第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第1 1页页页页4.1 二维二维随机变量随机变量4.2 边缘分布边缘分布4.3 条件分布条件分布4.4 相互独立的随机相互独立的随机4.5 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布4.6 小结小结第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第2 2页页页页4.1.1 二维随机变量二维随机变量 定义定义4.1.1 若若X, Y是是两个定义在两个定义在同一个样本空间同一个样本空间S S上的上的 随机变量，则称随机变量，则称( (X, Y) 是是二维随机变量二维随机变量. . 同理可定义同理可定义 n 维随机变量维随机变量 ( (随机向量随机向量).).4.1 二维随机变量二维随机变量第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第3 3页页页页 定义定义4.1.2 4.1.2 联合分布函数联合分布函数F(x, y) = P(X x) (Y y) P( X x, Y y)为为( (X, Y) 的的分布函数分布函数，或称，或称联合分布函联合分布函数数. (以下仅讨论二维随机变量以下仅讨论二维随机变量) )任对实数任对实数 x 和和 y, 称称注意注意：F(x, y)为为( (X, Y)落在点落在点(x, y)的的左下区域左下区域的的概率概率.第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第4 4页页页页X XY Yxy(x, y)第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第5 5页页页页 推论推论 4.1.2 联合分布函数联合分布函数P(x1 X x2) ,(y1 Y y2) PX x2, Y y2 PX x2,Y y1 PX x1, Y y2 PX x1,Y y1F(x2,y2) F(x2,y1) F(x1,y2) F(x1,y1)第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第6 6页页页页联合分布函数的基本性质联合分布函数的基本性质(1) F(x, y) 关于关于 x 和和 y 分别单调增分别单调增.(2) 0 F(x, y) 1，且，且F(, y) = F(x, ) =0，F(+ , + ) = 1.(3) F(x, y) 关于关于 x 和和 y 分别右连续分别右连续.(4) 当当ab, cd 时，有时，有F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0.注意：注意：上式左边上式左边 = P(aX b, cY d).(单调性单调性)(有界性有界性)(右连续性右连续性)(非负性非负性)第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第7 7页页页页 二维离散随机变量二维离散随机变量 4.1.3 联合分布律联合分布律若若( (X, Y) 的可能取值为的可能取值为有限对有限对、或或可列对可列对，则称则称( (X, Y)为为二维离散随机变量二维离散随机变量. .第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第8 8页页页页二二维离散维离散分布的联合分布律分布的联合分布律称称pij = P(X=xi, Y=yj)， i, j=1, 2, ., 为为(X,Y) 的的联合分布律联合分布律联合分布律联合分布律，其表格形式如下其表格形式如下:YX Xy1 y2 yj x1x2xi p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pi j 第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第9 9页页页页联合分布律的基本性质联合分布律的基本性质(1) (1) pij 0, i, j = 1, 2,(2) (2) pij = 1. (非负性非负性)(正则性正则性)第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第1010页页页页确定联合分布律的方法确定联合分布律的方法 (1) 确定随机变量确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对的所有取值数对. (2) 计算取每个数值对的概率计算取每个数值对的概率. (3) 列出表格列出表格.第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第1111页页页页例例4.1.1 将一枚均匀的硬币抛掷将一枚均匀的硬币抛掷4次，次，X表示正面向上表示正面向上的次数，的次数，Y表示反面朝上次数。求表示反面朝上次数。求 (X, Y) 的联合分布律的联合分布律.X Y0 41 3 2 2 3 14 0P(X=0, Y=4)=P(X=2, Y=2)=1/4=6/16 P(X=3, Y=1)=1/4 P(X=4, Y=0)= 0.54 =1/16P(X=1, Y=3)=0.54=1/16解：解：概率非零的概率非零的(X,Y) 可能取值对为可能取值对为:其对应的概率分别为：其对应的概率分别为：=3/8第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第1212页页页页X01234Y 0 1 2 3 4表格为表格为： 0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 01/16 0 0 0 0第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第1313页页页页例例4.1.2 设随机变量设随机变量 Y N(0, 1), 解解: (X1, X2) 的的可能取值数对可能取值数对及相应的及相应的概率概率如下：如下：P(X1=0, X2=0) = P(|Y|1, |Y|2) = P(|Y|2)= 2 2(2) = 0.0455P(X1=0, X2=1) = P(|Y|1, |Y|2) = P(1|Y|2)= 2(2) (1) = 0.2719P(X1=1, X2=0) = P(|Y|1, |Y|2) = 0P(X1=1, X2=1) = P(|Y|1, |Y|2)= P(|Y|1) = 0.6826求求 的联合分布列的联合分布列.第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第1414页页页页列表为列表为：X1 0 1X2 0 10.0455 0.2719 0 0.6826第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第1515页页页页例例 4.1.3设随机变量设随机变量 X 在在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可四个整数中等可能地取值，另一个随机变量能地取值，另一个随机变量 Y 在在 1到到X 中等可能中等可能地取一整数值。试求（地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布律的联合分布律.第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第1616页页页页设二维随机变量设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为的分布函数为 F(x, y)，若存若存在非负可积函数在非负可积函数 f(x, y)，使得使得4.1.4 联合密度函数联合密度函数则称则称 (X, Y) 为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量二维连续型随机变量二维连续型随机变量。称称f(x, y) 为为联合概率密度联合概率密度联合概率密度联合概率密度，或，或概率密度概率密度概率密度概率密度。第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第1717页页页页联合密度函数的基本性质联合密度函数的基本性质(1) (1) f(x, y) 0. (非负性非负性) ( (2) ) 注意：注意：(正则性正则性)第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第1818页页页页例例4.1.4 若若 (X, Y) 试求常数试求常数 A.第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第1919页页页页解解: :所以所以, A=6=A/6第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第2020页页页页例例4.1.5 若若 (X, Y) 试求试求 F X 2, Y 1.第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第2121页页页页x xy y解解: : F X2, Y121x2, y1第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第2222页页页页例例4.1.6若若 (X, Y) 试求试求 P(X, Y) D, 其中其中D为为 2x+3y6.第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第2323页页页页322x+3y=6x xy y0解解: :第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第2424页页页页一、多项分布一、多项分布4.1.5 常用多维分布常用多维分布 若每次试验有若每次试验有r 种结果：种结果：A1, A2, , Ar记记 P(Ai) = pi , i = 1, 2, , r记记 Xi 为为 n 次独立重复试验中次独立重复试验中 Ai 出现的次数出现的次数.则则 (X1, X2, , Xr)的联合分布律为的联合分布律为：第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第2525页页页页二、多维超几何分布二、多维超几何分布从中任取从中任取 n 只，只，记记 Xi 为为取出的取出的n 只只球中，第球中，第i 种球的只数种球的只数.口袋中有口袋中有 N 只球，只球，分成分成 r 类类 。第第 i 种球有种球有 Ni 只，只， N1+N2+Nr = N.则则 (X1, X2, , Xr)的联合分布律为的联合分布律为：第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第2626页页页页三、二维均匀分布三、二维均匀分布若二维连续随机变量若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为的联合密度为：则称则称 (X, Y) 服从服从 D 上的均匀分布，上的均匀分布，记为记为 (X, Y) U (D) .其中其中SD为为D的面积的面积.第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第2727页页页页四、二维正态分布四、二维正态分布若二维连续随机变量若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为的联合密度为：则称则称 (X, Y) 服从二维正态分布，服从二维正态分布，记为记为 (X, Y) N ( ) .第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第2828页页页页4.2 边缘分布边缘分布问题：问题：已知二维随机变量已知二维随机变量 (X, Y) 的分布的分布，如何求出如何求出 X 和和 Y 各自的分布各自的分布？第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第2929页页页页4.2.1 边缘分布函数边缘分布函数巳知巳知 (X, Y) 的联合分布函数为的联合分布函数为 F(x, y)，则则 Y FY (y) = F(+ , y). X FX (x) = F(x, + ),称为关于称为关于 X 和和 Y 的的边缘分布函数边缘分布函数边缘分布函数边缘分布函数第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第3030页页页页4.2.2 边缘分布律边缘分布律巳知巳知 (X, Y) 的联合分布律为的联合分布律为 pij，则则 X 的边缘分布律为的边缘分布律为： Y 的边缘分布律为的边缘分布律为： 第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第3131页页页页XY第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第3232页页页页4.2.3 边缘密度函数边缘密度函数巳知巳知 (X, Y) 的联合密度函数为的联合密度函数为 f(x, y)，则 X 的边缘密度函数为的边缘密度函数为 ： Y 的边缘密度函数为的边缘密度函数为 ： 第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第3333页页页页由联合分布可以求出边缘分布由联合分布可以求出边缘分布.但由边缘分布一般无法求出联合分布但由边缘分布一般无法求出联合分布.所以联合分布包含更多的信息所以联合分布包含更多的信息.注注 意意 点点 (1)第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第3434页页页页二维正态分布的边缘分布是一维正态分布：二维正态分布的边缘分布是一维正态分布： 若若 (X, Y) N ( )，注注 意意 点点 (2) 则则 X N ( )， Y N ( ).二维均匀分布的边缘分布不一定是一维均匀分布二维均匀分布的边缘分布不一定是一维均匀分布.第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第3535页页页页例例例例4.2.24.2.2 设二维随机变量设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为的密度函数为求概率求概率PX+Y1.解解: PX+Y1=y=xx+y=11/2第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第3636页页页页例例例例4.2.14.2.1 设设 (X, Y)服从区域服从区域 D=(x, y), x2+y2 1时，时，p(x, y)=0，所以所以 p(x)=0当当|x|1时时,不是均匀分布不是均匀分布第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第3737页页页页对二维随机变量对二维随机变量(X, Y), 在给定在给定Y取某个值的条件下取某个值的条件下, X的分布的分布; 在给定在给定X取某个值的条件下取某个值的条件下, Y的分布的分布.4.3 条件分布条件分布第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第3838页页页页(1) 条件分布律条件分布律：4.3.1 条件分布条件分布(2) 条件概率密度条件概率密度：第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第3939页页页页(4) 条件分布函数条件分布函数：第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第4040页页页页 若满足以下之一若满足以下之一: i) F(x, y) = FX(x)FY(y)， 通式通式 ii) pij = pi.p.j， 离散随机变离散随机变量量 iii) f(x, y) = fX(x)fY(y)， 连续随机变连续随机变量量 则称则称 X 与与Y 是是独立独立独立独立的，的，4.4 相互独立的随机变量相互独立的随机变量第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第4141页页页页(1) 变量变量X 与与Y是独立的其本质是：是独立的其本质是：注注 意意 点点任对实数任对实数a, b, c, d，有，有(2) X 与与Y 是独立的，则是独立的，则g(X)与与h(Y)也是独立的也是独立的.第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第4242页页页页例例4.4.1 (X, Y) 的联合分布律为的联合分布律为:X01Y 0 1 0.3 0.4 0.2 0.1问问 X与与Y 是否独立？是否独立？解解: 边缘分布律分别为边缘分布律分别为:X 0 1P 0.7 0.3Y 0 1P 0.5 0.5因为因为所以不独立所以不独立第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第4343页页页页例例例例4.4.24.4.2已知已知 (X, Y) 的联合密度为的联合密度为 问问 X 与与Y 是否独立？是否独立？所以所以X 与与Y 独立独立。注意：注意：f(x, y) 可分离变量可分离变量.解解: 边缘分布密度分别为边缘分布密度分别为:第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第4444页页页页注注 意意 点点 (1) (1) (X, Y) 服从矩形上的均匀分布，则服从矩形上的均匀分布，则X与与Y 独立独立. . (2) (X, Y) 服从单位圆上的均匀分布，服从单位圆上的均匀分布，则则 X与与Y 不不独立独立. . 见前面例子见前面例子 (3) 联合密度联合密度 f(x, y) 的表达式中，若的表达式中，若 x 的取值与的取值与 y 的的 取值有关系，则取值有关系，则 X与与Y 不不独立独立. .体现在变量的取值体现在变量的取值 范围。范围。第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第4545页页页页注注 意意 点点 (2) (4) 若联合概率密度若联合概率密度 f(x, y) 可分离变量，即可分离变量，即 f(x, y) = g(x)h(y) 则则 X与与Y 独立。独立。 (5) 若若 (X, Y) 服从二元正态服从二元正态 N ( ) 则则 X与与Y 独立的充要条件是独立的充要条件是 = 0. .第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第4646页页页页4.4.2 n维随机变量维随机变量设设n维随机变量维随机变量(X1, X2, , Xn) 的分布函数为的分布函数为 F(x1, x2,xn)，则，则则称则称 f(x1, x2,xn) 为为n n维概率密度函数维概率密度函数维概率密度函数维概率密度函数。F(x1, x2,xn) =P( X1 x1, X2 x2, Xn xn)第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第4747页页页页n维随机变量的边缘分布维随机变量的边缘分布设设n维随机变量维随机变量(X1, X2, , Xn) 关于关于X1，关于，关于(X1, X2)的边缘分布函数分别为：的边缘分布函数分别为：第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第4848页页页页n维随机变量的独立性维随机变量的独立性则称则称X1, X2, Xn是相互是相互独立的独立的独立的独立的; ;则称随机变量则称随机变量 和和 是是相互相互相互相互独立的独立的独立的独立的。第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第4949页页页页4.5 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布问题：问题：已知二维随机变量已知二维随机变量 (X, Y) 的分布的分布，如何求出如何求出 Z=g (X, Y)的分布的分布？第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第5050页页页页(1) 设设(X1, X2, , Xn) 是是n维离散随机变量，维离散随机变量， 而而 Z = g(X1, , Xn) 是是一一维离散随机变量维离散随机变量.4.5.1 多维离散随机变量函数的分布多维离散随机变量函数的分布(2) 多维离散随机变量函数的分布是容易求的：多维离散随机变量函数的分布是容易求的： i) 对对(X1, X2, , Xn)的各种可能取值对的各种可能取值对， 写出写出 Z 相应的取值相应的取值. ii) 对对Z的相同的取值的相同的取值，合并其对应的概率合并其对应的概率.第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第5151页页页页4.5.2 连续函数的卷积公式连续函数的卷积公式定理定理4.5.1 设连续随机变量设连续随机变量X与与Y 独立，独立， 则则 Z=X+Y 的密度函数为的密度函数为第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第5252页页页页离散函数的卷积公式离散函数的卷积公式设离散随机变量设离散随机变量 X 与与 Y 独立，独立，则则 Z=X+ Y 的分布律为的分布律为第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第5353页页页页卷积公式的应用卷积公式的应用例例例例4.5.14.5.1 X与与Y 是独立同分布的标准正态变是独立同分布的标准正态变 量，求量，求 Z = X+ Y 的分布的分布.解：解：所以所以 Z = X+ Y N(0, 2).进一步的结论见后进一步的结论见后第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第5454页页页页例例例例4.5.24.5.2 设设 X 与与 Y 独立独立，XU(0, 1), YExp(1). 试求试求 Z = X+Y 的密度的密度函数函数.解解: :被积函数的非零区域为：被积函数的非零区域为：0x0用卷积公式：用卷积公式：(见下图见下图)第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第5555页页页页xz1z = x因此有因此有(1) z 0 时时fZ(z) = 0 ;(2) 0 z 1 时时fZ(z) =(3) 1 z 时时fZ(z) =1第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第5656页页页页分布的可加性分布的可加性若同一类分布的独立随机变量和的分布仍若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有是此类分布，则称此类分布具有可加性可加性.第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第5757页页页页二项分布的可加性二项分布的可加性若若 X b(n1, p)，Y b(n2, p)，注意注意：若若 Xi b(1, p)，且独立，则且独立，则 Z = X1 + X2 + + Xn b(n, p).且独立，且独立，则则 Z = X+ Y b(n1+n2, p).第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第5858页页页页泊松分布的可加性泊松分布的可加性若若 X P( 1) ，Y P( 2)，注意注意： X Y 不服从泊松分布不服从泊松分布.且独立，且独立，则则 Z = X+ Y P( 1+ 2).第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第5959页页页页正态分布的可加性正态分布的可加性若若 X N( )，Y N( ) ，注意注意： X Y 不服从不服从 N( ).且独立，则则 Z = X Y N( ). X Y N( ).独立正态变量的线性组合仍为正态变量独立正态变量的线性组合仍为正态变量. (见下见下)第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第6060页页页页独立正态变量的线性组合仍为正态变量独立正态变量的线性组合仍为正态变量Xi N( i, i2), i =1, 2, . n. 且且 Xi 间相互独间相互独立立, 实数实数 a1, a2, ., an 不全为零不全为零, 则则第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第6161页页页页伽玛分布的可加性伽玛分布的可加性*若若 X Ga( 1, )，Y Ga( 2, ) ，注意注意： X Y 不服从不服从 Ga( 1 2, ).且独立，且独立，则则 Z = X + Y Ga( 1+ 2, ).第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第6262页页页页注注 意意 点点 (1) 独立的独立的0 0- -1 1分布随机变量之和服从二项分布分布随机变量之和服从二项分布. . (2) 独立的指数分布随机变量之和服从伽玛分布独立的指数分布随机变量之和服从伽玛分布. .第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第6363页页页页4.5.3 最大值与最小值分布最大值与最小值分布例例例例4.5.3 4.5.3 设设X与与Y 独立，且独立，且 X, Y 等可能地取值等可能地取值 0 和和1. 求求 Z = max(X, Y) 的分布律的分布律.解解: :X 0 1P 1/2 1/2Y 0 1P 1/2 1/2Z = max(X, Y) 的取值为的取值为: 0, 1P(Z=0) = P(X=0, Y=0) = P(X=0)P(Y=0) =1/4P(Z=1)= P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1)= 3/4第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第6464页页页页设设 X1, X2, Xn, 独立同分布，其分布函独立同分布，其分布函数和密度函数分别为数和密度函数分别为 FX(x) 和和 fX(x).一般情况一般情况若记Y = max (X1, X2, Xn),Z = min (X1, X2, Xn)则则 Y 的分布函数为的分布函数为:FY (y) = FX(y)n Y 的密度函数为的密度函数为:fY(y) = nFX(y)n 1 fX(y) Z 的分布函数为的分布函数为:FZ(z) = 1 1 FX(z)n Z 的密度函数为的密度函数为:fZ(z) = n1 FX(z)n 1 fX(z) 第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第6565页页页页4.5.4 变量变换法变量变换法*已知已知 (X, Y) 的分布，的分布， (X, Y) 的函数的函数 求求 (U, V) 的分布的分布.第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第6666页页页页变量变换法的具体步骤变量变换法的具体步骤有连续偏导、存在反函数有连续偏导、存在反函数则则 (U, V) 的联合密度为的联合密度为若若其中其中J为为变换的雅可比行列式变换的雅可比行列式：第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第6767页页页页增补变量法增补变量法可增补一个变量可增补一个变量V = g2(X, Y) ，若要求若要求 U = g1(X, Y) 的密度的密度 pU(u) ，先用变量变换法求出先用变量变换法求出 (U, V)的联合密度的联合密度fUV(u, v)，用此方法可以求出卷积公式、积的公式、商的公式用此方法可以求出卷积公式、积的公式、商的公式然后再由联合密度然后再由联合密度fUV(u, v)，去求出边际密度去求出边际密度fU(u)第四节第四节第四节第四节 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 长治学院长治学院长治学院长治学院8/9/20248/9/2024第第第第6868页页页页4.6 小结小结基本概念：基本概念： 二维随机变量、分布函数、离散型二维随机变量及其分布律二维随机变量、分布函数、离散型二维随机变量及其分布律合和边缘分布律、连续型二维随机变量及其概率密度和边缘概合和边缘分布律、连续型二维随机变量及其概率密度和边缘概率密度、条件分布函数、条件分布律、条件概率密度、两个随率密度、条件分布函数、条件分布律、条件概率密度、两个随机变量的独立性、机变量的独立性、Z=X+Y的概率密度、最大最小概率密度；的概率密度、最大最小概率密度；分布函数的计算：分布函数的计算： 二维随机变量的分布函数：二维随机变量的分布函数： F(x, y)=P( X x, Y y) Z=X+Y的概率密度：卷积公式的概率密度：卷积公式 最大最小概率密度：最大最小概率密度： 公式见公式见P64