连续系统的振动连续系统的振动弦的振动杆的轴向振动圆轴的扭转振动梁的横向振动在分析时，假定材料是均均匀匀连连续续和和各各向向相相同同性性的的，服服从从胡胡克克定定律律，运运动动是是微微幅幅的的，是是一一个个线线性性系系统。统。此外，为了简化，将不考虑系统的阻尼。第一节 弦的振动在工程中常遇到真能承受拉力而抗弯曲及压缩能力很弱的构件：如钢索、电线、电缆、皮带等。这类构件的振动问题称为弦的振动弦的振动弦的振动弦的振动如图4-1（a）所示为两端固定用预紧力F0拉紧的弦。在初始干扰下，弦作横向自由振动，弦上各个点的位移y是坐标x和时间t的函数，因此，位移曲线可以表达为设弦为均质，密度为、截面积为A。在弦上x处取微分段dx，其质量为考虑到F0远大于弦的重力，对于微振动来说，假设个截面处的张力均相等，且等于初张力F0。微段左右手两个大小想的但方向不同的张力，如图 4-1（b）所示。由牛顿定律可写出沿y方向的运动微分方程化简后得到设，a为波长沿弦长度方向传播的速度，则上式（4-1）就是均质弦横向振动的微分方程，通常称为波动方程波动方程波动方程波动方程。在多自由度系统振动分析时得知，在作主动振动各质点将作同样频率和相位的运动，各质点同时经过静平衡位置和达到最大偏离位置，即系统具有一定与时间无关的振动。连续系统也应具有这样的特性，故可假设（4-1）的解为上式中：Y（x）表示弦的振型函数，仅为x的函数，而与时间无关；（t）是弦的振动方式，仅为时间t的函数。移项后得式中x和t两个变量已分离。将（4-2）分别对时间t、x求而阶偏导后，代入（4-1），得两边都必须等于同一个常数。设此常数为-则可得两个二阶常微分方程式（4-4）形式与单自由度振动微分方程相同，其必为简谐振动形式它描绘出弦的主振动是一条正弦曲线，其周期为。将（4-6）、（4-7）代入（4-2）式中：C1、C2、n和为四个待定系数，可由两端的边界条件和振动的两个初始条件来决定。由（4-5）可解出振型函数，得化简得式(4-11)即为振动的特征方程，即频率方程，其解为由于弦的两端固定，其边界条件为将(4-9)代入(4-8)得显然有从而可得弦振动的固有频率为式中:nk为第k阶的固有频率。该式表明有无穷多个固有频率，同时，对应无穷阶的主振型为从以上分析可以看出，作为连续系统的弦振动的特性与多自由度系统的特性是一致的。不同的事，多自由度系统的主振型是以各质点之间的振幅比来表示的，而弦振动中质点的数趋于无穷多个，质点振幅采用振型函数Y=（x）表示。对应主振型为在一般情况下，显得自由振动为无限多阶的叠加，即例例 4-1 求如图4-1（a）所示的弦振动的前三阶固有频率和响应的主振型，并作出主振型图。同样，将n1 n3代入（4-13），可得前三阶主振型解：解：将k=1，2，3代入式（4-13）即得到前三阶的固有频率为若以x为横坐标，Y(x)为纵坐标，并令Ck1=1（k=1，2，3）则可作出前三阶主振型，如图4-2（a）所示。图4-2中振幅式中为零的点称为节点，节点数随振型阶次而增加，第n阶主振型有n-1个节点。为了将连续系统与离散系统的动力学特性比较，现将弦离散成三个自由系统，如图4-2（b）所示。由m1= m2= m3=Al/4 ， k11= k22= k33=8F0/l k12= k21= k23= k32=-4F0/l，则三自由度系统振动微分方程为其特征方程的代数形式为解得固有频率为结果表明基频的误差约为5%,随着阶次的增加，随着阶次的增加，误差更大误差更大。所以为了得到较精确的固有频率，应应把离散的系统自由度增多，把离散的系统自由度增多，具体取多少自由度取决于对精度的要求。运用式（2-6），将n1 n3代入特征方程的矩阵形式，取得响应的主振型近似的三自由度系统的主振型用虚线在4-2（a）中。与连续系统的精确主振型比较，低阶的主振型是很接近的，随着阶次的增加，误差增大。第二节 杆的轴向振动在工程问题中，常见以承受轴向力为主的直杆零件，入连杆机构的连杆、凸轮机构的挺杆等，它们同样存在着沿杆轴线方向的轴向振动。其简化力学模型入图4-3。设杆的密度为，截面积变化规律为A(x)，截面抗拉刚度为EA(x)。假设杆的横截面积在轴向振动过程中始终保持为平面，杆的横向变形也可以忽略，即在同一横截面上各点仅在x方向作相对位移，所以可用u（x，t）表示截面的位移，是x与时间t的函数。取微分段dx，如图4-3（b）所示其质量为左右截面的位移分别为故微分段的应变为两截面上的轴向内力分别为N和，对细杆，轴向力可表示为由牛顿定律，可得该微分段的运动微分方程将（4-17）和dm代入上式，得式（4-18）表示变成截面直杆的轴向振动微分方程，若已知A(x)，即可求出此方程的解。对于等截面的均质直杆，A、E均为常数，式（4-18）可化简为记得到与弦振动方程式（4-1）相同的偏微分方程令式中：为弹性纵波沿轴向的传播速度，m/s.式中C1、C2、n和为四个待定系数，可由两端的边界条件和振动的两个初始条件来决定。用类似与本章第一节的分离变量的方法，可直接写出（4-20）的解一般情况下，杆的轴向自由振动是无限多阶主振动的叠加，即讨论几种常见的端点边界条件时固有频率和主振型。(1)一端固定一端连接刚度为k的弹簧，如图4-4所示。因端点的边界条件仅为x，故可用振型函数U（x）来描述，即将式（4-23）代入（4-22）得式（4-23）第二部分右边取负号是由于位移原来为正而确定，在x=l处轴向位移取正，改为以使弹簧缩短，因此与正位移相关的弹力是压缩力，即N=-ku，因此在这种情况下x=l处单一的边界条件是由式（4-24）可以看出，对于不同k值，可解出不同的固有频率。该方程是一个超越方程，利用曲线图寻找初值，然后用数值计算程序可求得其解。令，把（4-24）作为简单函数的一个量写成如下形式于是得到系统的频率方程式（4-25）的根与上式两边两个函数曲线的交点相对应，如图4-5所示。不论k为何值，频率方程的根都落在/2b,3/2b2,5/2b3之间。由式（4-21）可知，其频率方程为（2）一端固定，一端自由。边界条件可表达为所以前三阶固有频率和主振型为前三阶主振型如图4-6（a）所示它相当于（4-24）中k= 的情形。其相应的频率为从而求的其固有频率对应主振型（3）两端均固定。边界条件可表示为前三阶主振型如图4-6（b）所示所以前三阶的主振型为从上述分析可以看出，端部从自由端变化到固定端，随着刚性的增加，各固有频率随之提高，基频提高了一倍。为了进一步说明这个结论，由图4-5可知，在一端固定一端连接刚度为k的弹簧情况下，随着k的增大，各阶固有频率均有增大的趋势，并且在k 0时，可知b (2k-1)/2 ,因此n (2k-1) /2l，此时称为一端固定一端自由的情况；k时，可知b k,因此 nk/l，此时成为两端固定的情况。另外图4-5可以看出，当频率增大时弹簧对系统固有频率的作用将减小，因此非常硬的弹簧可以有效地阻止低频段模态的位移，而同一系统的高频模态将很少受弹簧存在的影响。这种倾向具有一般性。 例例 4-2 一个等截面均质直杆如图4-7所示。设原有一个力F作用于自由端，当t=0瞬时将力F卸除。求杆的运动规律u（x，t）。解：解：由式（4-26）、（4-27）求出一端固定一端自由条件下杆纵向振动的固有频率和主振型，由（4-26）、（4-27）写出振动响应为式中： Cu、k可由初始条件确定。当t=0时，杆受力F的静拉伸，在x处位移为且在t=0时，外力F突然卸除，其初速度为零，即即将式（a）对t求偏导，并将（c）代入得即将式（b）代入（a）得令则式中C1k可以利用三角函数的正交性来求的。即由正交公式将（d）两边乘以，并将x从0到l积分，则有可导出代入（e）得杆的运动规律对应的前三阶主振型为如图4-8所示，可以看出三阶以上的振型对振动影响很小，因此前三阶足以表杆的振动规律，即第三节 圆轴的扭转振动在各类机械中，传动轴是经常遇到的零部件，它主要用来传递扭矩而不承受弯矩，其振动可简化为细长杆的振动问题，其力学模型如图4-9所示。设杆的密度为，截面抗弯刚度为GIt(x)，G为剪切弹性模量，It为截面抗扭常数，对于工程中常见的圆截面，It即为截面的极惯性矩Ip。忽略截面的翘曲，则杆扭转时，其截面保持为平面绕x轴作微幅振动取微分段dx如图4-9(b)所示，在它的两个截面上分别作用扭矩Tt和两个截面的相对扭转角为。根据材料力学扭转角与扭矩的关系，可以近似的得到对微分段dx建立扭转动力学方程得式中：Jp为微段的转动惯量d为x截面处圆截面直径。可以看出对于实心圆截面杆而截面的极惯性矩将式(4-30)、(4-32)代入式(4-31)得若Ip (x)已知，则可求解上述方程。式中，其物理意义为剪切弹性波沿x轴的传播速度。式(4-34)表示圆截面直杆作扭转振动的偏微分方程。它与弦振动和杆纵向振动具有同一形式。对于等截面直杆Ip (x)为一个常数，式(4-33)可化简为或用类似分离变量方法，式(4-34)的解为式中：C1、C2、n和为四个待定系数，可由两端的边界条件和振动的两个初始条件来决定。方程的一般解为各阶主振型为 例例 4-2 有一个油井转杆，其力学模型可化简为一根长轴，其一端固定，另一端有转动惯量J0的到头，设长度为l的长轴对轴线的总的转动惯量为Jp，求系统的固有频率。下端边界条件：因长轴下部与刀头相联接，故受到刀头的反转矩作用，如图4-10(b)所示。因在该例中各量的正方向的规定必须一致，根据右手定则，大拇指指x增加的方向，则四指所指的方向定义为转动的正方向。因此如果扭转变形时转角随x增加而增大，则按正方向作用在杆的端界面上一个正的内扭矩，而施加给刀头的扭矩就是负x方向的。解：解：简化力学模型如图4-10(a)所示，杆扭转的解为4-35上端边界条件：因长轴上部与钻机固定，固有因此刀头转动方程为式中：Tt长轴端部的转矩由材料力学知将式(b)代入(4-35)得， C2=0。且有，则将(4-35)分别对x求偏导及对t求二阶偏导数，得将上两式代入(d)化简得由(4-32)有以b为横坐标，y为纵坐标，作出y1(b) 和y2(b)曲线，如图4-11所示，其交点对应值，而固有频率分别为式(e)即为扭转系统的频率方程。该方程式一个超越方程。与(4-24)的求解相同，也采用作图法求解。令，分别作出和第四节 梁的横向振动当一根梁作垂直于其轴线方向的振动时，称作梁的横向振动。由于其主要变形形式是弯曲变形，所以又称为弯曲变形。下面讨论的梁振动限于这样的假设条件：各梁截面的中心主轴在同平面内，如图4-12(a)所示,的xoy平面，且在此平面内作横向运动。 一、振动微分方程的求解 设梁轴线的横向位移y（x，t）表示，设梁的密度为，x处的截面抗拉刚度为EI(x)，I(x)为截面对中心轴的惯性矩，A(x)为该截面积。 取 微 段 dx如 图 4-12(b)所示，它的两截面上受剪力和扭矩作用，由牛顿第二定律，该微段在y方向的运动微分方程为 故 由材料力学知，剪力和弯矩存在如下关系该式为梁的横向自由振动偏微分方程。对于均质截面直梁，E、I、A、 均为常数，上式可简化为弯矩和挠度的关系为将式(4-39)、(4-40)代入式(4-38)整理得式中：是由梁的物理及几何参数确定的常数。对于(4-42)这个四阶偏微分方程，仍采用分离变量法求解。设方程的解为，式中函数(t)为简谐函数，即故得解及式(4-44)为四阶微分方程，它的解可设为代入(4-44)得，此方程的四个根为将(4-43)代入(4-42)，并取可得于是通解为又式中ch(x)和sh(x)为双曲函数。式(4-45)可表达为即为梁的阵型函数，由此可得(4-42)的解即为梁横向振动响应的表达式，式中有六个待定系数C1、 C2、 C3、 C4、n、。由于梁每个端点有两个边界条件（位移和转角），故有四个边界调节，加上两个振动初始条件，便可以确定六个待定系数。二、振动微分方程的求解 图4-13(a)表示端部为弹性支撑的情况，图中k、kt分别表示端部支撑及其y向的扭转弹簧刚度。设端部的位移和转角分别为Y（l，t），。 x=l处的正位移y是向上的，它导致产生一个向下的弹力ky，这就是剪力，有Q=-ky；关于施加弯矩的扭矩弹簧的分析与上分析类似，为图4-13（b）表示端部有集中质量的情形，此时由于惯性力的存在，使梁受到一个数量上等于惯性力Q，集中质量的横向运动方程是另外因作用在集中质量上的力矩为零，所以集中质量存在的端部的边界条件为所以，弹性支撑的端部条件为几种典型的边界条件见表4-1例例4-1 图图4-14所示为一个均质等截面梁，两端简支，参数E、I、A及均已知，求梁作横向运动时的固有频率和主振型。解：解：端点边界条件为 将上述边界条件代入（4-46）及其二阶导数式，得C2=C4=0，及由于，故得，C3=0并得简支梁振动频率方程(a)此方程的根为(b)因为且，固有频率表达式为相应的主振型函数为对于E、I、A及均已知的梁，其固有频率可表达为(c)(d)(e)其中所以前三阶的固有频率为对于其他支撑形式的梁，其对应的固有频率可用类似的方法导出。表4-2列出了不同支撑梁的表达式及所计算的前三阶固有频率值。(f)设以Yj(x)和Yk(x) 分别表示对应于j阶和第k阶固有频率和的主振型，必须满足振型函数式，即又因三、梁的横向受迫振动响应1.主振型的正交性主振型的正交性前面已导出量的阵型函数关系式（4-44）即用Yk乘以（4-50）的两边，并用分步积分法对梁的全场进行积分，得：(4-50)(4-51)(4-52)同理，用Yk乘以式（4-51）的两边，并用分步积分法对梁的全长进行积分，得：将上两式相减得(4-52)(4-53)式（5-54）的右边实际上是梁的端点边界条件，无论梁的端点是自由、固定或简支，将端点边界条件（参见表4-1）带入上式，右边始终为零，故有将式（4-56）代入（4-52），得(4-55)(4-56)(4-57)因此，只要jk，则，即有式（4-56）和（4-58）就是均质等截面梁横向振动主振动型正交性的表达式，当j=k时，则式（4-55）中的积分部分可以等于常数，即由于式（4-52）中含有端点条件式，该部分也为零，即所以，由式（4-52）可得(4-58)(4-59)为了运算方便，常将主振型正则化，可取正则化因子。则式（4-59）可化为将式（4-59）及代入式（4-52）得(4-60)(4-61)(4-62)式（4-60）经正交化后，得2、用模态分析法求梁振动响应用模态分析法求梁振动响应设等截面梁受外界横向分布力f（x，t）作用时，梁横向振动微分方程为(4-63)上式为一个四阶常系数非齐次偏分方程，其对应的齐次方程的解就是前面讨论的梁的自由振动响应，它是瞬态响应，这里只讨论非齐次方程的特解，即梁的稳态振动。(2).对原方程进行坐标变换，将梁的受迫振动微分方程变换成用模态方程来表达，梁的坐标变换表达式(4-64)用模态分析法求梁稳态响应的步骤如下:(1).通过求梁的自由振动微分方程，可求出在给定点条件下梁各阶固有频率nk和相应的各阶主振型式中：qk(t)为系统的模态坐标或主坐标。将Yj(x)乘以上式两边，并对梁的全长积分得(4-65)(4-66)(4-67)将式（4-64）对变量x和t分别求偏导，然后代入式（4-63）得或(4-68)(4-69)(4-70)利用主振型的正交性，由式（4-56）和式（4-57）克制，上式左端jk的各项之分均为零，而只剩下j=k的积分项，因此，可得将式（4-61）和式（4-62）代入上式，则可得式中：Qk(t)为第k阶模态坐标上广义激励力。则式（4-69）为系统的模态方程。（3）求解模态方程，求模态坐标响应qk(t)。从式（4-69）可以看出，它是无穷多个互相独立的微分方程，每个方程形式和单自由度无阻尼受迫振动方程完全相同，因此，可以用杜哈美积分求解。利用式（1-42）即可得(4-71)该式为模态坐标表示的梁的受迫振动响应。若梁上作用的是在x=x1处的一个集中力F（t）时，如图4-15所示，则在模态坐标上的广义力Qk(t)为Qk(t)= F(t)Yk(x1) 式中：Yk(x1)为第k阶主振型在x=x1处的值。(4-72)（4）求系统在原坐标上的响应y（x，t），将求出的模态坐标上的响应qk(t)代入式（4-64），得上式表明，梁在受到横向分布激励力f（x，t）作用时的动力响应是各阶主振型的叠加。(4-73)(4-74)(4-75)此时，梁的振动响应在模态坐标上应表示为因此，在原坐标上梁的振动响应为 例例4-5 利用模态分析法，求图4-16的系统对时间的响应，已知初始情况下静止，且 解：解：由例4-4中式（e）及表4-2可知，简支梁的固有频率为由例4-4中式（d）及式（4-61）可知，简支梁的标准模态是由式（4-63）可建立梁的运动微分方程为(a)式中：u（x-L/2）为单位阶跃函数，可通过如下公式与单位脉冲函数相联系而单位脉冲函数(x-x0)的数学定义是并且因此，通过式（d）、式（c）和式（d）可推出(b)(c)(d)单位阶跃函数满足如下公式在离散时间点，激励学的数学表达式发生变化可用单位阶跃函数对它建立统一的数学表达式，如图（a）所示。由式（4-70）得出第k阶模态坐标上广义激励力为由式（e）可知(e)式中其中且，则通过式（4-71）可得最后通过式（4-64）即可求得系统在原坐标上的响应y（x，t）。第五节连续系统固有频率的其它解法以上介绍了以波动方程和梁的横向振动方程为基础模型求解系统固有频率的方法，但这种方法在可用性方面受到了很多限制。首先除了少数例外，用这种方法处理变截面的杆件是相当困难的。此外，在杆件端部以外的任何部位放置附加质量和支撑约束都会使分析大为复杂。用若干单个杆件集合成结构框架和连杆机构，会导致分析进一步复杂。同样，阻尼装置（即阻尼器）所引起的功耗效应也难易结合到公式中去。对于组合构件以及存在阻尼装置的系统，其固有频率的求解方法可见第九章的相关内容。下面所讲解的方法主要解决变截面及任意放置附加质量或约束问题。1.瑞雷（Rayleigh）商在第二章第四节中已经对瑞雷法在离散系统中的应用作了介绍。对于由波动方程决定的自由振动的连续系统，令f(x)为满足几何边界条件（对波动方程的零阶导数和对梁的方程的零阶和一阶导数）的任意连续函数，则瑞雷商函数由下式决定式中：mi为集中质量；xi 为集中质量的坐标；为杆的长度；g(x)和m(x)是关于系统几何弹性特征和惯性特征的已知函数。(4-76)则R(f)的最小值是。由瑞雷商满足的条件可知，与任何一个试探函数f(x)相对应的瑞雷商的平方根是系统基频的上界；只有当这个试探函数实际上是基频模态时等号才成立，这就是瑞雷商上界定理。瑞雷商满足的条件是，当且仅当f(x)是系统的模态时，在这种情况下(4-77)对于杆的纵向振动，g(x)=EA(x), m(x)=A(x)；对于轴的扭转振动，g(x)=GJ(x) 和m(x)=J(x)。方程（4-76）的分母是系统所有质量包括附加质量（离散质量）的求和。将该方程与方程（2-7）比较可知，两者在物理意义上完全相同。对于梁的振动问题的瑞雷商是由以上分析即可知， f(x)的选择至关重要。一般情况下，可选择与系统相对应的典型问题的第一阶主振型作为f(x)的基本形式，这样选择可使计算机的收敛速度更快，且计算精度更高。(4-78) 例例4-6 利用4-17的系统的第一阶固有频率的近似值，图中集中质量为M。 解：解：由图4-17可知，该系统对应的是典型问题中两端都固定的杆的轴向振动，由式（4-28）可知其第一主振型为，因此选择。因此，系统的第一阶固有频率即为上边界，即图4-17中系统的瑞雷商的形式为2.瑞雷里兹法瑞雷里兹法是用能量的方法求连续系统固有频率、模态和关于力的响应的近似解，该法是有限元法的理论基础。令1，2，n满足系统几何边界条件（对波动方程的零阶导数和对梁的方程的零阶和一阶导数）的n维线性无关的函数，这些函数统称为基函数。对于自由振动问题，近似模态可表示为如下形式(4-79)将方程（4-79）代入波动方程或梁的方程，可获得方程组，即其中ij和ij的形式可由表4-3给出，表4-3中xi表示离散刚度所连接的质量元素的位置。由方程（4-80）所表示的方程组的系数矩阵的行列式为零，即可得到关于2的n次解。可以从瑞雷商上界定理的角度证明，当n时，各阶近似固有频率将从上面单调趋近于相应的固有频率值。(4-80)与瑞雷商中的f(x)函数的选择相同，在瑞雷里兹法中也可选择与系统相对应的典型问题的主振型，作为基函数的基本形式。因此对于杆的轴向振或轴的扭转振动而言，基函数具有下列形式(4-81)以图4-4所示的杆件为例，取杆的左端为x=0，规定轴向位移的正方向朝右。唯一的几何边界条件是在x=0处U=0.因此可选择一组形式为sin（x）的函数作为基函数。因在x=L处唯一不能为零，可使L作为/2的奇数倍，所以选择如下基函数对于梁的振动而言，基函数的选择可参照表4-4进行。以简支梁（即铰支铰支梁）为例，在x=0和x=L处，其值等于零的任何正弦函数都满足这两端的几何边界条件，并且由于正弦函数在其零点的斜率不等于零，因此这样的正弦项不会引起多余的零转动几何边界条件，所以我们选择j=sin（jx/L）作为支铰支梁的基函数。 例例4-7 利用瑞雷里兹法，求如图4-18所示固定铰支梁系统的前两阶固有频率的近似值。两阶基函数由表4-4可知为应用瑞雷里兹法得方程（4-80）形式的两个方程，有解解：固定铰支梁的前因此本题系数为带入并简化，方程（4-80）变为其中以上方程存在非零解的条件是，当且仅当系统的系数行列式为零，因此上面二次方程的解是，从而得到因此通过瑞雷里兹法计算后得到的固有频率与分析之非常接近，而且得到的数值大于分析值，这是由瑞雷商中的上界理论所决定的。由表4-2中可知，固定一铰支梁的固有频率分析值为习题四 4-1 一个张紧的弦，长为l，单位长度质量为A，两端固定，如图4-19所示，现在弦中点给以初始横向位移，然后突然释放，求其响应。（答案：） 4-2 一个长为l的弦，密度为，截面积为A，弦中张力为F0，左端固定，右端连接于一弹簧质量系统的质量块m上，m只能作上下微振动，其静平衡位置在y=0处，如图4-20所示。求此弦横向振动的频率方程。答案（） 4-3 一个等直杆，长为l，单位体积质量为，截面积为A，用一个刚度为K的弹簧悬挂，如图4-21所示，求系统纵向振动的频率方程。4-4 一个等直杆左端固定，右端附一个重量为W的重物并和一个弹簧相联，如图4-22所示。已知杆长为l，密度为，截面积为A，弹簧刚度为k，杆的弹性模量为E。求杆纵向自由度振动的频率方程。 4-5 如图4-23所示，长为l的等直圆杆以角速度w转动，某瞬时左端突然固定，求杆扭转振动响应。 4-6 一个悬臂梁左端固定、右端自由，如图4-24所示。梁的长度为l，抗弯刚度为EI，密度为。试求系统横向振动频率方程，并求出前三阶固有频率。画出对应的主振型 4-7 如图4-25所示为两端固定的等直梁，有关参数如图所示。试求前三阶固有频率和对应的主振型. 4-8 求图4-26所示系统的前三阶固有频率，m=10kg，E=200109N/m2，=7800kg/m3，A=2.610-3m2，L=1m，I=4.710-6m4486.1rad/s，3642rad/s，11140rad/s4-9求图4-27所示的系统对时间的响应。设已知梁的固有参数、E、A、I。