calculus第八章第八章 二重积分二重积分 8.1 二重积分的基本概念二重积分的基本概念8.2 二重积分的计算二重积分的计算Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus 一元函数定积分是求与定义在某一区一元函数定积分是求与定义在某一区间上的函数有关的某种总量的数学模型，间上的函数有关的某种总量的数学模型，作为推广，二元函数的二重积分是求与定作为推广，二元函数的二重积分是求与定义在某一平面区域上的函数有关的某种总义在某一平面区域上的函数有关的某种总量的数学模型，这些模型的数学结构相同，量的数学模型，这些模型的数学结构相同，都是和式的极限。都是和式的极限。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus 8.1 二重积分的基本概念二重积分的基本概念一、曲顶柱体的体积一、曲顶柱体的体积曲顶柱体是指它的底面是在曲顶柱体是指它的底面是在 平面上的有界闭平面上的有界闭区域，它的侧面是以的边界为准线，母线平行于区域，它的侧面是以的边界为准线，母线平行于轴的柱面，它的顶是连续曲面轴的柱面，它的顶是连续曲面 oEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式体积底面积高体积底面积高来计算。而对于曲顶柱体，当点在区域上变动时，来计算。而对于曲顶柱体，当点在区域上变动时，高度是一个变量，因此它的体积不能直接用上式高度是一个变量，因此它的体积不能直接用上式来计算。来计算。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus3）作和）作和4）取极限）取极限则则曲顶柱体的体积求解过程曲顶柱体的体积求解过程1）将区域任意分割成个小区域：）将区域任意分割成个小区域：也表示第块小区域的面积。也表示第块小区域的面积。2）任取点）任取点oEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus二、二、二重积分的定义及几何意义二重积分的定义及几何意义定义定义设二元函数在有界闭区域上设二元函数在有界闭区域上有定义，用任意分法将分成个小闭区域有定义，用任意分法将分成个小闭区域其中表示第个小区域（也表示它的面积），其中表示第个小区域（也表示它的面积），表示的直径中的最大者。在上任表示的直径中的最大者。在上任取一点，作乘积，并作和取一点，作乘积，并作和当时，如果这个和的极限存在，则称此极限为当时，如果这个和的极限存在，则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为函数在区域上的二重积分，记为，即，即Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus注：注： 1 在二重积分定义中，对区域在二重积分定义中，对区域D的划分是的划分是任意的，故如果在直角坐标系中用平行于坐标轴任意的，故如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分的直线网来划分D，则除了包含边界的一些小闭，则除了包含边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形小闭区域形小闭区域 的边长为的边长为 和和 则则Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus0xyD直角坐标系下面积元素直角坐标系下面积元素Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus2 存在性：当存在性：当在闭区域在闭区域 D上连续时，函数上连续时，函数在 D上的二重积分必定存在。以后总假定上的二重积分必定存在。以后总假定在在 D 上的二重积分是存在的。上的二重积分是存在的。3 由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数在在D上的二重积分上的二重积分Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus几何意义几何意义1)、若，表示以区域为底的曲、若，表示以区域为底的曲顶柱体的体积。顶柱体的体积。2)、若，表示以区域为底的曲、若，表示以区域为底的曲顶柱体的体积的相反数。顶柱体的体积的相反数。3)、若在区域上的值有正有负，则曲顶、若在区域上的值有正有负，则曲顶柱体的体积取其二重积分的代数和。柱体的体积取其二重积分的代数和。（其中其中xoy面上方柱体的体积取正，面上方柱体的体积取正， xoy面下方面下方柱体的体积取负）。柱体的体积取负）。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质1 被积函数的常数因子可以提到二重被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即：积分号的外面，即：性质性质2 有限个函数的和（或差）的二重积分有限个函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。等于各个函数的二重积分的和（或差）。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus性质性质3 (区域可加性区域可加性) 如果闭区域如果闭区域D被有限条曲线被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等上的二重积分等于在个部分闭区域上的二重积分的和于在个部分闭区域上的二重积分的和.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus性质性质4 若在若在D上，上，则：则：特别地，特别地，Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus高为高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。性质性质如果在上恒有，是的面积，如果在上恒有，是的面积， 则则性质性质设和分别是函数在闭区域设和分别是函数在闭区域上的最大值和最小值，是的面积，则上的最大值和最小值，是的面积，则Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus性质性质中值定理如果在闭区域上连续，中值定理如果在闭区域上连续，是的面积，则在内至少存在一点，使得是的面积，则在内至少存在一点，使得中值定理的中值定理的几何意义几何意义：在区域上以曲顶：在区域上以曲顶为顶的曲顶柱体的体积，等于区域上以某一点为顶的曲顶柱体的体积，等于区域上以某一点的函数值为高的平顶柱体的体积。的函数值为高的平顶柱体的体积。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus0yx(3,0)(1,0)(0,1).D解解：在区域：在区域 D内，显然有内，显然有故在故在D内内例例1 比较下列积分的大小：比较下列积分的大小：1）与与其中其中D:Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus ,其中区域其中区域 D为为顶点为顶点为A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形闭区域。的三角形闭区域。2）解解：BC的方程的方程 x+y=2D内内所以所以A(1,0)C(2,0)B(1,1)Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus例例 估计积分值估计积分值解：解：在在D内的最大值为内的最大值为4，最小值为，最小值为1区域区域D的面积为的面积为2所以所以Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus 8.2 二重积分的计算二重积分的计算二重积分的计算，可以归结为求两次一元定积分，二重积分的计算，可以归结为求两次一元定积分，然后利用一元定积分的计算方法来计算二重积分。然后利用一元定积分的计算方法来计算二重积分。 按定义按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限二重积分是一个特定乘积和式极限 然而，用定义来计算二重积分，一般情况然而，用定义来计算二重积分，一般情况下是非常麻烦的下是非常麻烦的.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus 那么，有没有简便的计算方法呢那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我这就是我们今天所要研究的课题。下面介绍们今天所要研究的课题。下面介绍:一、直角坐标系下二重积分的计算一、直角坐标系下二重积分的计算 二重积分仅与被积函数及积分域有关二重积分仅与被积函数及积分域有关,为此为此, 先介绍：先介绍： 1、积分域、积分域 D:Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus如果积分区域为：如果积分区域为：（1 1）X-X-型域型域X型型 X型区域的特点型区域的特点：a、平行于平行于y轴且穿过区域的轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；直线与区域边界的交点不多于两个；b、Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus 2 2、X-X-型域下二重积分的计算型域下二重积分的计算: : 由几何意义，若由几何意义，若 (x,y)(x,y)00，则，则平行截面面积为已知平行截面面积为已知的立体的体积的立体的体积.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculusyZ截面为曲边梯形，面积为：截面为曲边梯形，面积为：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculusEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus 注注: : 若若 (x,y)(x,y)0 0 仍然适用。仍然适用。注意注意: :2 2）积分次序）积分次序: X-: X-型域型域 先先Y Y后后X;X;3 3）积分限确定法）积分限确定法: : 域中一线插域中一线插, , 内限定上下，内限定上下， 域边两线夹，外限依靠它。域边两线夹，外限依靠它。为方便，上式也常记为：为方便，上式也常记为：1）上式说明）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算二重积分可化为二次定积分计算;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus（2 2）Y-Y-型域：型域：Y型型 Y型区域的特点型区域的特点：a、穿过区域且平行于、穿过区域且平行于x轴轴的直线与区域边界的交点不多于两个；的直线与区域边界的交点不多于两个；b、Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus3、Y-型域下二重积分的计算：型域下二重积分的计算： 1）积分次序）积分次序: Y-型域型域 ,先先x后后Y; 2）积分限确定法）积分限确定法: “域中一线插域中一线插”, 须用平行于须用平行于X轴的直线轴的直线穿插区域穿插区域 。注意注意: Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus 注意注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限于正确确定积分限, ,一定要做到熟练、准确。一定要做到熟练、准确。4、利用直角坐标系计算二重积分的步骤、利用直角坐标系计算二重积分的步骤（1 1）画出积分区域的图形）画出积分区域的图形, ,求出边界曲线交点坐标；求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，化为二次定积分；）确定积分限，化为二次定积分；（2 2）根据积分域类型）根据积分域类型, , 确定积分次序；确定积分次序；（4）计算两次定积分，即可得出结果）计算两次定积分，即可得出结果.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus解：解：X型型Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculusEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculusY型型Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus例例2 2解：解： X-型型Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus例例3解解： （如图）将如图）将D作作Y型型-12Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus例例8计算计算Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus例例9计算计算Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus例例11解解表示为表示为X-型域型域Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus改变积分次序改变积分次序Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus二二 利用极坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。其计算问题。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus 直角坐标系与极坐标系直角坐标系与极坐标系oEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus1 1 直角坐标系与极坐标系下的二重积分关系直角坐标系与极坐标系下的二重积分关系（1）面积元素变换为极）面积元素变换为极坐标坐标系下：系下：极极坐标坐标系下的面积元素为：系下的面积元素为：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus（2）二重积分转换公式：）二重积分转换公式：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行的二重积分需要进行“三换三换”：oEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus2 2 极坐标系下的二重积分化为二次积分极坐标系下的二重积分化为二次积分用两条过极点的射线夹平面区域，用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限由两射线的倾角得到其上下限任意作过极点的半射线与平面区域相交，任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系后，极坐将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系后，极坐标系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。标系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus（1）区域如图）区域如图1具体地（如图具体地（如图）图图1 1Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus（2）区域如图）区域如图2图图2Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus（3）区域如图）区域如图3图图3Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus（4）区域如图）区域如图4图图4Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus当积分区域为圆形、扇形或环形时，利用极坐标当积分区域为圆形、扇形或环形时，利用极坐标计算比较简单。计算比较简单。当被积函数为时，用极坐标计当被积函数为时，用极坐标计算简单。算简单。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus例例计算，由圆周计算，由圆周及直线所围第一象限部分。及直线所围第一象限部分。解：解：画图画图1212oEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus解：解：画图画图例例计算计算，。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculus例例计算计算，解：解：画图画图2oEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.calculusD例例4Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.