8/9/2024 3:36:09 PM通信工程系通信工程系3 3 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布学习要点：学习要点：二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布边缘分布边缘分布条件分布与随机变量的独立性条件分布与随机变量的独立性两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布8/9/2024 3:36:09 PM通信工程系通信工程系3.3 条件分布条件分布3.3.0 3.3.0 条件概率的回顾条件概率的回顾 设设A，B是两个事件，且是两个事件，且P(A)0，称，称为在为在事件事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的概率。发生的概率。离散型随机变量的条件分布律离散型随机变量的条件分布律连续型随机变量的条件概率密度函数连续型随机变量的条件概率密度函数 利用条件概率和边缘分布律、边缘概率密度函数，可以定利用条件概率和边缘分布律、边缘概率密度函数，可以定义和计算条件分布律、条件概率密度函数。义和计算条件分布律、条件概率密度函数。 推广到随机变量推广到随机变量对随机变量对随机变量X和和Y ，在给，在给定定Y取某个或某些值的条取某个或某些值的条件下，求件下，求X的概率分布。的概率分布。8/9/2024 3:36:09 PM通信工程系通信工程系 例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以分别以X和和Y 表示其体重和身高。则表示其体重和身高。则X和和Y都是随机变量，它们都都是随机变量，它们都有一定的概率分布。有一定的概率分布。体重体重X身高身高Y体重体重X的分的分布布身高身高Y的分布的分布 若限制若限制 1.7Y 0，则称，则称为为在在 Y = yj条件下随机变量条件下随机变量X的条件分布律。的条件分布律。同理可以定义在同理可以定义在X =xi条件下随机变量条件下随机变量Y的条件分布律：的条件分布律： 作为条件的那个随机变量，认为取值是作为条件的那个随机变量，认为取值是给定的给定的（即（即不变不变的的），在此条件下求另一随机变量），在此条件下求另一随机变量的概率分布的概率分布。注意：条件分布具有概率的一切性质，如非负性、规范性等。注意：条件分布具有概率的一切性质，如非负性、规范性等。，i=1，2，8/9/2024 3:36:09 PM通信工程系通信工程系【例例1】一射手进行射击，击中目标的概率为一射手进行射击，击中目标的概率为p(0p1)。射击进行到。射击进行到击中目标两次为止。以击中目标两次为止。以X表示首次击中目标所进行的射击次表示首次击中目标所进行的射击次数，以数，以Y 表示总共进行的射击次数。试求表示总共进行的射击次数。试求X和和Y的联合分布律的联合分布律及条件分布。及条件分布。 【解解】依题意，依题意，Y=n表示在第表示在第n次射击时击中目标，且在前次射击时击中目标，且在前n1次次射击中有一次击中目标，如图射击中有一次击中目标，如图 击中击中n次射次射击击n-11m击中击中2n显然，不论显然，不论m(m0或或对对固固定定的的y,有有fY(y)0，则分别称，则分别称为为在在 Y = y条件下随机变量条件下随机变量X的条件概率密度函数的条件概率密度函数和和在在 X= x条件下条件下随机变量随机变量X的条件概率密度函数。的条件概率密度函数。和和相应地，分别称相应地，分别称和和为为在在 Y = y条件下随机变量条件下随机变量X的条件分布函数的条件分布函数和和在在 X= x条件下随机变条件下随机变量量X的条件分布函数。的条件分布函数。8/9/2024 3:36:10 PM通信工程系通信工程系2、定义的含义、定义的含义以以为例：为例：8/9/2024 3:36:10 PM通信工程系通信工程系【例例2】设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为的概率密度函数为 【解解】求求 PX1|Y=y。，为此，需求出，为此，需求出 由于由于于是对于是对 y0， 故对故对y 0, 8/9/2024 3:36:10 PM通信工程系通信工程系【例例3】设设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为服从单位圆上的均匀分布，概率密度为【解解】X的边缘密度函数为的边缘密度函数为求求 当当|x|1时，有时，有即即 当当 |x|1 时，有时，有X作为已知变量作为已知变量这里是这里是y的取值范围的取值范围X已知的条件下已知的条件下Y 的条件密度的条件密度8/9/2024 3:36:10 PM通信工程系通信工程系【例例4】设数设数 X 在区间在区间 (0,1) 均匀分布，当观察到均匀分布，当观察到 X=x (0x1)时，数时，数Y在区间在区间(x,1)上随机地取值，求上随机地取值，求 Y 的概率密度。的概率密度。【解解】依题意，依题意，X具有概率密度具有概率密度 对对于于任任意意给给定定的的值值 x (0x1)，在在X=x的的条条件件下下，Y的的条条件件概概率率密度为密度为X 和和Y 的联合密度为的联合密度为 已知边缘密度和条件密度，已知边缘密度和条件密度，求联合密度求联合密度8/9/2024 3:36:10 PM通信工程系通信工程系3.4 3.4 随机变量的独立性随机变量的独立性对于连续型随机变量，上式等价于对于连续型随机变量，上式等价于性质：性质：若连续型随机变量若连续型随机变量X和和Y相互独立，则相互独立，则【例例5】可以证明，二维正态随机变量可以证明，二维正态随机变量X与与Y相互独立的充要条件为相互独立的充要条件为(p.73-74)。 由随机事件的独立性定义得知，随机变量由随机事件的独立性定义得知，随机变量X和和Y相互独立指相互独立指联合分布满足条件联合分布满足条件对离散型随机变量有类似的结论，请同学们自行给出。对离散型随机变量有类似的结论，请同学们自行给出。8/9/2024 3:36:10 PM通信工程系通信工程系【例例6】设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为问问X和和Y是否独立？是否独立？【解解】8/9/2024 3:36:10 PM通信工程系通信工程系即即可见对一切可见对一切 x, y, 均有：均有：故故 X , Y 独立独立 。8/9/2024 3:36:11 PM通信工程系通信工程系若若(X, Y)的概率密度为的概率密度为情况又怎样？情况又怎样？【解解】0x1 0y1 由于存在面积不为由于存在面积不为0的区域，的区域，故故 X 和和 Y 不独立不独立 。8/9/2024 3:36:11 PM通信工程系通信工程系【例例7】甲甲乙乙两两人人约约定定中中午午12时时30分分在在某某地地会会面面。如如果果甲甲来来到到的的时时间间在在12:15到到12:45之之间间是是均均匀匀分分布布，乙乙独独立立地地到到达达，而而且且到到达达时时间间在在12:00到到13:00之之间间是是均均匀匀分分布布。试试求求先先到到的的人人等等待待另另一一人人到到达达的的时时间间不不超超过过5分分钟钟的的概率。又甲先到的概率是多少？概率。又甲先到的概率是多少？【解解】设设X为甲到达时刻为甲到达时刻, Y为乙到达时刻。为乙到达时刻。以以12时为起时为起点点,以分为单位，依题意以分为单位，依题意XU(15,45), YU(0,60)8/9/2024 3:36:11 PM通信工程系通信工程系所求为所求为P( |X-Y | 5) ,甲先到的概率甲先到的概率由独立性由独立性,先到的人等待另一人到达的时间不先到的人等待另一人到达的时间不超过超过5分钟的概率。分钟的概率。P(XY)8/9/2024 3:36:11 PM通信工程系通信工程系P( | X-Y| 5 ) =P( -5 X -Y 5)P(XY)解一解一8/9/2024 3:36:11 PM通信工程系通信工程系解二解二P(X Y)P( | X-Y| 5 ) 8/9/2024 3:36:11 PM通信工程系通信工程系类似的问题：类似的问题：1、甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，、甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 . 若甲船需停泊若甲船需停泊1小时，小时，乙船需停泊乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率。船要等待码头空出的概率。2、在在某某一一分分钟钟的的任任何何时时刻刻，信信号号进进入入收收音音机机是是等等可可能能的的。 若若收收到到两两个个互互相相独独立立的的这这种种信信号号的的时时间间间间隔隔小小于于0.5秒秒，则则信信号号将将产产生生互互相相干干扰扰。求求发发生生两两信号互相干扰的概率。信号互相干扰的概率。8/9/2024 3:36:11 PM通信工程系通信工程系【例例8】盒内有盒内有n 个白球个白球 ，m 个黑球，有放回地摸球两次。设个黑球，有放回地摸球两次。设第第1次摸到白球次摸到白球第第1次摸到黑球次摸到黑球第第2次摸到白球次摸到白球第第2次摸到黑球次摸到黑球试求：试求：(1) (X,Y) 的联合分布律及边缘分布律；的联合分布律及边缘分布律；(2) 判断判断(X,Y)的相互独立性；的相互独立性；(3) 若改为无放回摸球，解上述两个问题。若改为无放回摸球，解上述两个问题。8/9/2024 3:36:11 PM通信工程系通信工程系(1)(X, Y) 的联合分布律及边缘分布律如下表所示：的联合分布律及边缘分布律如下表所示： 【解解】(2)由上表可知由上表可知故故(X, Y) 的相互独立。的相互独立。8/9/2024 3:36:11 PM通信工程系通信工程系(3) (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律如下表的联合分布律及边缘分布律如下表8/9/2024 3:36:11 PM通信工程系通信工程系故故 X，Y不是相互独立。不是相互独立。由上表知由上表知 :可见可见8/9/2024 3:36:11 PM通信工程系通信工程系课堂练习课堂练习1、对于二维正态分布，在已知、对于二维正态分布，在已知 X= x 条件条件下，下，求求Y 的条件分布。的条件分布。2 、设、设(X,Y)的概率密度是的概率密度是求求 。 3、设随机变量、设随机变量 (X,Y) 的概率密度是的概率密度是问问 X 和和 Y 是否相互独立是否相互独立?8/9/2024 3:36:11 PM通信工程系通信工程系【解解】1、对于二维正态分布，在已知对于二维正态分布，在已知 X= x 条件条件下，下，求求Y 的条件分布的条件分布设设则其概率则其概率密度为密度为X的边缘密度为的边缘密度为在在 X= x 条件条件下，下，Y 的条件概率密度为的条件概率密度为8/9/2024 3:36:12 PM通信工程系通信工程系2、( X,Y )关于关于 Y 的边缘概率密度为的边缘概率密度为当当 时时,综上综上,当当 时时,暂时固定暂时固定若若y 0或或y x，则，则08/9/2024 3:36:12 PM通信工程系通信工程系（1 1）条件概率、边缘分布的直接导出条件分布；）条件概率、边缘分布的直接导出条件分布；（2 2）事件的相互独立与条件分布直接导出随机变量的相）事件的相互独立与条件分布直接导出随机变量的相互独立性。互独立性。小结小结8/9/2024 3:36:12 PM通信工程系通信工程系作业：教材作业：教材p868717；201.随机变量随机变量X和和Y的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为fXY(x,y)=6exp-(2x+3y)u(x)u(y)，请问请问: (1) X和和Y是否相互独立？是否相互独立？(2)计算计算A的概率，的概率，其中其中 A=(x,y):0x2,0y1。8/9/2024 3:36:12 PM通信工程系通信工程系谢谢！