1.1.1 1.1.1 等腰三角形等腰三角形第一章第一章 三角形的证明三角形的证明证明一个命题的一般步骤证明一个命题的一般步骤: :(1)(1)弄清题设和结论；弄清题设和结论； (2)(2)根据题意画出相应的图形；根据题意画出相应的图形；(3)(3)根据题设和结论写出已知和求证；根据题设和结论写出已知和求证； (4)(4)分析证明思路分析证明思路, ,写出证明过程。写出证明过程。三角形全等判定公理：三角形全等判定公理：1.1.三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等 （）。（）。2.2.两边及其夹角对应相等的两个三角形两边及其夹角对应相等的两个三角形 全等全等(SAS)(SAS)。3.3.两角及其夹边对应相等的两个三角形两角及其夹边对应相等的两个三角形 全等全等(ASA)(ASA)。性质公理：性质公理： 全等三角形的对应边、对应角相等。全等三角形的对应边、对应角相等。你能用上面的公理证明下面的命题吗？你能用上面的公理证明下面的命题吗？ 两角及其中一角的对应边相等的两两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等个三角形全等(AAS)(AAS)证明证明: : A=A,C=CA=A,C=C（已知）（已知）B=BB=B（三角形内角和定理）（三角形内角和定理） 在在ABCABC与与ABCABC中中 A=A A=A （已知）（已知）, , AB=ABAB=AB（已知）（已知）, , B=B B=B （已证）（已证）, , ABCABCABCABC（ASAASA）. .ABCABC 已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC和和ABCABC中中, , A=A, C=C, AB=AB.A=A, C=C, AB=AB.求证求证:ABCABC.:ABCABC.如图如图: :已知在已知在ABCABC和和DEF DEF 中中AC=DF,AB=DE,C=F=100,AC=DF,AB=DE,C=F=100,则则ABCABC和和DEFDEF会全等吗会全等吗? ?若能请证明若能请证明; ;若不能请说明理由若不能请说明理由. .A AB BC CD DE EF F其它条件不变若其它条件不变若B=E=70B=E=70议一议：议一议：定理定理: : 两角分别相等且其中一组等两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全角的对边相等的两个三角形全等（等（AASAAS）. .在在ABCABC与与ABCABC中中A=A A=A C=C C=C AB=AB AB=AB ABCABCABCABC（AASAAS）. .A AB BC CAABBCCw证明后的结论证明后的结论, ,以后可以直接运用以后可以直接运用. . 你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? ?推论推论: :等腰三角形顶角的平分线等腰三角形顶角的平分线, ,底边上的中线底边上的中线 底底边上的高互相重合边上的高互相重合( (三线合一三线合一).).你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗? ?定理定理: :等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等. .性质性质1( (等边对等角等边对等角) )等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。A AB BC CD D已知：已知：ABCABC中，中，AB=ACAB=AC求证：求证：B=B= C C想一想：想一想： 如何证明两个角相等？如何证明两个角相等？ 议一议：议一议：如何构造两个全等的三角形？如何构造两个全等的三角形？已知：已知： 如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC.求证：求证： B= B= C.C.A AB BC CD D证明：证明： 作底边的中线作底边的中线ADAD， 则则BD=CDBD=CDAB=AC ( AB=AC ( 已知已知 ) )BD=CD ( BD=CD ( 已作已作 ) )AD=AD (AD=AD (公共边公共边) ) BAD CAD (SSS).BAD CAD (SSS). B= C (B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).).在在BADBAD和和CADCAD中中方法一：作底边上的中线方法一：作底边上的中线已知：已知： 如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC.求证：求证： B= B= C.C.ABCD D证明：证明： 作顶角的平分线作顶角的平分线ADAD，则则1=21=2AB=AC ( AB=AC ( 已知已知 ) )1=2 ( 1=2 ( 已作已作 ) )AD=AD (AD=AD (公共边公共边) ) BAD CAD (SAS).BAD CAD (SAS). B= C (B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).).方法二：作顶角的平分线方法二：作顶角的平分线在在BADBAD和和CADCAD中中1 12 2已知：已知： 如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC.求证：求证： B= B= C.C.ABCD D证明：证明： 作底边的高线作底边的高线ADAD，则，则BDA=CDA=90BDA=CDA=90AB=AC ( AB=AC ( 已知已知 ) )AD=AD (AD=AD (公共边公共边) ) RtBAD RtCAD (HL).RtBAD RtCAD (HL). B= C (B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).).方法三：作底边的高方法三：作底边的高线线在在RtBADRtBAD和和RtCADRtCAD中中定理定理: :等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等( (等边对等角等边对等角).).ACB如图如图, ,在在ABCABC中中, , AB=AC(AB=AC(已知已知),),B=C(B=C(等边对等角等边对等角).).证明后的结论证明后的结论, ,以后可以直接运用以后可以直接运用. . 思考：思考： 由由BAD CADBAD CAD，除了可以得到，除了可以得到 B= CB= C之外，你还可以得到那些之外，你还可以得到那些 相等的线段和相等的角？和你的同伴相等的线段和相等的角？和你的同伴 交流一下，看看你有什么新的发现？交流一下，看看你有什么新的发现？ ACBD12AB=AC, 1=2(AB=AC, 1=2(已知已知).).BD=CD,ADBCBD=CD,ADBC（等腰三角形等腰三角形三线合一）三线合一）. .AB=AC, BD=CD (AB=AC, BD=CD (已知已知).).1=2,ADBC1=2,ADBC（等腰三角形等腰三角形三线合一三线合一）AB=AC, ADBC(AB=AC, ADBC(已知已知).).BD=CD, 1=2BD=CD, 1=2（等腰三角形等腰三角形三线合一）三线合一）综上可得：综上可得：如图如图, ,在在ABCABC中中, , （1 1）如果等腰三角形的一个底角为）如果等腰三角形的一个底角为5050， 则其余两个角为则其余两个角为_ _和和_（2 2）如果等腰三角形的顶角为）如果等腰三角形的顶角为8080，则它的，则它的 一个底角为一个底角为_505080805050（3 3）如果等腰三角形的一个角为）如果等腰三角形的一个角为8080，则其，则其余两个角为余两个角为_8080和和2020（4 4）如果等腰三角形的一个角为）如果等腰三角形的一个角为100100，则，则其余两个角为其余两个角为_4040和和4040或或5050和和50 50 根据等腰三角形的性质根据等腰三角形的性质, , 在在ABCABC中，中， AB=ACAB=AC时，时， (1) (1) ADBC，_ = _，_= _. (2) (2) AD是中线，是中线，_ _ ，_ =_._ =_.(3) (3) AD是角平分线，是角平分线，_ _ ，_ =_.ABCDBADCADCADBDCDADBCBDBADBCADCD1 1（江西）已知等腰三角形的两条边长分别（江西）已知等腰三角形的两条边长分别是是7 7和和3 3，则下列四个数中，第三条边的长是，则下列四个数中，第三条边的长是( ( ) )A A 8 B8 B 7 C7 C 4 D4 D 3 32 2( (宁波宁波) ) 如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=36A=36，BDBD、CECE分别是分别是ABCABC、BCDBCD的角的角平分线，则图中的等腰三角形有（平分线，则图中的等腰三角形有（ ） 个个 个个 个个 个个 A AB B3.3.如图如图, ,在三角形在三角形ABDABD中中,C,C是是BDBD上的一点上的一点, ,且且ACAC垂直垂直BD,AC=BC=CD.BD,AC=BC=CD.(1) (1) 求证求证:ABD:ABD是等腰三角形是等腰三角形(2)(2)求求ABDABD的度数的度数A AB BC CD D4.4.将下面证明中每一步的理由写在括号内将下面证明中每一步的理由写在括号内: :已知已知: :如图如图,AB=CD,AD=CB.,AB=CD,AD=CB.求证求证:A=C.:A=C.证明证明: :连接连接BD,BD,在在BADBAD和和DCBDCB中中, , AB=CD( )AB=CD( ) AD=CB( )AD=CB( ) BD=DB( )BD=DB( ) BAD DCB( )BAD DCB( ) :A=C ( ):A=C ( )A AB BC CD D5.5.已知已知: :如图如图, ,点点B,E,B,E,C,FC,F在同一条直线上在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证求证:A=D:A=DA AB BC CD DE EF F等腰三角形的性质：等腰三角形的性质： 性质性质1 1 等腰三角形的两个底角相等（简写成等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角等边对等角”） 性质性质2 2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（中线、底边上的高互相重合（ “ “三线合一三线合一”）即：等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底即：等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底边边等腰三角形等腰三角形第一章第一章 三角形的证明三角形的证明3 3等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为6060，则这个等腰三角形的顶角为（则这个等腰三角形的顶角为（ ）A A30 B30 B150 C150 C3030或或150 D150 D1201201 1ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=70A=70，则，则B=_ B=_ 2 2等腰三角形一底角的外角为等腰三角形一底角的外角为105105，那么它的顶，那么它的顶角为角为_度度 C C5555 3030 在等腰三角形中作出一些线段在等腰三角形中作出一些线段( (如角平如角平分线、中线、高等分线、中线、高等) )，你能发现其中一些，你能发现其中一些相等的线段吗相等的线段吗? ? 你能证明你的结论吗你能证明你的结论吗? ? 作图观察作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角我们可以发现：等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等 我们知道，观察或度量是不够的，感觉不我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠这就需要以公理和已证明的定理为基础可靠这就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信它它 下面我们就来证明上面提到的线段中的一下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰三角形两底角的平分线相等种：等腰三角形两底角的平分线相等已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中， AB=ACAB=AC，BDBD、CECE是是ABCABC的角平分线的角平分线例例1. 1. 证明证明: : 等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等. .求证：求证：BD=CEBD=CEA AB BC CE ED D1 12 2证明：证明：AB=ACAB=AC， ABC=ACB(ABC=ACB(等边对等角等边对等角) ) 1= ABC1= ABC，2= ACB2= ACB， 1=21=2 在在BDCBDC和和CEBCEB中，中， ACB=ABCACB=ABC，BC=CBBC=CB，1=21=2 BDCCEB(ASA)BDCCEB(ASA) BD=CE(BD=CE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )证法二证法二A AB BC CE ED D3 34 4证明：证明：AB=ACAB=AC，ABC=ACBABC=ACB 3= ABC3= ABC，4= ACB4= ACB 3=43=4 在在ABDABD和和ACEACE中，中， 3=43=4，AB=ACAB=AC，A=AA=A ABDACE(ASA)ABDACE(ASA) BD=CE(BD=CE(全等三角形的对应边全等三角形的对应边相等相等) )已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中， AB=ACAB=AC，BDBD、CECE是是ABCABC的高的高1. 1. 证明证明: : 等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等. .求证：求证：BD=CEBD=CEE ED DC CB BA A 分析：要证分析：要证BD=CEBD=CE，就需证，就需证BDBD和和CECE所在的所在的两个三角形的全等两个三角形的全等我能行我能行已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中， AB=ACAB=AC，BDBD、CECE是是ABCABC的中线的中线2. 2. 证明证明: : 等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等. .求证：求证：BD=CEBD=CEEDCBA 分析：要证分析：要证BD=CEBD=CE，就需证，就需证BDBD和和CECE所在的所在的两个三角形的全等两个三角形的全等 上面，我们只是发现并证明了等腰三角上面，我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段形中比较特殊的线段( (角平分线、中线、高角平分线、中线、高) )相等，还有其他的结论吗相等，还有其他的结论吗? ?你能从上述证你能从上述证明的过程中得到什么启示明的过程中得到什么启示? ? 把腰二等分的线段相等，把底角二等分把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线段相等如果是三等分、四等分的线段相等如果是三等分、四等分结果如何呢结果如何呢? ?议一议议一议1 1在等腰三角形在等腰三角形ABCABC中，中，(1)(1)如果如果ABD= ABCABD= ABC，ACE= ACBACE= ACB，那么，那么BD=CEBD=CE吗吗? ? 如果如果ABD= ABCABD= ABC，ACE= ACBACE= ACB呢呢? ?由由此，你能得到一个什么结论此，你能得到一个什么结论? ?议一议议一议1 1在等腰三角形在等腰三角形ABCABC中，中，(2)(2)如果如果AD= ACAD= AC，AE= ABAE= AB，那么，那么BD=CEBD=CE吗吗? ? 如果如果AD= ACAD= AC，AE= ABAE= AB呢呢 ? ? 由此你得到什么结论由此你得到什么结论? ?1.1.在在ABCABC中，如果中，如果AB=ACAB=AC，ABD= ABCABD= ABC， ACE= ACBACE= ACB，那么，那么BD=CE.BD=CE.2.2.在在ABCABC中，如果中，如果AB=ACAB=AC，AD= ACAD= AC，AE= ABAE= AB， 那么那么BD=CE.BD=CE. 简述为：简述为： 1.1.在在ABCABC中，如果中，如果AB=ACAB=AC，ABD=ACEABD=ACE，那么，那么BD=CE.BD=CE. 2. 2.在在ABCABC中，如果中，如果AB=ACAB=AC，AD=AEAD=AE，那么，那么BD=CE.BD=CE.已知：在已知：在ABCABC中中,AB=AC=BC,AB=AC=BC,求证求证:A=B=C=60:A=B=C=60证明：证明：想一想想一想A AB BC CAB=AAB=AC CB=C(B=C(等边对等角）等边对等角）又又AC=BCAC=BCA=B(A=B(等边对等角）等边对等角）A=B=A=B=C C在在ABCABC中中, , A+B+A+B+C=180C=180A=B=A=B=C=60C=60。定理：等边三角形的三个内角都相等，并定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于且每个角都等于6060 等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征？角形的内角有什么特征？已知：在已知：在ABCABC中中,AB=AC=BC,AB=AC=BC,求证求证:A=B=C=60:A=B=C=60证明：证明：想一想想一想结论结论: :等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等. .结论结论: :等腰三角形两腰的高线、中线分别相等等腰三角形两腰的高线、中线分别相等. .定理：等边三角形的三个内角都相等，定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于并且每个角都等于60601.1.求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数。求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数。2.2.证明证明: : 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半等于顶角的一半. .3.3.如图，在如图，在ABCABC中，中，D D、E E是是BCBC的三等分点，的三等分点， 且且ADEADE是等边三角形，求是等边三角形，求BACBAC的度数。的度数。A AB BD DE EC C1.1.3 1.1.3 等腰三角形等腰三角形第一章第一章 三角形的证明三角形的证明等腰三角形有哪些性质？等腰三角形有哪些性质？1. 1.等腰三角形的两底角相等等腰三角形的两底角相等（简写成（简写成 “ “等边对等角等边对等角”） ABCAB=ACAB=ACAB=ACAB=AC（已知）（已知）（已知）（已知）B=CB=CB=CB=C（等边对等角）（等边对等角）（等边对等角）（等边对等角） 2. 2.等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（底边上的高互相重合（ 简写成简写成“三线合一三线合一” ” ）A AB BC CD DAB=ACAB=ACAB=ACAB=AC，BD=CDBD=CDBD=CDBD=CD（已知）（已知）（已知）（已知）BAD=CADBAD=CADBAD=CADBAD=CAD， ADBCADBCADBCADBC（三线合一）（三线合一）（三线合一）（三线合一）AB=ACAB=ACAB=ACAB=AC，BAD=CAD BAD=CAD BAD=CAD BAD=CAD （已知）（已知）（已知）（已知） BD=CD BD=CD BD=CD BD=CD ，ADBCADBCADBCADBC（三线合一）（三线合一）（三线合一）（三线合一）AB=ACAB=ACAB=ACAB=AC， ADBC ADBC ADBC ADBC （已知）（已知）（已知）（已知） BD=CD BD=CD BD=CD BD=CD ，BAD=CAD BAD=CAD BAD=CAD BAD=CAD （三线合一）（三线合一）（三线合一）（三线合一） 前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? ?已知：在已知：在ABCABC中，中，B=CB=C，求证：求证：AB=ACAB=AC 分析：只要构造两个全等的三角分析：只要构造两个全等的三角形，使形，使ABAB与与ACAC成为对应边就可以了成为对应边就可以了. . 比如作比如作BCBC的中线，或作角的中线，或作角A A的平分线，的平分线，或作或作BCBC上的高，都可以把上的高，都可以把ABCABC分成分成两个全等的三角形两个全等的三角形 ABC定理：有两个角相等的三角形是等定理：有两个角相等的三角形是等 腰三角形腰三角形.(.(等角对等边等角对等边.).)等腰三角形的判定定理：等腰三角形的判定定理：例例2 2 已知：如图，已知：如图，AB=DC,BD=CA,AB=DC,BD=CA,求证：求证：AEDAED是等腰三角形。是等腰三角形。A AB BC CD DE E证明：证明：AB=DC,BD=CA,AD=DA,AB=DC,BD=CA,AD=DA,ABDDCA(SSS)ABDDCA(SSS)ADB=ADB=DAC(DAC(全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等）AE=DE(AE=DE(等角对等边）等角对等边） AEDAED是等腰三角形。是等腰三角形。想一想想一想 小明说，在一个三角形中，如果两个角小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等不相等，那么这两个角所对的边也不相等你认为这个结论成立吗你认为这个结论成立吗? ?如果成立，你能证明如果成立，你能证明它吗它吗? ?在在在在ABCABCABCABC中中中中, , , , 如果如果如果如果BC,BC,BC,BC,那么那么那么那么ABAC.ABAC.ABAC.ABAC.ABC 我们来看一位同学的想法：我们来看一位同学的想法： 如图，在如图，在ABCABC中，已知中，已知BCBC，此时此时ABAB与与ACAC要么相等，要么不相等要么相等，要么不相等 假设假设AB=ACAB=AC，那么根据，那么根据“等边对等角等边对等角”定理可得定理可得C=BC=B，但已知条件是，但已知条件是BCBC“C=B”C=B”与已知条件与已知条件“BC”BC”相矛盾，因此相矛盾，因此 ABACABAC。你能理解他的推理过程吗你能理解他的推理过程吗? ?ABC 小明在证明时，先假设命题的结小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立这种证而证明命题的结论一定成立这种证明方法称为明方法称为反证法反证法 反证法是一种重要的数学证明方法反证法是一种重要的数学证明方法. .在解决某些问题时常常会有出人意料的作用在解决某些问题时常常会有出人意料的作用. . 再例如，我们要证明再例如，我们要证明ABCABC中不可能有两个直角，中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法也可以采用这位同学的证法. . 假设有两个角是直角，不妨设假设有两个角是直角，不妨设A=90A=90，B=90B=90，可得，可得A+B=180A+B=180，但，但ABCABC中中A+B+C=180A+B+C=180“A+B=180”“A+B=180”与与“A+B+C=180”A+B+C=180”相矛相矛盾，因此盾，因此ABCABC中不可能有两个直角中不可能有两个直角 这个推理过程怎样写呢？这个推理过程怎样写呢？这个推理过程怎样写呢？这个推理过程怎样写呢？例例3.3.用反证法证明：用反证法证明： 一个三角形中不能有两个角是直角。一个三角形中不能有两个角是直角。已知：已知：ABCABC求证：求证：A A、B B、C C中不能有两个角是直角。中不能有两个角是直角。证明：假设证明：假设A A、B B、C C中有两个角是直角，中有两个角是直角， 不妨设不妨设A A和和B B是直角，是直角， 即即A=90A=90，B=90B=90 ， 于是于是 A+B+C=90+90+CA+B+C=90+90+C180180。 这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾， 因此，因此，“A A和和B B是直角是直角”的假设不成立。的假设不成立。 所以，一个三角形中不能有两个角是直角。所以，一个三角形中不能有两个角是直角。1.1.这节课学习的主要内容？这节课学习的主要内容？ 2.2.等腰三角形的判定及其在实际生活中等腰三角形的判定及其在实际生活中的应用你有哪些收获？的应用你有哪些收获？ 1.1.1.1.假设假设假设假设: : : : 先假设命题的结论不成立；先假设命题的结论不成立；先假设命题的结论不成立；先假设命题的结论不成立；2.2.2.2.归谬归谬归谬归谬: : : : 从这个假设出发从这个假设出发从这个假设出发从这个假设出发, , , ,应用正确的推论方法应用正确的推论方法应用正确的推论方法应用正确的推论方法, , , , 得出与定义，公理、已证定理或已知得出与定义，公理、已证定理或已知得出与定义，公理、已证定理或已知得出与定义，公理、已证定理或已知 条件相矛盾的结果；条件相矛盾的结果；条件相矛盾的结果；条件相矛盾的结果；3.3.3.3.结论结论结论结论: : : : 由矛盾的结果判定假设不正确由矛盾的结果判定假设不正确由矛盾的结果判定假设不正确由矛盾的结果判定假设不正确, , , , 从而肯定命题的结论正确。从而肯定命题的结论正确。从而肯定命题的结论正确。从而肯定命题的结论正确。用反证法证题的一般步骤：用反证法证题的一般步骤：1.1.现有等腰三角形纸片现有等腰三角形纸片, ,如果能从一个角的如果能从一个角的顶点出发顶点出发, ,将原纸片一次剪开成两块等腰三将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片角形纸片, ,问此时的等腰三角形的顶角的度问此时的等腰三角形的顶角的度数数? ? 1083690 2. 2.如图如图,ABC,ABC中分别是上的点中分别是上的点,BD,BD与与CECE交于点交于点O,O,给给出下列四个条件出下列四个条件:EBO=DCO :EBO=DCO BEO=CDO BEO=CDO BE=CD BE=CD OB=OCOB=OC(1)(1)上述四个条件中上述四个条件中, ,哪两个条件可判定哪两个条件可判定ABCABC是等腰是等腰三角形三角形( (用序号写出所有情形用序号写出所有情形) )(2)(2)选择的选择的1 1小题的一种情形小题的一种情形, ,证明证明ABCABC是等腰三角形是等腰三角形. .B BA AE ED DC CO O; ; ; ; 3.3.用反证法证明用反证法证明: :在一个三角形中在一个三角形中, ,至少有至少有一个内角小于或等于一个内角小于或等于6060证明证明: 假设假设A ,B, CA ,B, C是是ABCABC的三个内角的三个内角, , 且都大于且都大于60,60, 则则A 60,B 60, C 60,A 60,B 60, C 60, A+B+C180; A+B+C180;这与三角形的内角和是这与三角形的内角和是180180定理矛盾定理矛盾假设不成立假设不成立在一个三角形中在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于至少有一个内角小于或等于60.60.1.1.4 1.1.4 等腰三角形等腰三角形第一章第一章 三角形的证明三角形的证明1.什么是等腰三角形？ 等腰三角形有什么性质？2.怎样判断一个三角形是等腰三角形？ 1.1.一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个三角形满足什么条件时是等边三角形？2.2.一个等腰三角形满足什么条件时便成了等边一个等腰三角形满足什么条件时便成了等边三角形？三角形？3.3.用两个含用两个含3030角的全等的三角尺，能拼出一角的全等的三角尺，能拼出一个怎样的三角形？个怎样的三角形？ 通过回答上述问题并证明你的结论吗？把你的证通过回答上述问题并证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴进行交流。明思路与同伴进行交流。 总结：总结：定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。定理：有一个角是定理：有一个角是6060的等腰三角形是等边三角形。的等腰三角形是等边三角形。定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于3030，那，那么他所对的直角边等于斜边的一半。么他所对的直角边等于斜边的一半。定理定理: :有一个角是有一个角是60600 0的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形. .证明证明:AB=AC, B=60:AB=AC, B=600 0( (已知已知),), C=B=60 C=B=600 0.(.(等边对等角等边对等角) ) A=60 A=600 0( (三角形内角和定理三角形内角和定理) ) A=B A=B（等式性质）（等式性质）. . AC=CB AC=CB（等角对等边）（等角对等边）. . AB=BC=AC AB=BC=AC（等式性质）（等式性质）. . ABC ABC是等边三角形是等边三角形( (等边三角形意义等边三角形意义).).已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中 AB=AC,B=60AB=AC,B=600 0. .求证求证:ABC:ABC是等边三角形是等边三角形. . ACB60600 0定理定理: :有一个角是有一个角是60600 0的等腰三角形是等边三的等腰三角形是等边三角形。角形。在在ABCABC中中, ,AB=AC,B=60AB=AC,B=600 0( (已知已知).).ABCABC是等边三角形是等边三角形 ( (有一个角是有一个角是60600 0的等腰三角形的等腰三角形是等边三角形是等边三角形).).这又是一个判定等边三角形的根据之一。这又是一个判定等边三角形的根据之一。ACB60600 0定理定理: :三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形. .证明证明:A=B (:A=B (已知已知),), BC=AC,( BC=AC,(等角对等边等角对等边).). 又又B=C(B=C(已知已知),), AB=AC,( AB=AC,(等角对等边等角对等边). ). AB=BC=AC( AB=BC=AC(等式性质等式性质).). ABC ABC是等边三角形是等边三角形( (等边三角形意义等边三角形意义) )已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,A=B=C.,A=B=C.求证求证:ABC:ABC是等边三角形是等边三角形. .ACB定理定理: :三个角都相等的三角形是等边三角三个角都相等的三角形是等边三角形形在在ABCABC中中, ,A=B=C(A=B=C(已知已知),),ABCABC是等边三角形是等边三角形( (三个角都相三个角都相等的三角形是等边三角形等的三角形是等边三角形).).ACB 做一做做一做: : 用两个含有用两个含有30300 0角的三角尺，你能角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？拼成一个怎样的三角形？能证明你的结论吗？能证明你的结论吗？300300结论结论: :在直角三角形中在直角三角形中, 30, 300 0角所对的边等于斜边的一半角所对的边等于斜边的一半. .能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由. .由此你想到，在直角三角形中由此你想到，在直角三角形中, 30, 300 0角所对的直角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？角边与斜边有怎样的大小关系？定理定理: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一个锐角等于如果有一个锐角等于30300 0, ,那那么它所对的直角边等于斜边的一半么它所对的直角边等于斜边的一半. .已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=900 0,A=30,A=300 0求证求证:BC= AB.:BC= AB.300ABCD分析：突破如何证明分析：突破如何证明“线段的倍、分线段的倍、分”问题问题转转 化化“线段相等线段相等”问题问题延长延长BCBC至至D,D,使使CD=BC,CD=BC,连接连接ADAD300ABCD ACB=90ACB=900 0,BAC=30,BAC=300 0, , ACD=90ACD=90，B=60B=60， AC=ACAC=AC ABCADCABCADC（SASSAS） AD=ABAD=AB（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） ABD ABD是等边三角形是等边三角形( (有一个角是有一个角是60600 0的的 等腰三角形是等边三角形等腰三角形是等边三角形) ) BC= BD= AB( BC= BD= AB(等式性质等式性质). ). 证明证明: : 延长延长BCBC至至D,D,使使CD=BC,CD=BC,连接连接ADAD定理定理: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一个锐角等于如果有一个锐角等于30300 0, ,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半. .在在ABCABC中中, ,ACB=90ACB=900 0,A=30,A=300 0. .BC= AB.(BC= AB.(在直角三角形中在直角三角形中, , 30300 0角所对的直角边等于斜边的一角所对的直角边等于斜边的一半半).).ABC30300 0推论：推论：BCBC：ACAC：AB=AB=解解:B=ACB=15:B=ACB=150 0( (已知已知),), DAC=B+ACB= 15 DAC=B+ACB= 150 0+15+150 0=30=300 0( (三角形的三角形的一个外角一个外角, ,等于和不相邻的两内角的和等于和不相邻的两内角的和).). CD= AC=a( CD= AC=a(在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一如果有一个锐角等于个锐角等于30300 0, ,那么它所对的直角边等于斜边那么它所对的直角边等于斜边的一半的一半).).ACBD15150 015150 0例例 已知已知: :如图如图, ,等腰三角形的底角为等腰三角形的底角为15150 0, ,腰长为腰长为2a.2a.求求腰上的高腰上的高. .2a2a2a2aACBD30300 030300 030300 0A AB BC C等边三角形的判定等边三角形的判定: :定理定理: :有一个角是有一个角是6060的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形. .定理定理: :三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形. .特殊的直角三角形的性质特殊的直角三角形的性质: :定理定理: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一个锐角等于如果有一个锐角等于300,300,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半. .老师提醒老师提醒: :反证法还认识你吗反证法还认识你吗? ?1.1.已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,ACB,ACB90900 0,A=30,A=300 0,CDAB,CDAB于于D.D.求证求证:BD=AB/4.:BD=AB/4.你能规范地写出证明过程吗？你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗你的证题能力有所提高吗? ?ACBD30300 0A AB BC C30300 030300 0D D2.2.探索腰探索腰ABAB与底与底BCBC的关系？的关系？3.3.已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中中, ,高线高线BDBD和和CECE相交相交于于H H，BHC=120,HD=1,HE=3,BHC=120,HD=1,HE=3,求求BDBD和和CECE的的长。长。ACDEBH13?120CH=2CH=2CE=5CE=5BH=6BH=6BD=7BD=74.4.已知：如图，已知：如图，ABCABC是等边三角形分别是是等边三角形分别是BC,ACBC,AC上的点上的点, ,且且AE=CD,BEAE=CD,BE和和ADAD相交于相交于P,BQAD, P,BQAD, 垂足是垂足是Q Q。 (1)(1)求求BPDBPD的度数的度数 (2)(2)求证求证:BP=2PQ:BP=2PQA AC CD DB BP PE EQ Q5.5.矩形矩形ABCDABCD中中,AB=6,BC=8,AB=6,BC=8,先把它对折先把它对折, ,折痕折痕为为EFEF展开后再折成如图所示展开后再折成如图所示, ,使点使点A A落在落在EFEF上上的点的点AA处处, ,求第二次折痕求第二次折痕BGBG的长的长. .A AB BC CE ED DG GAAF F3 36 6谢谢欣赏谢谢欣赏