第29讲 等比数列（精讲）题型目录一览等比数列基本量的计算等比数列的性质及其应用等比数列的前n项和等比数列中中与的关系等比数列的函数特性等比数列的判定与证明一、知识点梳理一、等比数列的有关概念1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为2.等比中项：如果，成等比数列，那么叫做与的等比中项即是与的等比中项 ，成等比数列 二、等比数列的有关公式1.等比数列的通项公式设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式推广形式：2.等比数列的前n项和公式等比数列的公比为，其前项和为注：在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数三、等比数列的性质1.等比中项的推广若时，则，特别地，当时，（2）设为等比数列，则（为非零常数），仍为等比数列设与为等比数列，则也为等比数列2.等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）当或时，为递增数列；当或时，为递减数列3.其他衍生等比数列若已知等比数列，公比为，前项和为，则：等间距抽取为等比数列，公比为等长度截取为等比数列，公比为（当时，不为偶数）【常用结论】1.若，则2.若，（项数相同）是等比数列，则，仍是等比数列3.在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为4. 公比不为1的等比数列的前项和为，则，仍成等比数列，其公比为二、题型分类精讲题型一 等比数列基本量的计算题型一 等比数列基本量的计算策略方法 等比数列基本量运算的解题策略等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)【典例1】（单选题）已知各项均为正数的等比数列中，则该数列的公比为（）A2B1CD【题型训练】一、单选题1已知等比数列满足，则（）ABCD2已知等比数列的各项均为正数，公比，且，则（）ABCD3设是等比数列，且，则（）A8B-8C4D-44在等比数列中，则等于（）A9B72C9或70D9或5英国数学家亚历山大艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若，则=（）A400B500C600D8006已知，成等比数列，且和为其中的两项，则的最小值为（）ABCD7已知是等比数列，则“”是“数列的公比为3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8已知数列为等比数列，且，则（）A30BC40D9）在各项均为正数的等比数列中，则使得成立的n的最小值为（）A7B8C9D1010已知正项等比数列满足，则的最小值是（）A4B9C6D8二、填空题11在等比数列中，若，则的值为 12已知数列满足，若，则 13已知等比数列满足，则公比 .14已知各项均为正数的等比数列满足，且，则 15若数列是公比为的等比数列，写出一个满足题意的通项公式 .16已知数列是等比数列，且，则 题型二 等比数列的性质及其应用策略方法 应用等比数列性质的两个关注点(1)转化意识：在等比数列中，两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方，这是最常用的性质(2)化归意识：把非等比数列问题转化为等比数列问题解决，例如有关Sm，S2m，S3m的问题可利用Sm，S2mSm，S3mS2m(Sn0)成等比数列求解【典例1】（单选题）在正项等比数列中，则的公比（）A2BC2或D或【典例2】（单选题）“”是“，成等比数列”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分又不必要【题型训练】一、单选题1在等比数列中，则（）A4B8C32D642在等比数列中，若，则的值为（）ABCD3已知正项等比数列，若，则（）A16B32C48D644在等比数列中，则（）A3B6C9D185已知为递增的等比数列，且满足，则（）AB1C16D326已知递增的等比数列中，前3项的和为7，前3项的积为8，则的值为（）A2B4C6D87已知是等差数列，是等比数列，若，则（）ABCD8等比数列4+x，10+x，20+x的公比为（）ABCD9已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（）A2023B2024C4046D404810已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列，则（）ABCD11已知递增等差数列中，且是，的等比中项，则它的第4项到第11项的和为（）A180B198C189D168二、多选题12在正项等比数列中，公比为，已知，下列说法正确的是（）ABCD13已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，记的前项积为，则下列选项中正确的选项是（）ABCD三、填空题14若数列是等比数列，且，则 15若数列为等比数列，则 16若数列为等比数列，则 17等比数列中，则公比q的值为 .18已知数列为等差数列为等比数列，且成等差数列则 19已知数列是等比数列，若数列的前4项和为，且，则 .题型三 等比数列的前n项和策略方法 等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论：当时，；当时，【典例1】（单选题）等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则（）A4B16C32D64【题型训练】一、单选题1已知正项等比数列中，为前n项和，则（）A7B9C15D302已知公比不为1的等比数列满足，则（）A40B81C121D1563记为等比数列的前n项和，若，则（）A120B85CD4设等比数列的前项和为，已知，则（）ABCD5在等比数列中，已知，则其前5项的和的取值范围是（）ABCD6设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，则（）ABC15D407是由实数构成的无穷等比数列，关于数列，给出下列命题：数列中任意一项均不为0；数列中必有一项为0；数列中一定不可能出现；数列中一定不可能出现.其中正确的命题个数是（）A0B1C2D38已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是（）ABCD9已知等比数列的前项和为，则下列一定成立的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则10在等比数列中，是数列的前项和若，则（）A5B6C7D811已知正项等比数列的前n项和为，若，则=（）A64B81C128D19212已知等比数列的前4项和为，则（）ABC1D2二、多选题13庄子天下中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（）ABCD14设数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则15数列满足：，则下列结论中正确的是（）AB，C是等比数列D，16在等比数列中，已知，其前项和为，则下列说法中正确的是（）ABCD三、填空题17已知公比小于0的等比数列的前n项和为若，则 18已知等比数列的前3项和为168，则 19记为等比数列的前项和若，则的公比为 20在等比数列 中， 为数列的前n项和，则 21若等比数列的前n项和为，则等比数列的公比为 22已知等比数列的公比为2，前项和为，且6，成等差数列，则 .23已知等比数列的首项，公比，且，则的前2023项和为 .24已知数列的前n项和为，且满足，则= 25设等比数列的前项和为，则使成立的的最小值为 .26已知等比数列的前项和为，且满足，则当 时，最大.四、解答题27已知等差数列的前项和为，且，；数列满足(1)求数列和的通项公式；(2)记，求的值及数列的前项和28从盛有盐的质量分数为20的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg清水以后每次都倒出1kg盐水，然后加入1kg清水问：(1)第5次倒出的1kg盐水中含盐多少？(2)经6次倒出后，一共倒出多少盐？此时加1kg清水后容器内盐的质量分数为多少？29设等差数列的公差为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求的前项和.30已知数列满足，且.(1)求证：数列是等比数列；(2)若，求满足条件的最大整数n.31已知数列满足.(1)证明为常数列，并求数列的通项公式；(2)设为数列落在区间内的项的个数，求数列的前项和.32已知等比数列的公比，前项和为若，且是与的等差中项.(1)求；(2)设数列满足，数列的前项和为.求题型四 等比数列中与的关系策略方法 等比数列中与的关系数列的前项和和通项的关系：则【典例1】（单选题）在数列中，它的前项和为（为常