第二章 四、考点分析四、考点分析五、历年试题解析五、历年试题解析 一、考试基本要求一、考试基本要求第三节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学(一)(27)二、知识点与考点二、知识点与考点 三、历年试题分类统计及考点分布三、历年试题分类统计及考点分布 1.理解原函数的概念,的性质及定积分中值定理,分法.3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、考试基本要求一、考试基本要求积分.2.掌握不定积分的基本公式, 掌握不定积分和定积分掌握换元积分法和分部积4.理解积分上限的函数,会求它的导数,理解不定积分和定积分的概念.掌握牛顿莱布尼兹公式.5.了解反常积分的概念,会计算反常积分.6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量引力、机动 目录 上页 下页 返回 结束 及侧面积、(平面图形的面积、 平面曲线的弧长、 旋转体的体积平行截面面积为已知的立体体积、 功、压力、 质心、 形心等)及函数的平均值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、知识点与考点二、知识点与考点(一一)不定积不定积分分若1.原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义:有则称F(x)为f (x)在区间 I 上的一个原原设函数 f (x)在区间 I 内有定义,函数函数.称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分不定积分, 记为f (x)在区间I 上的全体原函数 F (x) + c ,2. 不定积分的性质不定积分的性质:(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1).4.基本积分公式基本积分公式(2)(互逆运算)(1)3.不定积分与微分的关系不定积分与微分的关系(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).机动 目录 上页 下页 返回 结束 (9).(10).(11).(12).(13).(14).(15).(16).(17).(18).(19).(20).(21).(22).5.基本积分法基本积分法:(1).直接积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2).换元积分法第一类换元积分法(凑微分法)常用凑微分公式:第二类换元积分法(变量代换法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (正弦代换)(正切代换)(正割代换)(根式代换)三角代换令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 万能代换:积分步骤:凑微分选 u , v ;(3) 分部积分法代公式;算微分 ;求积分.例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 (4) 有理函数的积分有理函数:时,为真分式真分式;时,为假分式假分式 .利用多项式综合除法, 总可以将一个假分式化为一个多项式与一个真分 式之和的形式 . 例如: _ _ 任何有理真分式通过部分分式均可化为下列四种类型:(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中有理真分式的积分(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3)(需用递推公式计算,不作要求)(4)注注:但计算相当复杂.解题时应寻求更为简便的方法,如凑微分法、倒代换法等,有理函数虽然一定可积,尽量避免使用一般方法.1.定积分的定义定积分的定义:机动 目录 上页 下页 返回 结束 (二二) 定积定积分分(七条性质二条推论)2.定积分的几何意义定积分的几何意义:3.定积分的性质定积分的性质:曲边梯形面积的代数和.(1)(2)(3)则有(4)则有(5)则有推论1.则机动 目录 上页 下页 返回 结束 (6). (定积分估值定理)若 M 和 m 分别是 f (x) 在a , b上的最大值和最小值,则有: (7).(定积分中值定理)若f (x) 是a , b上的连续函数,则在a , b上至少存在一点 , 使等式推论2.成立.并称为f (x)在a ,b区间上的平均值.补充规定:(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 定积分计算法定积分计算法(1)牛顿-莱布尼兹公式(2) 当a = b 时,(2) 定积分换元积分法(3) (3).定积分分部积分法5.重要公式重要公式(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)若f (x)为a , a上的奇函数,则若f (x)为a , a上的偶函数,则(3)n为奇数n为偶数注意注意:余弦函数无此性质!(4) 若f (x)是周期为T的周期函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 a为任意实数,( (三三) ) 广义广义( (反常反常) )积分积分2. 无界函数的广义积分无界函数的广义积分则1. .无穷区间的广义积分无穷区间的广义积分则有:则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用:(1). 平面图形的面积平面图形的面积则有(四四) 定积分的应用定积分的应用 直角坐标1.定积分微元法定积分微元法若整体量U在区间a , b上具有可加性,即有而局部量 U du = f (x) dx则机动 目录 上页 下页 返回 结束 起点x = a 对应参数 t = 按顺时针方向决定起点与终点.参数方程极坐标终点x = b 对应参数 t = (2)旋转体的体旋转体的体积积机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3)平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长元素(弧微分)机动 目录 上页 下页 返回 结束 若曲线方程为y = f (x) , 则有则有 直角坐标若曲线方程为x = (y) , 参数方程若曲线方程为参数方程 则有极坐标则有3. 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的作用下(1) 变力作功变力作功 设物体在变力从点 a 沿直线移动到点b,(如图示)则在此过程中变力所作的功为:(力的大小改变方向不变)若变力函数 F (x) 不易确定,也可用微元分析法直接若曲线方程为极坐标方程 确定功的微元dW.注注:(2) 水压力水压力机动 目录 上页 下页 返回 结束 窄条的压力微元压强窄条面积则薄板受到的侧压力为其中 为水的比重.(3) 引引力力小段细棒的引力微元由于对称性年份机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、历年试题分类统计及考点分布三、历年试题分类统计及考点分布考点分值定积分应用几何积分中值定理物理87888990919293949596979833+3337365合计93125141338123变上限积分不定积分计算 定积分计算3+333148+3355555156定积分性质3+63+69机动 目录 上页 下页 返回 结束 年份分值考点99000102030405060708合计3合计984612668271033161631034206118415434431074不定积分计算定积分计算变上限积分定积分应用几何 物理定积分性质积分中值定理10102190944四、考点分析四、考点分析:1.不定积分,2.不定积分与定积分计算(主要是换元法和分部法).机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.定积分在几何和物理中的应用(主要是几何应用).6.反常积分的概念及其计算.3.变上限积分及其导数.原函数和定积分的定义.5.定积分性质及积分中值定理.本部分的重点是本部分的重点是:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.关于变上限积分的题:求导,求极限等.3.关于积分中值定理和积分性质的证明题.4.定积分应用题:计算面积、旋转体体积、平面曲线1.计算题:计算不定积分、定积分及反常积分.本部分常见题型本部分常见题型弧长、旋转体面积、压力、引力、变力作功等.