小学数学思想与方法演示文稿Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望思考思考:1.在一个减法算式里在一个减法算式里,被减数、被减数、减数减数、差的和除以被减数、差的和除以被减数, ,商是商是多少多少? ?2.2.计算计算 转化思想转化思想3.如图如图,求长方形求长方形BDEF的面积的面积?补4.如图如图:在一个三角形中有一个在一个三角形中有一个正方形正方形,求空白部分的面积是多求空白部分的面积是多少少?旋转法旋转法两个空白三角形拼成两个空白三角形拼成一个直三角形一个直三角形5.在直角三角形中,AB=20厘米,BC=30厘米,在其内作一个正方形EOFB,求正方形EOFB的面积?代数法解:设正方形边长为6. 一根绳子对折,对折再对折,从中间剪一刀,一共有几段?一一、数学思想方法定义、数学思想方法定义 数学思想数学思想:是指数量关系和空间形是指数量关系和空间形式反映在人的意识中经过思维活动式反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果而产生的结果,是对数学知识和方是对数学知识和方法的本质认识法的本质认识,是对数学规律的理是对数学规律的理性认识性认识. 数学方法数学方法:是数学思想的表现形式是数学思想的表现形式得以实现的手段得以实现的手段,方法方法指向指向实实践践; ;而数学思想是数学方法的而数学思想是数学方法的灵魂灵魂,它指导方法的运用它指导方法的运用.数学思想具有概括数学思想具有概括性和普遍性性和普遍性,而方法则具有操作性和具体性而方法则具有操作性和具体性;数学思想比数学方法更深刻数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反、更抽象地反映数学对象间的内在关系映数学对象间的内在关系, ,是数学方法进一是数学方法进一步的概括与升华步的概括与升华. . 关于数学思想方法关于数学思想方法, ,北京师范大学钱佩北京师范大学钱佩玲教授指出玲教授指出:“:“数学思想方法是数学内容为数学思想方法是数学内容为载体载体, ,基于数学知识基于数学知识, ,又高于数学知识的一又高于数学知识的一种隐性知识种隐性知识,”是处理数学问题的指导思想是处理数学问题的指导思想和策略和策略, ,是数学的是数学的灵魂灵魂. 中国科学院院士中国科学院院士,数学家张景中先生曾指数学家张景中先生曾指出出:“小学生的数学很初等小学生的数学很初等,很简单很简单.但尽管简但尽管简单单,里面却蕴涵一些深刻的数学思想里面却蕴涵一些深刻的数学思想.” 关于数学思想方法的重要性关于数学思想方法的重要性,“很早就有很早就有这样的认识这样的认识:学习数学不仅要学习它的知识学习数学不仅要学习它的知识内容内容,而且要学习它的精神而且要学习它的精神、思想和方法、思想和方法. .掌掌握基本数学思想方法能使数学更易于理解握基本数学思想方法能使数学更易于理解与记忆与记忆, ,领会数学思想方法是通向迁移大道领会数学思想方法是通向迁移大道的的光明之路光明之路”.结合小学数学的具体内结合小学数学的具体内容渗透数学思想方法容渗透数学思想方法,不仅能使小学生更好不仅能使小学生更好地理解和掌握数学内容地理解和掌握数学内容,更有利于小学生感更有利于小学生感悟数学思想方法悟数学思想方法.二二、数学课程标准对渗透数学思、数学课程标准对渗透数学思想方法的要求想方法的要求. . 教育部教育部2001年颁发的年颁发的全日制义全日制义务教育课程标准务教育课程标准( (实验稿实验稿) )基本理念基本理念中中,4.,4.教师应激发学生的学习积极性教师应激发学生的学习积极性, ,向学生提供充分从事实现活动的机会向学生提供充分从事实现活动的机会, ,帮助他们在自主探索和合作交流的过帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、与技能、数学思想和方法数学思想和方法, ,获得广泛的获得广泛的实现活动经验实现活动经验. . 第二部分第二部分 总体目标总体目标:获得适应获得适应未来社会生活和进一步发展所必须未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识的重要数学知识(包括数学事实包括数学事实、数学活动经验数学活动经验) )以及以及基本的数学思基本的数学思想方法想方法和必要的应用技能和必要的应用技能; ; 第一次将第一次将“基本的数学方法基本的数学方法”作为学生学习的作为学生学习的目标之一目标之一, ,改变了改变了长期形成的长期形成的“双基双基”( (数学基本知数学基本知识、基本技能识、基本技能) )教与学的目标教与学的目标. .在在“课程实施建议课程实施建议”中多次提出中多次提出,要根据小学生已有经验要根据小学生已有经验,心里发展心里发展规律以及所学内容的特点规律以及所学内容的特点,采用逐采用逐步渗透步渗透、螺旋上升、螺旋上升, ,引导学生感悟引导学生感悟数学思想方法数学思想方法. .基于基于“全面知识全面知识”的数学观和教学观的数学观和教学观, ,数学课程重视数学课程重视数学思想方法数学思想方法, ,关注学生在数学学关注学生在数学学习过程中对数学思想方法的感悟习过程中对数学思想方法的感悟, ,更加关注的数学思想方法本身更加关注的数学思想方法本身, ,而而不仅仅是通过渗透数学思想方法加深不仅仅是通过渗透数学思想方法加深对数学知识的理解对数学知识的理解.新目标不仅关注显新目标不仅关注显性的性的“双基双基”,而且关注隐性的数学思而且关注隐性的数学思想方法想方法,注重注重“双基双基”与数学思想方法与数学思想方法的结合的结合,使二者相互促进形成有机整体使二者相互促进形成有机整体,这并不是对传统特色的否定这并不是对传统特色的否定,而恰恰是而恰恰是对数学教学对数学教学“双基双基”特色的继承和发特色的继承和发展展.实现这一目标实现这一目标,需要在数学活动中需要在数学活动中,继继续促进学生理解知识续促进学生理解知识,掌握基本技能掌握基本技能,同同时启发他们领会数学思想方法时启发他们领会数学思想方法,真正促真正促进他们全面进他们全面、持续、和谐发展、持续、和谐发展. . 教育部教育部2011年颁发的年颁发的全日制全日制义务教育课程标准义务教育课程标准基本理念基本理念:2.:2.它不仅包括数学的结果它不仅包括数学的结果, ,也包括数也包括数学结果的形成和学结果的形成和蕴涵的数学思想方蕴涵的数学思想方法法.3.3.使学生理解和掌握基本的数使学生理解和掌握基本的数学知识与技能学知识与技能, ,体会和运用数学思体会和运用数学思想与方法想与方法, ,获得基本的教学活动经获得基本的教学活动经验验. .第二部分第二部分 课程目标课程目标一一、总目标、总目标:1.1.获得适应社会生活获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学知识、和进一步发展所必须的数学知识、基本技能、基本技能、基本思想基本思想、基本活动、基本活动. .( (简称四基简称四基) )数学思考数学思考: :学会独立思考学会独立思考, ,体会数学体会数学的的基本思想基本思想和思维方式和思维方式. .三三、小学数学几种常用的数学思想方法、小学数学几种常用的数学思想方法 小学数学中小学数学中蕴涵的数学思想蕴涵的数学思想方法很多方法很多, ,最基本的数学思想方最基本的数学思想方法有转化思想方法、类比思想法有转化思想方法、类比思想方法、数形结合思想方法、模方法、数形结合思想方法、模型思想方法、极限思想方法、型思想方法、极限思想方法、分类思想方法等分类思想方法等. .(一一)从整体上看问题的思想方法从整体上看问题的思想方法 解数学题常常化解数学题常常化“整整”为为“零零”,使问题变得简单使问题变得简单,有利于问题的解决有利于问题的解决,不不过有时则反其道而行之过有时则反其道而行之,需要由需要由“局部局部”到到“整体整体”.站在整体的立场上站在整体的立场上,从问从问题的整体考虑题的整体考虑,综观全局研究问题综观全局研究问题,通过通过研究整体结构研究整体结构,整体形式来把握问题的整体形式来把握问题的本质本质,从中找到解决问题的途径从中找到解决问题的途径. 成语成语“一叶障目一叶障目”和和“只见树木只见树木,不见森林不见森林”的意思是如果过分注意细的意思是如果过分注意细节节,而忽视全面而忽视全面,就不会真正地理解一个就不会真正地理解一个东西东西,解数学题也是这样解数学题也是这样,有时候不能过有时候不能过分拘泥于细节分拘泥于细节,要适时调整视觉要适时调整视觉,注意从注意从整体上看问题整体上看问题,即着眼于问题的全过程即着眼于问题的全过程,抓住其整体的特点抓住其整体的特点,往往能达到化繁为往往能达到化繁为简简,变难为易的目的变难为易的目的,促使问题的解决促使问题的解决. 我国著名数学家苏步青教授我国著名数学家苏步青教授,有一有一次到德国去次到德国去,遇到一位有名的数学家遇到一位有名的数学家,他他在电车上出了一道题让苏教授做在电车上出了一道题让苏教授做,这道这道题目是题目是: 例例1:甲甲、乙两人同时从两地、乙两人同时从两地, ,相向相向而行而行, ,距离是距离是5050千米千米, ,甲每小时走甲每小时走3 3千米千米, ,乙每小时走乙每小时走2 2千米千米, ,甲带着一只狗甲带着一只狗, ,狗狗每小时跑每小时跑5 5千米千米, ,这只狗同甲一起出发这只狗同甲一起出发, ,碰到乙的时候它就掉头往甲这边跑碰到乙的时候它就掉头往甲这边跑, ,碰碰到甲的时候它就掉头往乙这边跑到甲的时候它就掉头往乙这边跑, ,碰到碰到乙的时侯再往甲这边跑乙的时侯再往甲这边跑直到两人相直到两人相遇为止遇为止, ,问这只狗一共跑了多少千米问这只狗一共跑了多少千米? ?着眼于着眼于“狗不断跑狗不断跑”,这个全过程这个全过程,抓住抓住“直直到甲到甲、乙相遇为止、乙相遇为止”,这个整体去分析这个整体去分析,知道知道狗跑的时间就是甲狗跑的时间就是甲、乙两人相遇时间、乙两人相遇时间. .例例2:有甲有甲、乙、丙三种货物、乙、丙三种货物, ,若购若购甲甲3 3件件, ,乙乙7 7件件, ,丙丙1 1件共需件共需315315元元; ;若若购甲购甲4 4件件, ,乙乙1010件件, ,丙丙1 1件共需件共需420420元元, ,问购甲、乙、丙各问购甲、乙、丙各1 1件共需多少元件共需多少元? ?3153-42023-4202例例4.如图一个正方体的木块如图一个正方体的木块,棱长棱长3米米,沿水平方向将它锯成沿水平方向将它锯成4片片,每片锯成每片锯成5长条长条,每条又锯每条又锯成成6小块小块,这样就得到大大小小这样就得到大大小小的长方体的长方体120个个,这这120个的表个的表面积之和是多少平方米面积之和是多少平方米? 例例5. 搬运一个仓库的货物搬运一个仓库的货物,甲需要甲需要10小时小时,乙需要乙需要12小时小时,丙需要丙需要15小时小时,有同样的仓库有同样的仓库A和和B,甲在甲在A仓库仓库,乙在乙在B仓库同时开始搬运货物仓库同时开始搬运货物,丙先帮甲搬运丙先帮甲搬运,中途又转向乙搬运中途又转向乙搬运,最后两个仓库的货最后两个仓库的货物搬完物搬完.问丙帮甲问丙帮甲、乙各搬运几小时、乙各搬运几小时? ? 两个仓库搬完要几小时两个仓库搬完要几小时?帮甲几小时帮甲几小时?例例6.已知两个正方形的面积差为已知两个正方形的面积差为200平平方厘米方厘米,求两圆的环形的面积求两圆的环形的面积?(二二)转化转化(化归化归)的思想方法的思想方法 数学知识是一个整体数学知识是一个整体,它的各部分之它的各部分之间相互联系间相互联系,有时也可以相互转化有时也可以相互转化.转化转化可以将数的一种形式转化为另一种形可以将数的一种形式转化为另一种形式式,一种运算转化为另一种运算一种运算转化为另一种运算,一个关一个关系转化为另一个关系系转化为另一个关系,一个量转化另一一个量转化另一个量个量,一种图形转化另一种或几种图形一种图形转化另一种或几种图形,使一种研究对象在一定条件下转化为使一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象另一种研究对象.为了有利于学生学习为了有利于学生学习和研究和研究,我们注意将新知识转化成学生我们注意将新知识转化成学生已学过的知识已学过的知识,将较为复杂的问题转化成比将较为复杂的问题转化成比较简单的问题较简单的问题.例如例如,把小数乘法的计算转化把小数乘法的计算转化为整数乘法的计算为整数乘法的计算,把分数除法的计算转化把分数除法的计算转化为分数乘法的计算为分数乘法的计算,把不规则图形的面积计把不规则图形的面积计算转化成规则图形的面积计算算转化成规则图形的面积计算.实际上实际上,除了除了长方形的面积计算公式外长方形的面积计算公式外,其它平面图形面其它平面图形面积计算公式的推导积计算公式的推导,我们都是变换原来的平我们都是变换原来的平面图形面图形,帮助学生把对帮助学生把对“新新”图形的认知转图形的认知转化成对化成对“旧旧”图形的改造与提升图形的改造与提升,在在“新新”“旧旧”知识的联系中寻找到解决知识的联系中寻找到解决“新新”知的方知的方法法.研究平行四边形面积的计算时研究平行四边形面积的计算时,我们我们把一个平行四边形把一个平行四边形“剪剪”“拼拼”转化转化成长方形来计算面积成长方形来计算面积;研究三角形研究三角形、梯、梯形面积的计算时形面积的计算时, ,我们把两个相同的三我们把两个相同的三角形、梯形分别拼成一个平行四边形角形、梯形分别拼成一个平行四边形来计算面积来计算面积; ;研究圆面积的计算时我们研究圆面积的计算时我们把一个圆平均分成把一个圆平均分成16,32,64,16,32,64,份份, ,剪剪开拼成一个近似的平行四边形开拼成一个近似的平行四边形, ,由此想由此想象无限分割象无限分割( (极限思想方法极限思想方法),),拼成的图拼成的图形是一个长方形形是一个长方形. .指导思想化圆为方指导思想化圆为方, ,通过有限通过有限分割想象无限分割分割想象无限分割, ,渗透极限渗透极限思想方法思想方法. .这样这样, ,就将原来的图形通过就将原来的图形通过 剪、拼等途径加以剪、拼等途径加以“变形变形”, ,化难为易化难为易例例1.在在18世纪的德国有个世纪的德国有个城市叫做哥尼斯堡城市叫做哥尼斯堡 ,在这个在这个城市中城市中,有一条河叫布勒格有一条河叫布勒格尔河尔河,横横 贯城区贯城区,在这条河在这条河上共架有七座桥上共架有七座桥,一个人要一个人要一次走过这七座桥一次走过这七座桥,但每座但每座只许走一次只许走一次,如何走才能成如何走才能成功呢功呢?例例3.如图已知正方形如图已知正方形ABCD和正方形和正方形CEFG连接连接,且正方形且正方形ABCD的边长为的边长为10厘米厘米,那么图中三角形那么图中三角形BDE面积是多面积是多少平方厘米少平方厘米?解:连接CE,因为BOC的面积与DOE面积相等三角形BDE的面积就是正方形ABCD面积的一半例例4 如图如图,AEF的面积比的面积比DEC的面积的面积大大10.5平方厘米平方厘米,求线段求线段BC的长度的长度?把条件把条件:AEF的面积比的面积比DEC的面积大的面积大10.5平方厘米平方厘米,转化为转化为长方形长方形ABDF的面积比的面积比ABC面积大面积大10.5平方厘米平方厘米.(64-10.5)26例例5 一项工程一项工程,甲甲、乙合作要、乙合作要1212天完成天完成, ,若甲先做若甲先做3 3天后再乙工作天后再乙工作8 8天天, ,共完成共完成这件工作的这件工作的 如果这件工作由甲、乙如果这件工作由甲、乙 单独做各要几天单独做各要几天? ?把甲先做把甲先做3天后再乙工作天后再乙工作8天转化为天转化为甲甲乙合作乙合作3天再由乙做天再由乙做(8-3)天天例例6 甲甲、乙乙、丙、丁四人去买电视机、丙、丁四人去买电视机, ,甲带的钱是另外三人所带总钱数的一甲带的钱是另外三人所带总钱数的一半半, ,乙带的钱是另外三人所带总钱数的乙带的钱是另外三人所带总钱数的 , ,丙带的钱是另外三人所带总钱数的丙带的钱是另外三人所带总钱数的 , ,丁带丁带910910元元, ,四人所带的总钱数是多四人所带的总钱数是多少元少元? ?转化单位转化单位“1”,四人所带的总钱数为单位四人所带的总钱数为单位“1”例例7 甲甲、乙两数是不相等的自然数、乙两数是不相等的自然数, ,甲甲数的数的 与乙数的与乙数的 相等相等, ,那么甲、那么甲、乙两数的和最小是多少乙两数的和最小是多少? ?(三三) 抓不变量的思想方法抓不变量的思想方法 大千世界在不断的变化着大千世界在不断的变化着,既有质既有质的变化的变化,更有量的变化更有量的变化,俗话说俗话说:“万变不万变不离其宗离其宗”,在纷乱多样的变化中在纷乱多样的变化中,往往隐往往隐藏着某种规律藏着某种规律,这就需要透过表面现象这就需要透过表面现象,找出事物变化中保持的规律找出事物变化中保持的规律,从从“万变万变”中揭示出中揭示出“不变不变”的数量关系的数量关系,寻求寻求某种不变性某种不变性,在科学上称为守恒在科学上称为守恒,在数学在数学上就是不变量上就是不变量.例例1 今年今年,祖父的年龄是小明年龄的祖父的年龄是小明年龄的6倍倍,几年后几年后,祖父的年龄是小明年龄的祖父的年龄是小明年龄的5倍倍,又过几年又过几年,祖父的年龄是小明年龄的祖父的年龄是小明年龄的4倍倍,求祖父今年多少岁求祖父今年多少岁?抓住年龄差不变小明今年多少岁?60(6-1)=12(岁)祖父今年多少岁?126=72(岁)例例2 要把要把4千克千克10%的盐水兑换成的盐水兑换成20%的盐水的盐水,请你提供几种方案请你提供几种方案?方案一方案一:加盐加盐 抓住水不变抓住水不变4(1-10%)(1-20%)-4方案二方案二:蒸发水蒸发水抓住盐不变抓住盐不变4-410%20%例例3 某工厂有两个车间某工厂有两个车间,一车间是二车一车间是二车间的间的 ,后来从一车间调后来从一车间调2人到二车间人到二车间,这时一车间是二车间的这时一车间是二车间的 ,一车间原一车间原有多少人有多少人?本题抓住两车间总人数不变本题抓住两车间总人数不变,然后转然后转化关键句化关键句.例例4 某公司的女工占职工总人数的某公司的女工占职工总人数的 ,扩大规模后又招进扩大规模后又招进30名女工名女工,这时女工这时女工占职工总人数的占职工总人数的 ,该公司原有职工多该公司原有职工多少人少人?本题抓住男职工人数不变本题抓住男职工人数不变方法一方法一:方程方程解:设该公司原有职工 人,方法二方法二(四四) 设数法的思想方法设数法的思想方法1.学习假设具体数据分析推导的方法学习假设具体数据分析推导的方法.2.用用“以实代虚以实代虚”的解题策略分析解决的解题策略分析解决实际问题实际问题. 有些数学问题有些数学问题,突出地反映数学本突出地反映数学本身的抽象性身的抽象性,这些问题有的看上去似乎这些问题有的看上去似乎数据不全数据不全,有的甚至没有一个具体的数有的甚至没有一个具体的数据据,可题目却要计算结果可题目却要计算结果,让人为难让人为难,这么这么办办? 用假设具体数据的方法分析推导用假设具体数据的方法分析推导,不仅能使抽象的问题具体化不仅能使抽象的问题具体化,以利于理以利于理解和掌握题中的数量关系解和掌握题中的数量关系,而且因为有而且因为有具体数据具体数据,推算起来更方便推算起来更方便.例例1 甲校学生人数是乙校人数的甲校学生人数是乙校人数的40%,甲校女生人数是本校学生人数的甲校女生人数是本校学生人数的30%,甲校男生是乙校人数的百分之几甲校男生是乙校人数的百分之几?例例2 某商店出售画册某商店出售画册,每出售一册可获每出售一册可获利润利润18元元,售出售出 后后,每册减价每册减价10元出元出售售,全部售完全部售完,共获利共获利3000元元,这个商店这个商店共出售画册多少册共出售画册多少册?5册一组,前2册每册利润18元,后3册每册利润(18-10)元.182+(18-10)3=60(元)3000605=250(册)例例3 一辆汽车一辆汽车,上山每小时行上山每小时行20千米千米,下下山按原路返回山按原路返回,每小时每小时30千米千米,这辆汽车这辆汽车往返平均每小时行多少千米往返平均每小时行多少千米?上下山的平均速度上下山的平均速度=上上、下山的路程、下山的路程上、下山的时间上、下山的时间例例4 小红爸爸每天下午小红爸爸每天下午4:30将车开到将车开到校门口接小红回家校门口接小红回家,今天学校今天学校3:30提前提前放学放学,小红就步行回家小红就步行回家,路上遇到爸爸的路上遇到爸爸的车接她回家车接她回家,结果就比平时早到家结果就比平时早到家30分分钟钟,小红今天步行了多少分钟小红今天步行了多少分钟?例例5 某艺术表演入场券某艺术表演入场券30元一张元一张,若降若降价后观众增加一半价后观众增加一半,而收入增加了而收入增加了 ,某张入场券降为多少元某张入场券降为多少元?例例6 有甲有甲、乙、丙三辆汽车、乙、丙三辆汽车, ,各以一定各以一定的速度从的速度从 A A地开往地开往B B地地, ,乙比丙晚出发乙比丙晚出发1010分钟分钟, ,经过经过4040分钟追上丙分钟追上丙; ;甲比乙晚甲比乙晚出发出发2020分钟分钟, ,经过经过5050分钟追上乙分钟追上乙, ,问甲问甲出发后多少分钟追上丙出发后多少分钟追上丙? ?例例7 直角梯形直角梯形ABCD的中位线的中位线EF长长12厘米厘米,已知三角形已知三角形ABG的面积是梯形面的面积是梯形面积的积的 ,求求EG的长的长?例例8 一根长木棍上画三种刻度线一根长木棍上画三种刻度线,第一第一种将木棍分成十等份种将木棍分成十等份,第二种将木棍分第二种将木棍分成十二等份成十二等份,第三种将木棍分成十五等第三种将木棍分成十五等份份,如果沿着每条刻度线将木棍锯成小如果沿着每条刻度线将木棍锯成小段段,那么一共锯成了多少段那么一共锯成了多少段?例例9 某人现在坐上公交车某人现在坐上公交车,忽然忽然,发现一发现一个小偷向相反方向步行个小偷向相反方向步行,10秒后他下车秒后他下车去追小偷去追小偷,如果其速度比小偷快一倍如果其速度比小偷快一倍,比比汽车速度慢汽车速度慢 , 追上小偷要多少秒追上小偷要多少秒?例例10 一次考试共有一次考试共有5道试题道试题.做错第做错第1、2 2、3 3、4 4、5 5题的人数的题的人数的15%15%、5%5%、10%10%、25%25%、20%,20%,如果做对三题或三题如果做对三题或三题以上为及格以上为及格, ,那么这次考试的及格率至那么这次考试的及格率至少是多少少是多少? ?(五五) 枚举枚举、筛选、分类的思想方法、筛选、分类的思想方法 在解决问题时在解决问题时,把所有可能的情况把所有可能的情况不重复不重复,又不遗漏地一一列举出来又不遗漏地一一列举出来,称为称为枚举枚举.在这个过程中重复的和不合要求在这个过程中重复的和不合要求的要除去的要除去,遗漏的要找回来遗漏的要找回来,称为称为筛选筛选. 分类是以比较为基础分类是以比较为基础,按照数学对按照数学对象本质属性相同点和差异象本质属性相同点和差异,将数学对象将数学对象分为不同的种类分为不同的种类.对数学对象的分类必对数学对象的分类必须科学须科学、统一、统一, ,每一次划分时分类的标每一次划分时分类的标准只能一个准只能一个,不能交叉地使用几个不同不能交叉地使用几个不同的标准的标准,要使分类要使分类既不重复也不遗漏既不重复也不遗漏.例例如如,根据角的大小三角形分为锐角三角根据角的大小三角形分为锐角三角形形、直角三角形、钝角三角形三类、直角三角形、钝角三角形三类. .再再如如, ,非零自然数非零自然数, ,以因数的个数可以分以因数的个数可以分为质数、合数和为质数、合数和1 1三类三类. .是否是是否是2 2的倍数的倍数可以分为奇数和偶数两类可以分为奇数和偶数两类. .通过分类通过分类, ,学生可以体会和理解不同的分类标准学生可以体会和理解不同的分类标准会有不同的分类结果会有不同的分类结果, ,从而产生新的数从而产生新的数学概念和数学知识结构学概念和数学知识结构, ,使所学数学知使所学数学知识条理化识条理化.例例1 今有长度分别为今有长度分别为1厘米厘米、2 2厘米、厘米、3 3厘米、厘米、9 9厘米的木棍各一根厘米的木棍各一根( (规定规定不许折断不许折断),),从中选用若干根组成正方从中选用若干根组成正方形形, ,可以多少种不同的方法可以多少种不同的方法? ?例例2 数数1447,1005,1231,有共同的特有共同的特征征, ,它们都以它们都以1 1开头开头, ,仅含有两个相同的仅含有两个相同的数字数字, ,且都是四位数且都是四位数, ,问具有这样特征问具有这样特征的数共有多少个的数共有多少个? ?例例3 从从1到到400的所有自然数中不含数的所有自然数中不含数字字3的自然数有多少个的自然数有多少个?例例4 十位数字大于个位数字的两位数十位数字大于个位数字的两位数共有多少个共有多少个?例例5 数一数图中共有多少个三角形数一数图中共有多少个三角形?例例6 数一数图中共有多少个三角形数一数图中共有多少个三角形?(六六) 类比的思想方法类比的思想方法 在解题时在解题时,如果发现要解决的问题如果发现要解决的问题与一个已知解决问题相似与一个已知解决问题相似,我们就可以我们就可以按照已经解决过的办法按照已经解决过的办法,来解决所要求来解决所要求的新问题的新问题.这种通过两个对象的类似之这种通过两个对象的类似之处的比较处的比较,从而推出它们的其它方面也从而推出它们的其它方面也可能有类似之处的推理方法叫做类比可能有类似之处的推理方法叫做类比的思想方法的思想方法. 类比的思想方法是一种重要的思类比的思想方法是一种重要的思考方法考方法,在小学数学中有着广泛的应用在小学数学中有着广泛的应用.例如在学习例如在学习“比的基本性质比的基本性质”时时,可以可以从除法从除法、分数的基本性质出发、分数的基本性质出发, ,通过类通过类比而得到比的基本性质比而得到比的基本性质; ;又如在解答钟又如在解答钟表问题时可以与环形跑道问题类比表问题时可以与环形跑道问题类比. .例例1 61 6点钟点钟, ,分针和时针在一条直线上分针和时针在一条直线上, ,至少经过多少时间至少经过多少时间, ,两针正好重合两针正好重合? ?例例2 王叔叔有一只手表王叔叔有一只手表,他发现手表比他发现手表比家里的闹钟每小时快家里的闹钟每小时快30秒秒,而闹钟却比而闹钟却比标准时间慢标准时间慢30秒秒,那么王叔叔的手表一那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒昼夜比标准时间差多少秒?例例3 大雪后的一天大雪后的一天,小明和爸爸共同步小明和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长测一个圆形花圃的周长,他俩的起点和他俩的起点和走的方向完全相同走的方向完全相同,小明每步长小明每步长54厘米厘米,爸爸每步长爸爸每步长72厘米厘米,由于两人脚印有重由于两人脚印有重合合,所以雪地上留下了所以雪地上留下了60个脚印个脚印,求这个求这个花圃的周长是多少米花圃的周长是多少米?例例4 一列快车由甲城开往乙城需要一列快车由甲城开往乙城需要8小小时时,一列慢车由乙城开往甲城需要一列慢车由乙城开往甲城需要12小小时时.两车同时从两城开出两车同时从两城开出,相遇时快车比相遇时快车比慢车多行慢车多行19.2千米千米,求两城相距多少千求两城相距多少千米米?(七七) 数形结合的思想方法数形结合的思想方法 数学是研究数量关系和空间形式数学是研究数量关系和空间形式的科学的科学,数形结合就是根据数量与图形数形结合就是根据数量与图形之间的关系之间的关系,借助借助“形形”的直观来表达的直观来表达数量关系数量关系,应用应用“数数”来刻画研究形来刻画研究形,把把抽象的数学语言抽象的数学语言、数量关系与直观的、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来考虑几何图形、位置关系结合起来考虑, ,通通过过“以形助数以形助数”或或“以数助形以数助形”使抽使抽象思维与形象思维结合起来象思维与形象思维结合起来, ,将复杂将复杂问题简单化问题简单化,抽象问题具体化抽象问题具体化,达到解决达到解决问题的目的问题的目的.根据知识的特点和小学生根据知识的特点和小学生的思维发展水平的思维发展水平,我们主要通过线段图我们主要通过线段图、长方形面积图、树形图等长方形面积图、树形图等, ,把一定的数把一定的数量关系形象直观表达出来量关系形象直观表达出来, ,帮助学生从帮助学生从图形的直观特征中发现数量之间存在图形的直观特征中发现数量之间存在的联系的联系, ,以形助数来化隐为显以形助数来化隐为显, ,化难为化难为易易. .例例1 (a+b)c=ac+bc例例2 计算计算:例例3 某城市东西路与南北路交汇路口某城市东西路与南北路交汇路口A南边南边560米处的米处的B点点,乙在路口乙在路口A,甲向北甲向北,乙向东同时均速行走乙向东同时均速行走,4分钟后两人距分钟后两人距A的距离相等的距离相等,再继续行走再继续行走24分钟分钟,两人距两人距A地距离恰好相等地距离恰好相等.问甲问甲、乙两人的速、乙两人的速度各是多少度各是多少? ?例例4 甲甲、乙两人在河中先后从同一地、乙两人在河中先后从同一地方同速同向游动方同速同向游动, ,现在甲位于乙的前方现在甲位于乙的前方, ,乙距起点乙距起点2020米米; ;当乙游到甲现在的位当乙游到甲现在的位置时置时, ,甲已离起点甲已离起点9898米米, ,问问: :甲现在离起甲现在离起点点( )( )米米. .例例5 两名男女运动员在长两名男女运动员在长110米斜坡上米斜坡上练习跑步练习跑步,两人同时从坡顶出发两人同时从坡顶出发,在在A、B B之间不停地往返奔跑之间不停地往返奔跑(B(B为坡底为坡底),),如果如果男运动员上坡速度是每秒男运动员上坡速度是每秒3 3米米, ,下坡速下坡速度是每秒度是每秒5 5米米, ,女运动员上坡速度是每女运动员上坡速度是每秒秒2 2米米, ,下坡速度是每秒下坡速度是每秒3 3米米, ,两人第二两人第二次迎面相遇的地点离坡顶次迎面相遇的地点离坡顶A A多少米多少米? ?(八八) 模型的思想方法模型的思想方法 模型思想模型思想的建立是学生体会和理解的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径数学与外部世界联系的基本途径.建立建立和求解模型的过程包括和求解模型的过程包括:从现实生活或从现实生活或具体情境中抽象出数学问题具体情境中抽象出数学问题,用数学符用数学符号建立方程号建立方程、不等式、函数等表示数、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律学问题中的数量关系和变化规律, ,求出求出结果并讨论结果的意义结果并讨论结果的意义, ,提高学习数学提高学习数学的兴趣和应用意识的兴趣和应用意识. .例例1 恰好有恰好有6个因数的两位数共有个因数的两位数共有( )个个.例例2 有一牧区长满牧草有一牧区长满牧草,每天牧草均速每天牧草均速生长生长,这牧区的草可供这牧区的草可供27头牛食用头牛食用6周周;供供23头牛食用头牛食用9周周.问供问供21头牛食用几头牛食用几周周?(九九) 极限的思想方法极限的思想方法 极限思想极限思想是微积分的基本思想是微积分的基本思想.所所谓极限思想是用联系变动的观点谓极限思想是用联系变动的观点,把所把所考察的对象看作是某对象在无限变化考察的对象看作是某对象在无限变化过程中变化结果的思想过程中变化结果的思想.它来源于对过它来源于对过程无限变化的考察程无限变化的考察,而这种考察总是与而这种考察总是与某一特定的某一特定的、有限的、暂时的结果有、有限的、暂时的结果有关关. .因此因此, ,它体现了它体现了“从有限中找到无从有限中找到无限限, ,从暂时中找到永久从暂时中找到永久, ,并且使之确立并且使之确立起来的一种辩证思想起来的一种辩证思想.纵观微积分的全纵观微积分的全步内容步内容,极限思想极限思想、方法极其理论贯穿、方法极其理论贯穿始终始终, ,是微积分的基础是微积分的基础. .现行小学教材现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透中有许多处注意了极限思想的渗透. .在在“自然数自然数”“”“奇数、偶数奇数、偶数”这些概念这些概念教学时教学时, ,教师可让学生体会自然数是数教师可让学生体会自然数是数不完的不完的, ,奇数、偶数的个数有无限个奇数、偶数的个数有无限个, ,让学生初步体会让学生初步体会“无限无限”思想思想; ;在直线、在直线、射线、平行线的教学时射线、平行线的教学时, ,可让学生体会可让学生体会线的两端是可以无限延长的线的两端是可以无限延长的. .例例1 圆面积公式推导圆面积公式推导.例例2 比较比较1和和 的大小的大小.(十十) “退退”到基本处想的思想方法到基本处想的思想方法1. 学习把原题学习把原题“退退”到基本处到基本处,从中找从中找到解题规律的策略到解题规律的策略.2. 运用运用“退退”的解题策略分析的解题策略分析,解答实解答实际问题际问题. 有些数学问题有些数学问题,看上去非常繁杂看上去非常繁杂,或或是数据庞大是数据庞大,让人眼花缭乱让人眼花缭乱;或步骤太多或步骤太多,让人找不着边际让人找不着边际;或是数量关系隐蔽或是数量关系隐蔽,让人无从下手让人无从下手怎样分析怎样分析, ,解答这类繁解答这类繁难的问题呢难的问题呢?我们常常采用我们常常采用“退退”的策的策略略,“退退”到最基本处到最基本处,从中寻找解题的规从中寻找解题的规律律.这里所说的这里所说的“退退”就是一种把原来就是一种把原来的题目的题目“简缩简缩”成为一个很简单但又成为一个很简单但又不失其本质不失其本质,且基本形式不变的问题且基本形式不变的问题,使使数据大大减少数据大大减少,步骤缩到原始的几步步骤缩到原始的几步,也也就较为容易地发现规律就较为容易地发现规律,解决原题的策解决原题的策略略.例例1.在在101010的方格中的方格中, ,画一条直线画一条直线最多可穿过最多可穿过( )( )个方格个方格. .例例2 小红每分钟吹一次肥皂泡小红每分钟吹一次肥皂泡,每次恰每次恰好吹出好吹出100个个,肥皂泡吹出后肥皂泡吹出后,经过一分经过一分钟有钟有50个破了个破了,经过两分钟还有经过两分钟还有5个没个没有破有破,经过两分钟半肥皂泡全破了经过两分钟半肥皂泡全破了,小红小红在第在第20次吹出次吹出100个新肥皂泡的时候个新肥皂泡的时候,没有破的肥皂泡有没有破的肥皂泡有( )个个.例例3 在一张纸上画在一张纸上画100条直线条直线,这些这些直线最多把这张纸分成多少块直线最多把这张纸分成多少块? 例例4 正方形正方形ABCD的内部有的内部有200个点个点,以以正方形的正方形的4个顶点和内部的个顶点和内部的200个点为个点为顶点顶点,将它剪成三角形将它剪成三角形.问一共可以剪成问一共可以剪成多少个三角形多少个三角形?共需剪多少刀共需剪多少刀?(十一十一) 有序思考的思想方法有序思考的思想方法 按照一定顺序去观察按照一定顺序去观察,分析和思考分析和思考,我们称之谓我们称之谓“有序思考有序思考”的思想方法的思想方法.这里所说的序这里所说的序,是根据题目的特点而总是根据题目的特点而总结结,概括后序概括后序,或先后或先后、大小、或远近、大小、或远近、或内外等或内外等. .如果不能牢牢地把握住如果不能牢牢地把握住“序序”, ,要是遇到较复杂的难题要是遇到较复杂的难题, ,观察、分观察、分析和思考都将失去章法析和思考都将失去章法, ,就会造成重重就会造成重重困难困难, ,甚至无从下手了甚至无从下手了. . 有序思考既是一种良好的思维习惯有序思考既是一种良好的思维习惯,同时更是一种科学的思维方法同时更是一种科学的思维方法.例例1 用用48个棱长个棱长1厘米的小正方体厘米的小正方体,摆成形状不同的一个大长方体摆成形状不同的一个大长方体,一共一共有多少种不同摆法有多少种不同摆法?其中表面积最其中表面积最小的是多少平方厘米小的是多少平方厘米?(十二十二) 杂题杂题例例1 如图如图,在半径在半径12厘米的圆中厘米的圆中,有两条有两条互相垂直线段互相垂直线段,圆圆 分成分成A、B B两部分两部分, ,圆圆心到这两条线段的距离分别是心到这两条线段的距离分别是3 3厘米、厘米、6 6厘米厘米, ,那么那么A A与与B B的面积相差多少平方的面积相差多少平方厘米厘米? ?对称原理对称原理(62)(32)=72(2)(32)=72(平方厘平方厘米米) ) 例例2 骑车人以每分钟骑车人以每分钟300米的速度米的速度,从从102路电路电 车始发站出发车始发站出发,沿沿102路电车路电车线路前进线路前进,骑车人离开出发地骑车人离开出发地2100米时米时,一辆一辆102路电车开出了始发站路电车开出了始发站,这辆电这辆电车每分钟行车每分钟行500米米,行行5分钟到达一站停分钟到达一站停车车1分钟分钟,那么需要多少分钟电车追上骑那么需要多少分钟电车追上骑人人?列表法列表法汽车汽车5分钟追上骑车人多少米分钟追上骑车人多少米?(500-300)5=1000(5=1000(米米) ) 时间时间相距相距开始开始2100511005+1=614006+5=1140011+1=12700例例3 两个运动员在长两个运动员在长30米的游泳池里米的游泳池里来回游泳来回游泳,甲的速度是每秒甲的速度是每秒1米米,乙的速乙的速度是每秒度是每秒0.6米米,如果他们同时从游泳池如果他们同时从游泳池的两端出发的两端出发,来回共游来回共游10分钟分钟,且不计算且不计算转身时间转身时间,那么一共相遇多少次那么一共相遇多少次?时间运行图时间运行图例例4 放缩法放缩法例例5 如图如图,正方形正方形ABCD的边长是的边长是10厘厘米米,E、F分别是分别是CD、BC的中点的中点,求四边求四边形形CEFG的面积的面积?旋转法旋转法