两个向量的数量积3.1.3 空间向量及其运算空间向量及其运算一、引入一、引入1.1.共线向量定理：共线向量定理：2.2.共线向量定理的推论：共线向量定理的推论：(1)若直线若直线l过点过点A且与向量且与向量 平行，则平行，则(2)三点三点P、A、B共线的充要条件有：共线的充要条件有：3.3.共面向量定理：共面向量定理：4.P4.P、A A、B B、CC四点共面充要条件：四点共面充要条件： 已知已知非零向量非零向量 与与 ，我们把，我们把数量数量 叫叫作作 与与 的的数量积数量积（或内积），记作（或内积），记作 ，即，即1. 1. 数量积的定义：数量积的定义：我们规定我们规定零向量与任一向量的数量积为零零向量与任一向量的数量积为零，即，即 注意：注意：(1)数量积是两个向量之间的运算，要与数量积是两个向量之间的运算，要与“数乘数乘”相区别；相区别；(2)两个向量的两个向量的数量积是一个实数数量积是一个实数，不是向量，它的符号，不是向量，它的符号由由cosq q的符号决定；的符号决定；(3)点乘符号点乘符号“ ”在向量运算中在向量运算中不是乘号不是乘号，既，既不能不能省略，省略，也也不能不能用用“”代替代替.二、基础知识讲解二、基础知识讲解二、二、. .空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质 注意：注意：性质性质2 2）是证明）是证明两向量垂直两向量垂直的依据；的依据；性质性质3 3）是）是求向量的长度（模）求向量的长度（模）的依据；的依据；（）性质是（）性质是求两个向量夹角求两个向量夹角的依据；的依据；对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：三三. .空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律 注意：注意：数量积不满足结合律数量积不满足结合律 数量积的应用数量积的应用（一）求线线角 课堂练习课堂练习课本92页1.例例1 1已知在平行六面体中，已知在平行六面体中，, , ,求对角线的长。求对角线的长。ADCB数量积的应用（二）求线段长度 课堂练习课堂练习课本92页3.数量积的应用（二）证明垂直证明：证明：如图如图,已知已知:求证：求证：在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要只要证证为为逆命题成立吗? 在正方体在正方体AC1中中 A1B1面面BCC1B1且且BC1 B1C B1C是是A1C在面在面BCC1B1上的射影上的射影 C B A1B1 C1A D D1证明：证明： C B A1B1 C1A D D1同理可证，同理可证， A1CB1D1由三垂线定理知由三垂线定理知 A1CBC1 C B A1B1 C1A D D1结论结论:正方体的对角线与每个面中与之正方体的对角线与每个面中与之为异面直线的对角线垂直为异面直线的对角线垂直mng解解: 在在 内作不与内作不与m ,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m ,n不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 例例3:已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m, n,求证求证: .小 结：到目前为止，我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下几类问题： 1、证明两直线垂直。2、求两点之间的距离 或线段长度。 3、证明线面垂直。）4、求两直线所成角的余弦值等等。