勾股定理勾股定理(u dn l)(u dn l)：直角三：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平角形两直角边的平方和等于斜边的平方方活 动 1abcABC如果在如果在Rt ABC中，中，C=90,那么那么第1页/共30页第一页，共31页。结论(jiln)变形c2 = a2 + b2abcABC第2页/共30页第二页，共31页。（1）求出下列）求出下列(xili)直角三角形中未直角三角形中未知的边知的边610ACB8A15CB练练 习习302245思考思考(sko)：在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个(j )条件？条件？直角三角形哪条边最长？直角三角形哪条边最长？第3页/共30页第三页，共31页。1 、下列阴影部分、下列阴影部分(b fen)是一个正方形，求此正方形是一个正方形，求此正方形的面积的面积15厘米厘米17厘米厘米解：设正方形的边长为解：设正方形的边长为x厘米厘米(l m) , 则由勾股定理，得则由勾股定理，得 x2=172-152 x2=64答：正方形的面积答：正方形的面积(min j)是是64平方平方厘米。厘米。练一练练一练第4页/共30页第四页，共31页。DABC例例2 蚂蚁沿图中的折线从蚂蚁沿图中的折线从A点爬到点爬到D点，一共爬了多少厘点，一共爬了多少厘米米(l m)？（小方格的边长为？（小方格的边长为1厘米厘米(l m)）GFE第5页/共30页第五页，共31页。(1)如图在ABC中，ACB=90， CDAB，D为垂足(chu z)，AC=2.1cm,BC=2.8cm.求 ABC的面积； 斜边AB的长； 斜边AB上的高CD的长。DABC第6页/共30页第六页，共31页。活 动 2（2）一个）一个(y )门框尺寸如下图所示门框尺寸如下图所示若有一块若有一块(y kui)长长3米，宽米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？米的薄木板，问怎样从门框通过？若薄木板(m bn)长3米，宽1.5米呢？若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？ABC1 m2 m木板的宽木板的宽2.2米大于米大于1米，米， 横着不能从门框通过；横着不能从门框通过；木板的宽木板的宽2.2米大于米大于2米，米，竖着也不能从门框通过竖着也不能从门框通过 只能试试斜着能否通过，对只能试试斜着能否通过，对角线角线AC的长最大，因此需要求的长最大，因此需要求出出AC的长，怎样求呢？的长，怎样求呢？第7页/共30页第七页，共31页。想一想例1一个门框(mnkung)的尺寸如图所示，一块长3 m，宽 2.2 m的长方形薄木板能否从门框(mnkung)内通过？为什么？ 解：在RtABC中，根据勾股定理，得 AC2=AB2+BC2=12+22=5 AC= 2.24因为 大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过A B C D 1 m 2 m 第8页/共30页第八页，共31页。（3）有一个边长为）有一个边长为50dm 的正方形洞口，的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径(zhjng)至少多长？至少多长？50dmABCD解：解：在在Rt ABC中，中，B=90, AC=BC=50,由勾股定理(u dn l)可知：答：圆的直径答：圆的直径(zhjng)至少是至少是71 dm.第9页/共30页第九页，共31页。例1：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离(jl)为2.4m如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.4m吗？ DE解：在RtABC中， ACB=90 AC2+ BC2AB2 2.42+ BC22.52 BC0.7m由题意(t y)得：DEAB2.5mDCACAD2.40.42m在RtDCE中， BE1.50.70.8m0.4m答；梯子答；梯子(t zi)底端底端B不是外移不是外移0.4m DCE=90 DC2+ CE2DE2 22+ BC22.52 CE1.5m第10页/共30页第十页，共31页。拓展提高(t go)形成技能今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺(y ch)，引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何？利用勾股定理解决实际问题的一般思路： （1）重视对实际问题题意的正确理解； （2）建立对应的数学模型， 运用相应的数学知识； （3）方程(fngchng)思想在本题中的运用A B C 第11页/共30页第十一页，共31页。例3:在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根(y n)新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC解:设水池的深度(shnd)AC为X尺,则芦苇高AD为 (X+1)尺.根据(gnj)题意得:BC2+AC2=AB252+X2 =(X+1)225+X2=X2+2X+1 X=12 X+1=12+1=13答:水池的深度为12尺,芦苇高为13尺.第12页/共30页第十二页，共31页。巩固(gngg)练习 如图，一棵树被台风(tifng)吹折断后，树顶端落在离底端3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计算树折断前的高度吗？第13页/共30页第十三页，共31页。例4:矩形ABCD如图折叠(zhdi)，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。ABCDFE解:设DE为X,X(8- X)则CE为 (8 X).由题意由题意(t y)可知可知:EF=DE=X,XAF=AD=1010108 B=90 AB2+ BF2AF282+ BF2102 BF6 CFBCBF106464 C=90 CE2+CF2EF2(8 X)2+42=X264 16X+X2+16=X280 16X=016X=80X=5第14页/共30页第十四页，共31页。ABCDEF如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点(dngdin)D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则BF=_。如图，有一个(y )直角三角形纸片，两直直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？AECDB第15页/共30页第十五页，共31页。例2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离(jl)相等，则E站应建在离A站多少km处？CAEBDx25-x解：设AE= x km，根据(gnj)勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2又 DE=CE AD2+AE2= BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x)2答：E站应建在离A站10km处。 X=10则 BE=（25-x）km1510第16页/共30页第十六页，共31页。例6： 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁(my)从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）. （A）3 （B ) 5 （C）2 （D）1ABABC21分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行(pxng)的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.B第17页/共30页第十七页，共31页。如图，一个圆柱形纸筒的底面周长(zhu chn)是40cm，高是30cm，一只小蚂蚁在圆筒底的A处，它想吃到上底与下底面中间与A点相对的B点处的蜜糖，试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？第18页/共30页第十八页，共31页。.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到(xin do)B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_ 第19页/共30页第十九页，共31页。一只蚂蚁(my)从长为4cm、宽为3 cm，高是5 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_cm。AB第20页/共30页第二十页，共31页。在长30cm、宽50 cm、高40 cm的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行(pxng)到B处，至少要爬多远？ CDA.B.305040第21页/共30页第二十一页，共31页。图305040CDA.B.ADCB305040第22页/共30页第二十二页，共31页。CCDA.B.ACBD图304050304050第23页/共30页第二十三页，共31页。CCDA.B.图50ADCB4030304050第24页/共30页第二十四页，共31页。活 动 3（3）如图，分别以）如图，分别以Rt ABC三边为边向外三边为边向外作三个正方形，其面积分别用作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表表示示(biosh)，容易得出，容易得出S1、S2、S3之间有之间有的关系式为的关系式为 第25页/共30页第二十五页，共31页。活 动 3（3）变式：你还能求出）变式：你还能求出S1、S2、S3之间的之间的关系式吗？关系式吗？S1S2S3第26页/共30页第二十六页，共31页。8.一架5长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这是梯子下端距离墙的底端3，若梯子顶端下滑了1,则梯子底端将外移（ ）9.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯(lut)表面铺地毯，地毯的长度至少需（ ）米10.把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的3倍，则其斜边（ ）A.不变 B.扩大到原来的3倍C.扩大到原来的9倍 D.减小到原来的1/3ABC17B第27页/共30页第二十七页，共31页。 6做一个长、宽、高分别为做一个长、宽、高分别为50厘米、厘米、40厘米、厘米、30厘厘米的木箱，一根长为米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否厘米的木棒能否(nn fu)放入，放入，为什么？试用今天学过的知识说明为什么？试用今天学过的知识说明第28页/共30页第二十八页，共31页。问题问题(wnt)(wnt)解解决决例例1、如图，某隧道的截面是一个半径、如图，某隧道的截面是一个半径(bnjng)为为3.6米的米的半半 圆形，一辆高圆形，一辆高2.4米、宽米、宽3米的卡车能通过隧米的卡车能通过隧道吗？道吗？OAB解：解：过点过点A作作ABOC于点于点B，CABO=90 AB2+OB2=OA2 且且OA=3.6，OB=1.5AB2+1.52=3.62 AB3.27第29页/共30页第二十九页，共31页。谢谢(xi xie)大家观赏！第30页/共30页第三十页，共31页。内容(nirng)总结勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。第1页/共30页。1 、下列(xili)阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积。若薄木板长3米，宽2.2米呢。木板的宽2.2米大于1米，。木板的宽2.2米大于2米，。52+X2 =(X+1)2。答:水池的深度为12尺,芦苇高为13尺.。64 16X+X2+16=X2。即：152+x2=102+（25-x)2。答：E站应建在离A站10km处。第29页/共30页第三十一页，共31页。