第第4 4章章 微分中值定理及导数的应用微分中值定理及导数的应用【学习目标】l理解3个微分中值定理，并能用于简单的证明。l熟练掌握洛必达法则，掌握各种未定式极限的求法。l熟练运用导数研究函数的性态，包括单调性、凹凸性、极值和最值。会使用最值理论解决实际问题。l会求曲线的渐近线，掌握函数图像描绘的一般方法。4.1 微分中值定理4.2 洛必达法则4.3 函数的单调性与极值4.4 曲线的凸性与拐点4.5 函数的作图4.1 微分中值定理 本节先介绍罗尔（Rolle）定理，然后由罗尔定理推导出另外两个中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。4.1.1 罗尔定理4.1.2 拉格朗日中值定理4.1.3 柯西中值定理4.1.1 罗尔定理4.1.2 拉格朗日中值定理4.1.3 柯西中值定理4.2 洛必达法则4.3 函数的单调性与极值 在第1章中介绍了函数单调性的定义，并给出了基本初等函数的单调性。对于一般的初等函数，我们通常借助导数来研究其单调性。本节还将介绍函数极值和最值的求法和应用。4.3.1 函数的单调性4.3.2 函数的极值4.3.3 函数的最值4.3.1 函数的单调性4.3.2 函数的极值4.3.3 函数的最值4.4 曲线的凸性与拐点 在第3节中，我们讨论了函数的单调性，反映在图形上就是曲线上升或下降。但在上升或下降的过程中还有弯曲方向的问题，即曲线的凸性。4.4.1 曲线的凸性4.4.2 曲线的拐点4.4.1 曲线的凸性1定义2几何意义4.4.2 曲线的拐点定义 连续曲线上凸性改变的分界点称为曲线的拐点。求拐点和凹凸区间的一般方法。 4.5 函数的作图4.5.1 曲线的渐近线4.5.2 函数的作图法4.5.1 曲线的渐近线 定义 如果曲线上的一点沿曲线趋于无穷远时，该点与某直线的距离趋于0，则称该直线为所给曲线的渐近线。1水平渐近线2铅垂渐近线4.5.2 函数的作图法