1 优学教育三年级和差倍问题专题讲解 和、差、倍是两个数之间最基本的数量关系，这三个关系中只要知道任意两个，我们都可以求出相应的两个数。 知道“和”与“差”是和差问题，知道“和”与“倍”是和倍问题，知道“和”与“差”是和差问题，都有相应的公式。和差倍问题是三年级的难点和重点。 注：在很多题目中，往往不直接告诉我们和、差，这就需要我们自己观察。 而在和差倍问题中，往往需要我们找到“一倍数” （或一倍量） 。那如何找到一倍数呢？我们的方法是： “是” 、 “比” 、 “等于”后面的我们看作一倍数，如果在题目中我们通过这种方法找到两个一倍数，那么一般把较小的看作一倍数。 一、和差问题 和差问题是指知道两个数的“和”与“差” ，要求这两个数。和差问题基本公式如下： 大数= （和+ 差）2 小数= （和- 差）2 （或者：小数= 大数- 差，小数= 和- 大数） 【例】 ：张明在期末考试时，语文、数学两门课的平均得分是 95 分，数学比语文多得 8 分，张明这两门功课的成绩各是多少分？ 【分析】 ：通过第一条条件“平均分是 95 分”可以算出“和”是 952=190 分，第二个条件又告诉了我们“差”是 8，解答过程如下： 和：952=190（分） 数学（大数） ： （190+8）2=99（分） 语文（小数） ： （190-8）2=91（分） 或者：99-8=91（分） 190-99=91（分） 【例】 ：甲、乙两筐苹果共重 75 千克，从甲筐取出 5 千克苹果放入乙筐里，甲筐苹果还比乙筐多 7 千克。甲、乙两筐原来各有苹果多少千克？ 【分析】 ：通过第一个条件可知“和”是 75，那差是多少呢，题目中并没直接告诉我们，通过画图，示意图如下： 从图上可以看出，甲、乙两筐原来的差为 5+7+5=17 千克， 差：5+7+5=17（千克） 甲（大数） ： （75+17）2=46（千克） 乙（小数） ： （75-17）2=29（千克） 或者：46-17=29（千克） 75-46=29（千克） 二、和倍问题 和倍问题是指知道两个数的“和”与“倍” ，要求这两个数，是常见的典型应用题。和倍问题基本公式如下： 小数= 和（倍数+1） 大数= 和- 小数（或者：大数= 小数倍数） 在一些题目中，两者之间不是整倍数的关系，比如：第一个是第二个的 2 倍少10，3 倍多 20这就需要我们通过画线段图来解决问题。 【例】 ：三年级 2 班共有 58 名学生，男生是女生的 2 倍少 2 人，三年级 2 班有男生、女生各多少人？ 【分析】 ：本题是不标准的和倍问题，把女生当成 1 份，男生是 2 份还少 2 人 通过作图我们发现：58 对应的并不是一个整份数，如果想要变成整份数，我们把男生人数加 2，这时总人数为：60 人，对应的是 3 份，那么一份（女生）很容易算出来 2 女生： （58+2）（2+1）=20（人） 男生：58-20=38（人） 或者 202-2=38（人） 答：三年级 2 班有男生 38 人，女生 20 人。 总结：对于不标准的和倍问题，要先计算倍数和，看到“几倍还少几”就在和上加几，看到“几倍还多几”就在和上减掉几，这就我们通过“少加多减”就把和凑成整倍。 【例】 ： 红、 黄、 蓝三个纸盒里共有彩票 56 张， 其中红盒里的彩票是黄盒的 2 倍，蓝盒里的彩票是红盒的 2 倍，三个盒子里各有多少张彩票？ 【分析】 ：本题是涉及三个数的和倍问题，先找 1 倍数，此题中把黄盒看成一倍数，则红盒是 2 倍数，蓝盒是 4 倍数。 黄盒：56（1+2+4）=8（张） 红盒：82=16（张） 蓝盒：84=32（张） 答：黄盒里有彩票 8 张，红盒里有彩票 16 张，蓝盒里有彩票 32 张。 三、差倍问题 差倍问题是指知道两个数的“差”与“倍” ，要求这两个数，也是常见的典型应用题。差倍问题基本公式如下： 小数= 差（倍数-1） 大数= 小数+ 差（或者：大数= 小数倍数） 要正确地解答差倍问题，最好的方法依然是画线段图分析。 【例 6】 ：两筐苹果重要相等，甲筐卖出去 7 千克后，乙筐卖出去 19 千克后，甲筐剩下的苹果重要是乙筐的 3 倍，两筐苹果各有多少千克？ 【分析】 ：本题涉及到“卖之前”和“卖之后” ， “卖之前”是相等的，卖之后有倍数关系。第一步根据题目条件画线段图，画图方法如下： 先画两条一样长的线段，表示两筐苹果原来重量相等。 再两条线段上分别截出一段表示卖出去的，标明甲是 7 千克，乙是 19 千克。 第一步完成后，第二步到图上去找倍，找到后标清楚： 本题中乙剩下的是 1 倍，甲剩下的是 3 倍。接着第三步，通过线段图找两个倍之间的差，很容易看到，3 倍跟 1 倍之间的差是 19-7=12 千克，接着用基本公式就能求出一倍数。 差：19-7=12（千克） 乙剩下的（一倍数） ：12（3-1）=6（千克） 原来：6+19=25（千克） （甲乙两筐原来一样重） 答：甲乙两筐原来重 25 千克。 3 和差问题练习题 （和差）2大数 （和差）2小数 1、学校排球、篮球共 62 个，排球比篮球多 12 个，排球、篮球各有多少个？ 2、甲、乙两车间共有工人 260 人，甲车间比乙车间少 30 人，甲、乙两车间各有工人多少人？ 3、某校五、六年级共有 324 人，六年级的人数比五年级多 46 人，这个学校五、六年级各有多少人？ 例 2、甲、乙两个书架共有书 480 本，如果从甲书架中取出 40 本放入乙书架，这时两个书架上书的本数正好相等。甲、乙两个书架原来各有多少本？ 想一想：这一道题要先求什么？甲、乙两个书架原来相差多少本？为什么？ （1）原来甲书架比乙书架多多少本？ （2）乙书架原来有多少本？ （3）甲书架原来有多少本？ 试一试： 1、两个桶里共盛水 30 千克，如果把第一桶里的水倒 6 千克到第二个桶里，两个桶里的水就一样多。原来每桶各有水多少千克？ 2、甲、乙两个仓库共存大米 58 吨，如果从甲仓调 3 吨大米到乙仓，两个仓库所存的大米正好相等。甲、乙两个仓库各存大米多少吨？ 例 3、甲、乙两人共有 150 元钱，如果甲增加 13 元，而乙减少 27 元，那么两人的钱数就相等。甲、乙两人和有多少元？ 画出线段图表示题意： 想一想：甲比乙少多少元？ （1）甲比乙少多少元？ （2）乙有多少元 （3）甲有多少元？ 试一试： 第一车间和第二车间共有工人 735 人，如果第一车间调出 27 人，第二车间调入 36 人，那么两个车间的人数就相等。两个车间各有多少人？ 4 2、甲、乙两船共有乘客 623 人，如果甲船增加 34 人，乙船减少 57 人，那么两船的乘客同样多。乙船有多少乘客？ 和倍问题练习题 和（倍+1）小数 1 甲、乙两仓库共存粮264吨，甲仓库存粮是乙仓库存粮的10倍。甲、乙两仓库各存粮多少吨？ 2.甲、乙两辆汽车在相距 360千米的两地同时出发，相向而行， 2 时后两车相遇。已知甲车的速度是乙车速度的 2 倍。甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？ 3.妹妹有书 24 本，哥哥有书 53 本。要使哥哥的书是妹妹的书的 6 倍，妹妹应给哥哥多少本书？ 4.小敏与爸爸的年龄之和是 64岁，爸爸的年龄是小敏的 3 倍。小敏和她爸爸的年龄各是多少岁？ 2.一肉店卖出猪肉和牛肉共 560千克，卖出的猪肉是卖出的牛肉的 4 倍。猪、牛肉各卖了多少千克？ 5 3.甲、乙两桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么这时甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3 倍。甲、乙两桶原有汽油各多少千克？ 4.甲、乙两人共生产零件100个，其中甲有2 个零件、乙有5 个零件不合格。已知乙生产的合格零件是甲生产的合格零件的 2 倍。 甲、 乙各生产了多少个零件？ 5.团结村原有水田290公顷，旱田170公顷。要把多少公顷旱田改为水田，才能使水田的公顷数比旱田的公顷数多2 倍？ 6.红星小学图书馆内，科技书是故事书的 3倍，连环画书又是科技书的 2倍。已知这三种书共有 1600本，那么每种书各有多少本？ .差倍问题 差（倍1）小数 1.小丽和小荣集邮, 小丽邮票的张数是小荣的 5倍, 如果小丽把自己的邮票给小荣 100张, 她俩邮票的张数正好相等. 小丽和小荣各有 张、 张. 2.启东水泥厂有甲、乙两仓库, 各有水泥若干袋, 甲仓库存水泥的袋数是乙仓库的 3 倍, 后来从甲仓库运出 450袋, 从乙仓库运出 50 袋. 这时仓库剩余的袋数相等, 甲仓库原有水泥 袋, 乙仓库原有 袋. 3.两筐桃的个数相等. 如果第一筐卖出150个, 第二筐卖出194个, 那么剩下的桃第一筐是第二筐的 3倍, 第一筐有 个, 第二筐有 个. 4.甲、 乙两人存款若干元, 甲存款是乙存款的3 倍, 如果甲取出 240元,乙取出 40 元, 甲、乙存款数正好相等. 问甲原有存款 元, 乙原有存款 元. 5.小勇和小英各有钱若干元, 若小勇给小英 24 元, 二人钱数相等. 如果小英给小勇 27 元, 则小勇的钱数就是小英钱数的 2倍. 问小勇原有 6 元, 小英原有 元. 6.如果甲数加上 152等于乙数, 如果乙数加上 480等于甲数的 3 倍, 问原来甲数 ,乙数 . 7.有两根同样长的铅笔, 第一根用去 14 厘米, 第二根用去 2 厘米后, 第二根的长度是第一根的 3 倍, 问原有铅笔各 厘米. 8.两块同样长的布, 第一块用去31米, 第二块用去19米, 结果所余米数,第二块是第一块的 4 倍, 两块布原来各长 米. 9.哥哥的图书数比弟弟多60本, 哥哥的图书本数是弟弟的3 倍, 则哥哥有图书 本, 弟弟有图书 本. 10.父亲现年50岁, 女儿现年14岁, 年前, 父亲的年龄是女儿年龄的 5 倍. 差倍应用题 1. 小丽和小荣集邮, 小丽邮票的张数是小荣的 5倍, 如果小丽把自己的票给小荣 100张, 她俩邮票的张数正好相等. 小丽和小荣各有多少张？ 2. 甲仓所存面粉是乙仓的 3 倍, 从甲仓运走 8500千克, 从乙仓运走 500千克后, 两仓所剩的千克数相等, 问两仓原有面粉多少千克? 3. 姐妹两人买东西, 姐姐带的钱数是妹妹的 2 倍, 姐姐用去 180元, 妹妹用去 30 元, 这时二人剩下的钱数相等, 问姐妹各带了多少元? 4. 有大小两个整千数, 大数是小数的 3倍, 这两个数最高位上的数字的差是 6,问这两个整千数各是多少. 5. . 用 9 辆汽车和 18 辆大车送一批货物, 每辆汽车的载重量相当于大车的3 倍, 结果汽车比大车一共多运 18 吨, 汽车和大车每辆各运多少吨? 7 8