第四节第四节 定积分的换元法定积分的换元法定理：定理：（2）函数）函数单值且有连续导数单值且有连续导数;设（设（1）f (x)在在a,b上连续；上连续；（3）当）当t 在区间在区间 上变化时，上变化时，在在a,b上变化，上变化，的一个原函数的一个原函数 证证 设设F(x)是是 f (x) 的一个原函数，的一个原函数， 应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:(1)把变量把变量x换成新变量换成新变量t 时，积分限也相应的改变时，积分限也相应的改变.(2)求出求出 的一个原函数后，的一个原函数后，而只要代入新变量而只要代入新变量t 的上、下限的上、下限.不必变换回不必变换回原变量原变量 x ，例例1 1 计算计算解解 令令例例2 2 计算计算解解 令令例例3 3 计算计算解解 令令原式原式2证证例例4 设设 f (x)在在-a,a上连续，上连续，若若f (x)为偶函数，为偶函数，若若f (x)为奇函数，为奇函数，若若f (x)为偶函数，为偶函数，若若f (x)为奇函数，为奇函数，奇函数奇函数例例5 5 计算计算解解原式原式偶函数偶函数单位圆的面积单位圆的面积例例6 设设解解 设设 t = x - 2则则 x= 1时时, t = -1;x= 4时时,t=20练习题：练习题：例例7 若若f (x)是是 上以上以T为周期的连续函数，为周期的连续函数，则对任何实数则对任何实数a都有都有证证设设x=t +T例例8 求求解解 设设 证证（1）设）设例例9 若若f (x)在在0,1上连续，上连续，证明证明由此计算由此计算 （2）设）设例例10 证明：证明： 证证 (因为因为cosx是偶函数是偶函数) 证法证法21.证明：证明：证证