15.1 确知信号的复信号表示确知信号的复信号表示5.2 希尔伯特变换希尔伯特变换5.3 复随机过程复随机过程5.4 窄带随机过程的统计特性窄带随机过程的统计特性第五章第五章 窄带随机过程窄带随机过程 5.5 窄带高斯过程的包络和相位分布窄带高斯过程的包络和相位分布5.6 卡方分布及非中心卡方分布卡方分布及非中心卡方分布5.5 窄带高斯随机过程包络与相位的分布窄带高斯随机过程包络与相位的分布在许多实际电子系统或电路中，我们经常遇到这样的情况，在许多实际电子系统或电路中，我们经常遇到这样的情况，用一个宽带随机过程激励一个高频窄带线性系统（或简称用一个宽带随机过程激励一个高频窄带线性系统（或简称窄带滤波器）。如图窄带滤波器）。如图5.5.1所示。所示。图5.5.1 窄带高斯过程的的产生5.5.1 包络和相位的一维概率密度包络和相位的一维概率密度 假设 是一窄带平稳高斯实随机过程，具有零均值和方差 ，则有以下关系 在任一给定的时刻 ，对A(t)和 采样，便可得到随机变量 和 。 将由式 所表示的 之间的函数关系记为 相应的反变换关系为一、求一、求 为求得 ，先来研究 的某些统计特性。1. 都是高斯随机变量。2. 的均值皆为零，即 3. 具有相同的方差，且都等于Y(t)的方差 。4. 相互独立。应用 的性质可得 即 正交。 包络和相位的一维分布包络和相位的一维分布5. 于是可得 的联合概率密度函数为：二、求二、求 利用 式中J为雅可比因子 可得三、求 通过对 求边沿概率密度，便可得到上式给出了包络A(t)的一维概率密度函数表达式，通常将它称为瑞利分布，其图形如图5.5.2所示。图5.5.2 瑞利概率密度函数 同理， 的一维概率密度函数为 可见，随机相位在 区间呈均匀分布。 比较以上三式，还可以得到 上式告诉我们，在同一时刻上式告诉我们，在同一时刻t，随机变量，随机变量 相相互独立，但也应注意，这并不意味着随机过程互独立，但也应注意，这并不意味着随机过程 相互独立。相互独立。 求解包络和相位的二维概率密度步骤：求解包络和相位的二维概率密度步骤： 一、求出四维密度 二、求 各自的联合概率密度 三、求二维边缘概率密度 和包络和相位的二维分布包络和相位的二维分布（1）求四维分布）求四维分布对于确定的时刻对于确定的时刻t, 皆为零均值、方差为皆为零均值、方差为2 2的高斯的高斯变量。根据多维高斯随机变量的概率密度公式可得：变量。根据多维高斯随机变量的概率密度公式可得：12其中其中其中其中 ，把以上带入到多维，把以上带入到多维变量的概率密度公式中可得：变量的概率密度公式中可得：（2）求联合概率密度）求联合概率密度其中，雅克比为其中，雅克比为从而可得：从而可得：（3）包络的二维概率密度）包络的二维概率密度（4）相位的二维概率密度）相位的二维概率密度式中式中根据（根据（2）、（）、（3）、（）、（4）可得：）可得：这就表明，窄带高斯过程的包络和相位不是统这就表明，窄带高斯过程的包络和相位不是统计独立的随机过程。计独立的随机过程。5.5.2 正弦型信号与窄带高斯噪声之和的包络正弦型信号与窄带高斯噪声之和的包络 及相位的概率密度及相位的概率密度 假设 X(t)=S(t)+N(t) 其中，S(t)为具有相位的正弦型信号，即 式中， 为已知常数， 区间均匀分布的随机变量。 N(t)为平稳窄带实高斯随机过程，具有零均值和方差。称N(t)为噪声。并设它的功率谱密度对称与 。 很明显，X(t)也是一个窄带随机过程。其中N(t) 表达式为： 其中，所以有：所以有：根据上节的分析可知，NC(t)和NS(t)服从高斯分布，所以对于任意的和t,AC(t)和AS(t)也是高斯分布并且相互独立。在值给定的情况下，它们的均值和方差分别为：于是可得 的联合概率密度函数为：于是可得X(t)的包络和相位联合概率密度函数为：包络概率密度函数为：包络概率密度函数为：该式表明，窄带高斯噪声加正弦信号的包络服从广义瑞利分布或者莱斯分布。当信噪比很小时，即当信噪比很大时，即在大噪声条件下，包络At趋近与高斯分布。随着信噪比的减少，广义瑞利分布趋向于瑞利分布。相位概率密度函数为：相位概率密度函数为：式中式中 为概率积分函数。为概率积分函数。当当=0=0时，相位变成均匀分布，这相当于窄带高斯噪时，相位变成均匀分布，这相当于窄带高斯噪声的情况。当信噪比很多声的情况。当信噪比很多 时，则相位的条件概率时，则相位的条件概率密度近似为：密度近似为：5.5.3 窄带高斯过程包络平方的概率密度窄带高斯过程包络平方的概率密度 在许多实际应用中，常常在高频窄带滤波器的输出端接入一平方律检波器，如图5.5.3所示。在平方律检波器输出端便得到包络的平方 。图5.5.3 高频窄带滤波器加平方检波器（1） 窄带高斯噪声包络平方的概率密度窄带高斯噪声包络平方的概率密度 当窄带随机过程为一具有零均值、方差为 的平稳高斯噪声时，其包络A(t)的一维概率密度为瑞利密度函数令由此得到雅可比因子为于是上式表明， 的概率密度为指数密度函数。（2） 正弦型信号加窄带高斯噪声包络平方的概率密度正弦型信号加窄带高斯噪声包络平方的概率密度当窄带随机过程为正弦型信号加窄带高斯噪声时，即经过推导可得包络平方 的一维概率密度为:由前面的分析可知，该窄带过程包络的概率密度为:令 ，可得归一化随机变量 的概率密度函数为：在无线通信系统中，构成一个包络检波器要比构成一个平方律在无线通信系统中，构成一个包络检波器要比构成一个平方律检波器容易，实际应用也很多。实践证明，平方律检波器与包检波器容易，实际应用也很多。实践证明，平方律检波器与包络检波器的性能差别甚小。络检波器的性能差别甚小。5.6 分布和非中心分布和非中心 分布分布一、一、 分布分布视频信号积累原理图假设有假设有n个统计独立的高斯分布随机变量个统计独立的高斯分布随机变量X1，X2， ,Xn，它们都是零均值和单位方差，于是可以将这些变，它们都是零均值和单位方差，于是可以将这些变量的平方和表示为：量的平方和表示为：则称随机变量则称随机变量 为服从为服从n个自由度的个自由度的 变量，它的变量，它的分布称为分布称为 分布。分布。随机变量随机变量Xi是服从标准高斯分布的，即是服从标准高斯分布的，即令令Y=Xi2，即有，即有其对应的特征函数为：其对应的特征函数为：由于相互独立的随机变量之和的特征函数等于各由于相互独立的随机变量之和的特征函数等于各随机变量的特征函数之积，由此可得随机变量的特征函数之积，由此可得:对特征函数进行傅里叶反变换即可得到对特征函数进行傅里叶反变换即可得到n个自由度的个自由度的 的的 的概率密度，的概率密度，式中， 为 的函数。即，几个不同自由度下 的图形。 变量的概率密度函数 分布的性质：分布的性质： （1）两个独立的 变量之和仍为 变量。 （2）由特征函数与矩的关系，可求得n个自由度的 变量的均值 和方差假设有假设有n个统计独立的高斯分布随机变量个统计独立的高斯分布随机变量X1，X2， ,Xn，它们都是零均值和单位方差，则称，它们都是零均值和单位方差，则称具有具有n个自由度的非中心个自由度的非中心 分布。分布。二、非中心二、非中心 分布分布二、非中心二、非中心 分布分布自由度为n的非中心 分布， 的概率密度为式中，非中心参量 表示视频积累后的功率信噪比。 在图5.6.1中画出了不同信噪比 和样本数n情况下的非中心 函数。图5.6.1 非中心 变量的概率密度函数 非中心非中心 分布的性质：分布的性质：（1）两个统计独立的非中心 变量之和仍为非中心 变量。若它们的自由度分别为 ；非中心参量分别为 ，则和变量的自由度为 ；非中心参量为 （2）非中心 变量的均值和方差分别为例5 .1 设图中加至平方律检波器输入端的窄带随机过程X(t)为其中 为有用信号； 为非随机变量。N(t)是平稳窄带高斯噪声，均值为0，方差为 。起功率谱对称与 。X(t)经检波并作归一化处理以后，独立取样n次，求加法器输出端随机变量的概率密度及其参数。视频信号积累原理图