与与B B至少有一个发生至少有一个发生. .，记作，记作AB返回A A与与B B的交的交( (或积或积).).表示事件表示事件A A与与B B都都( (或同时或同时) )发生发生. .，记作，记作BA返回表示事件表示事件A A和和B B不能同时发生不能同时发生, ,称称A A与与B B互不相容（或互互不相容（或互斥）斥）. .常将两事件的并记为常将两事件的并记为A+BA+B称称这这n个事件是个事件是互不相容的互不相容的( (或互斥的或互斥的).).BA若若n n个事件个事件A A1 1,A,A2 2,A,An n中任意两个事件都不能同时发生中任意两个事件都不能同时发生, ,即即返回A表示事件表示事件A A和和B B互不相容，且它们中必有一事件发生。互不相容，且它们中必有一事件发生。称事件称事件A A与与B B是是对立对立的（或的（或互逆互逆的），称事件的），称事件A A是是B B的对的对立事件或逆事件或事件立事件或逆事件或事件B B是是A A的对立事件或逆事件的对立事件或逆事件记作记作（6）且且返回（7）完备事件组完备事件组则称这则称这n个事件构成完备事件组个事件构成完备事件组则称这则称这n个事件构成互不相容的完备事件组个事件构成互不相容的完备事件组(8) 互不相容的完备事件组互不相容的完备事件组返回表示事件表示事件A A发生发生, ,而事件而事件B B不发生不发生. .AB返回二、事件的运算二、事件的运算4、德摩根德摩根(De Morgen)律律： 2、结合律：、结合律：1、交换律：、交换律：3、分配律：、分配律：返回例例1 1设设A A、B B、C C为任意三个事件为任意三个事件, ,试用它们表示试用它们表示下列事件下列事件: : (1) A(1) A、B B出现，出现，C C不出现；不出现； (2) A(2) A、B B、C C中恰有一个出现；中恰有一个出现； (3) A(3) A、B B、C C中至多有一个出现；中至多有一个出现； (4) A(4) A、B B、C C中至少有一个出现中至少有一个出现. .解解 返回返回1.1.设事件设事件A=A=甲种产品畅销，乙种产品滞销甲种产品畅销，乙种产品滞销 ，则，则A A的的对立事件为（对立事件为（ ） 甲种产品滞销，乙种产品畅销；甲种产品滞销，乙种产品畅销； 甲、乙两种产品均畅销；甲、乙两种产品均畅销； 甲种产品滞销；甲种产品滞销； 甲种产品滞销或者乙种产品畅销。甲种产品滞销或者乙种产品畅销。2.2.设设x x表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系明下列各对事件间的关系）A=xA=x2020，B=x20B=x20）A=xA=x2222，B=xB=x1919课堂练习课堂练习A与与B对立对立A与与B互斥互斥返回作业作业P33：习题习题1.11.2