二次函数整合提升热点一二次函数的图象与性质二次函数的图象是抛物线，其性质主要体现在开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值、对称性等方面，熟练掌握这些性质是学好本章的前提和基础再者注意 ya(xh)2k 的图象与函数 yax2 的图象的关系，它们形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到平移的规律是：“h 左加右减，k 上加下减”二次函数的一般形式 yax2bxc 可以转化为顶点式 ya(xh)2k加以分析【例 1】已知二次函数 y2(x1)2m 的图象上有三个点，坐标分别为 A(2，y1)，B(3，y2)，C(4，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是()Ay1y2y3Cy3y1y2By2y1y3Dy3y2y1解析：二次函数的解析式为 y2(x1)2m，该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为直线 x1.点 A(2，y1)，B(3，y2)，C(4，y3)为二次函数 y2(x1)2m 的图象上三个点，且三点横坐标距离对称轴 x1 的距离远近顺序为 C(4，y3)，B(3，y2)，A(2，y1)，三点纵坐标的大小关系为 y3y2y1.答案：D【跟踪训练】1二次函数 yx22x5 有()DA最大值5C最大值6B最小值5D最小值62抛物线 y(x2)23 可以由抛物线 yx2 平移得到，则下列平移过程正确的是()BA先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位B先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位C先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位D先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位3如图 22-1，在 RtOAB 中，OAB90，O 为坐标原点，边 OA 在 x 轴上，OAAB1 个单位长度，把 RtOAB 沿x 轴正方向平移 1 个单位长度后得AA1B1.(1)求以 A 为顶点，且经过点 B1 的抛物线的解析式；(2)若(1)中的抛物线与 OB 交于点 C，与 y 轴交于点 D，求点 C，D 的坐标图 22-1解：(1)由题意，得点 A(1,0)，B1(2,1)设抛物线的解析式为 ya(x1)2.将 B1 坐标代入，得 a1.所以抛物线的解析式为 y(x1)2.(2)因为点 B 坐标为(1,1)，所以直线 OB 的解析式为 yx.侧)抛物线与 y 轴的交点 D 的坐标为(0,1)热点二二次函数与一元二次方程的关系二次函数 y ax2 bx c(a0) 与一元二次 ax2 bx c 0(a0)从形式上看十分相似，两者之间既有联系又有区别当抛物线 yax2bxc 的 y 值为 0 时，就得到一元二次方程 ax2bxc0.抛物线与 x 轴是否有交点就取决于一元二次方程ax2bxc0 的根的个数的情况当 b24ac0 时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与 x轴的两个交点的横坐标是此方程的两个实数根；当 b24ac0 时，方程有两个相等的实数根，抛物线与 x轴只有一个交点，此交点的横坐标是方程的根；当 b24ac0)的图象经过点 C(0,1)，且与 x 轴交于不同的两点 A，B，点 A 的坐标是(1,0)(1)求 c 的值；(2)求 a 的取值范围；(3)该二次函数的图象与直线 y1 交于 C，D 两点，设 A，B，C，D 四点构成的四边形的对角线相交于点 P，记PCD 的面积为 S1，PAB的面积为S2，当0a0.而(a1)24aa22a14aa22a1(a1)2，实数 a 的取值范围是 a0 且 a1.(3)证明：如图 22-2， 0a1，图 22-2把 y1 代入 yax2(a1)x1，得ax2(a1)x0，解得x10，x21aa.CD1aa.S1S2SPCDSPABSACDSCABS1S2 为常数，这个常数为 1.【跟踪训练】6如图 22-3，抛物线 yx2bxc 的顶点为 D(1，4)，与 y 轴交于点 C(0，3)，与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)(1)求抛物线的解析式；(2)连接 AC，CD，AD，试证明ACD 为直角三角形；图 22-3(3)若点 E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 F，使以 A，B，E，F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由则抛物线解析式为x22x3.(2)结合图形，抛物线 yx22x3，与 x 轴的交点为(1,0)，(3,0)，由 AC2CD2AD2，所以ACD 为直角三角形(3)存在点 A(3,0)，B(1,0)，则|AB|4.抛物线 yx22x3 的对称轴为 x1.点 E 在抛物线的对称轴上，则过点 E 作 EFAB.交抛物线于点 F.要使以 A，B，E，F 为顶点的四边形为平行四边形，则|EF|4.设点 F 坐标为(x，y)，则|x1|4，故 x5 或 x3.当 x3 时，y 32 233 96 312 ，则点 F 为(3,12)当 x3 时，y522532510312.则点 F 为(5,12)故存在点 F(5,12)或(3,12)，使以 A，B，E，F 为顶点的四边形为平行四边形7如图 22-4，抛物线 y(x1)2 k 与 x轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C(0，3)(1)求抛物线的对称轴及 k 的值；(2)抛物线的对称轴上存在一点 P，使得 PAPC 的值最小，求此时点 P 的坐标；(3)点 M 是抛物线上一动点，且在第三象限图 22-4当 M 点运动到何处时，AMB 的面积最大？求出AMB的最大面积及此时点 M 的坐标；当 M 点运动到何处时，四边形 AMCB 的面积最大？求出四边形 AMCB 的最大面积及此时点 M 的坐标解：(1)抛物线 y(x1)2k 的对称轴为直线 x1.抛物线 y(x1)2k 过点 C(0，3)，则3(01)2k, k4.(2)如图 D6，根据两点之间线段最短可知，当 P 点在线段AC 上就可使PA PC 的值最小，又因为点P 要在对称轴上，所以 P 点应为线段 AC 与对称轴直线 x1 的交点图 D6由(1)可知，抛物线的表达式为 y(x1)24x22x3.令 y0，则(x1)240，解得 x13，x21.则点 A，B 的坐标分别是 A(3,0)、B(1,0)设直线 AC 的表达式为 ykxb，则所以直线 AC 的表达式为 yx3.当 x1 时， y(1)32，所以点 P 的坐标为(1，2)(3)当点 M 运动到抛物线的顶点时，AMB 的面积最大由抛物线表达式 y(x1)24 可知，抛物线的顶点坐标为(1，4)点 M 的坐标为(1，4)方法一：如图D6，过点M 作MHx 轴于点H，连接AM，MC，CB.点 M 在抛物线上，且在第三象限，设点 M 的坐标为(x，x22x3)，则方法二：如图D6，过点 M 作 MHx 轴于点H，交直线AC 于点N，连接 AM，MC，CB.点 M 在抛物线上，且在第三象限，设点 M 的坐标为(x，x22x3)，则点 N 的坐标为(x，x3)则|MN|x3(x22x3)x23x.则 S四边形AMCBSABCSAMC