函数的单调性教学设计全国比赛案例一、一、对“函数的函数的单调性性”的的设计构构思思n1.教学内容的分析教学内容的分析n函数的函数的单调性是学生在了解函数概念性是学生在了解函数概念后学后学习的函数的第一个性的函数的第一个性质，是函数，是函数学学习中第一个用数学符号中第一个用数学符号语言刻画的言刻画的概念，概念，为进一步学一步学习函数其他性函数其他性质提提供了方法、依据。供了方法、依据。2.教学目教学目标的确定的确定n根据本根据本课教材的特点、教学大教材的特点、教学大纲对本本节课的教学要求以及学生的的教学要求以及学生的认知水平，知水平，从三个不同的方面确定了教学目从三个不同的方面确定了教学目标。重重视单调性概念的形成性概念的形成过程和程和对概念概念本本质的的认识；强调判断、判断、证明函数明函数单调性的方法的落性的方法的落实以及数形以及数形结合思想合思想的渗透；突出的渗透；突出语言表达能力、推理言表达能力、推理论证能力的培养和良好思能力的培养和良好思维习惯的养成。的养成。n对于函数于函数单调性，学生的性，学生的认知困知困难主主要存在两个方面：（要存在两个方面：（1）用准确的数学）用准确的数学符号符号语言刻画言刻画图象的上升与下降，象的上升与下降，这种由形到数的种由形到数的“翻翻译”，从直，从直观到抽到抽象的象的转变对高一的学生是比高一的学生是比较困困难的；的；（2）单调性的性的证明是学生在函数内容明是学生在函数内容中首次接触到的代数中首次接触到的代数论证内容，而学内容，而学生在代数方面的推理生在代数方面的推理论证能力是比能力是比较薄弱的。根据以上的分析和教学大薄弱的。根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本的要求，确定了本节课的重点和的重点和难点。点。3.教学方法和教学手段的教学方法和教学手段的选择n本本节课是函数是函数单调性的起始性的起始课,采用教采用教师启启发引引导、学生探究学、学生探究学习的教学方的教学方法，通法，通过创设情境，引情境，引导探究，探究，师生生交流，最交流，最终形成概念，形成概念，获得方法。本得方法。本节课使用了多媒体和使用了多媒体和计算机来算机来辅助教助教学，学，为学生提供直学生提供直观感性的材料，有感性的材料，有助于学生助于学生对问题的理解和的理解和认识。4.教学教学过程的程的设计n为达到本达到本节课的教学目的教学目标,突出重点突出重点,突破突破难点点,教学上采取了以下的措施教学上采取了以下的措施: （1）在探索概念）在探索概念阶段段,让学生学生经历从从直直观到抽象、从特殊到一般、从感性到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的到理性的认识过程，完成程，完成对函数函数单调性定性定义的三次的三次认识，使得学生，使得学生对概念概念的的认识不断深入。不断深入。n（2）在）在应用概念用概念阶段，通段，通过对证明明过程的分析，帮助学生掌握用定程的分析，帮助学生掌握用定义证明明函数函数单调性的方法和步性的方法和步骤。n（3）考）考虑到本校（北京景山学校）学到本校（北京景山学校）学生数学基生数学基础较好、思好、思维较为活活跃的特的特点，点，对判断方法判断方法进行适当的延展，加行适当的延展，加深深对定定义的理解，同的理解，同时也也为用用导数研数研究函数究函数单调性埋下伏笔。性埋下伏笔。函数函数单调性性教材教材分析分析教学教学目目标重点重点难点点教学教学过程程教法教法学法学法二、二、“函数函数单调性性”的教学的教学设计1.11.1教材的地位和作用教材的地位和作用教材的地位和作用教材的地位和作用函数的函数的单调性性函数概念的延函数概念的延续和拓展和拓展培养学生培养学生逻辑推理推理能力和渗透数形能力和渗透数形结合思想的重要素材合思想的重要素材对研究其他函数性研究其他函数性质起启起启发和示范作用，和示范作用，是学是学习研究其它数学研究其它数学知知识的重要基的重要基础1.教材分析1.21.2学情分析学情分析学情分析学情分析学生的学生的认知困知困难由形到数的翻由形到数的翻译,从直从直观到抽象的到抽象的转变.在函数学在函数学习中首次接触中首次接触到代数到代数论证.1.教材分析1.31.3教学的重点和教学的重点和教学的重点和教学的重点和难难点点点点 理解函数理解函数单调性的概念性的概念; 初步掌握判断、初步掌握判断、证明函数明函数单调性的步性的步骤重点重点 函数函数单调性概念的理解性概念的理解; 难点点1.教材分析2.教学目标1 1、理解函数、理解函数单调性的概念性的概念2 2、初步掌握判断、初步掌握判断、证明函数明函数单调性的性的步步骤3 3、了解函数、了解函数单调区区间的概念的概念通通过知知识的探究的探究过程程培养学生培养学生细心心观察、察、认真分析、勇于探索、真分析、勇于探索、严谨论证的良好思的良好思维习惯1 1、通、通过对函数函数单调性性定定义的探究，的探究，让学生学生经历从具体到抽象，从特从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理殊到一般，从感性到理性的性的认知知过程程2 2、通、通过对函数函数单调性性的的证明，提高学生的推明，提高学生的推理理论证能力能力3 3、渗透数形、渗透数形结合的思合的思想方法，培养学生想方法，培养学生观察、察、归纳、抽象的能力和、抽象的能力和语言表达能力言表达能力知知知知识识与技能与技能与技能与技能过过程与方法程与方法程与方法程与方法情感情感情感情感态态度与价度与价度与价度与价值观值观3.教法学法3.13.1教学方法教学方法教学方法教学方法多媒体教学多媒体教学3.23.2教学手段教学手段教学手段教学手段讲练结合合探究式教学探究式教学自主探究自主探究合作交流合作交流3.33.3学学学学习习方法方法方法方法函数的函数的单调性性创设情境，引入情境，引入课题探究新知，构建概念探究新知，构建概念例例题分析，巩固分析，巩固练习归纳小小结，布置作，布置作业板板书设计4.教学设计（一）（一）（一）（一）创设创设情境、引入情境、引入情境、引入情境、引入课题课题(3min)(3min)(3min)(3min)设计设计意意意意图图 1、下下图是气象台是气象台预测北北京市今年京市今年8 8月月8 8日一天日一天2424小小时内气温随内气温随时间变化的曲化的曲线图, ,观察察图形形, ,你能得到什么信息你能得到什么信息? ?教学教学过程程（一）（一）（一）（一）创设创设情境、引入情境、引入情境、引入情境、引入课题课题(5min)(5min)(5min)(5min)设计设计意意意意图图引引导学生学生识图，捕捉，捕捉信息，启信息，启发学生思考学生思考由生活情境引入新由生活情境引入新课，从而拉近数学与从而拉近数学与现实的距离，激的距离，激发学生的学生的求知欲，求知欲，调动学生主学生主体参与的体参与的积极性。极性。教学教学过程程2 2近十几年来，南极上空臭近十几年来，南极上空臭氧氧层空洞的面空洞的面积从从1979200119792001年的年的变化。化。 （二）探究新知，构建概念（二）探究新知，构建概念（二）探究新知，构建概念（二）探究新知，构建概念(23min)(23min)(23min)(23min)借助借助图象象直直观感知感知抽象思抽象思维形成概念形成概念教学教学过程程1 1 1 1、借助、借助、借助、借助图图象，直象，直象，直象，直观观感知感知感知感知设计设计意意意意图图教学教学过程程1 1 1 1、借助、借助、借助、借助图图象，直象，直象，直象，直观观感知感知感知感知教学教学过程程xyO 112-1-2234xyO 112-1-2234xyO 112-1-2234xyO 112-1-223-1 -2设计设计意意意意图图从学生熟悉的函数从学生熟悉的函数图象出象出发，渗透数形，渗透数形结合思想，引合思想，引导学生直学生直观感知函数的感知函数的单调性性激激发学生学学生学习兴趣和趣和热情情培养学生培养学生观察，猜想，察，猜想，归纳的能力的能力形成自主探究，独立形成自主探究，独立思考的思思考的思维品品质设计设计意意意意图图引引导学生学生进行分行分类描述描述 (增函数、减函数增函数、减函数),同同时明确函数的明确函数的单调性是性是对定定义域内某个区域内某个区间而言而言的的,是函数的局部性是函数的局部性质.从从图象象的的角角度度对函函数数单调性性的的直直观、描描述述性性的的认识完完成成对函函数数单调性的第一次性的第一次认识。问题2 2：能否根据自己的：能否根据自己的理解理解说说什么是增函数、什么是增函数、减函数减函数? ?教学教学过程程1 1 1 1、借助、借助、借助、借助图图象，直象，直象，直象，直观观感知感知感知感知2、抽象思抽象思抽象思抽象思维维，形成概念，形成概念，形成概念，形成概念设计设计意意意意图图学生学生难以确定分界以确定分界点的确切位置。点的确切位置。通通过讨论，使学生，使学生感受到用感受到用图象判断象判断函数函数单调性比性比较直直观，但有，但有时不不够精精确，需要确，需要结合解析合解析式式进行行严密化、精密化、精确化的研究。使学确化的研究。使学生体会到用数量大生体会到用数量大小关系小关系严格表述函格表述函数数单调性的必要性。性的必要性。问题3 3：下：下图是函数是函数的的图象，能象，能说出出这个函数分个函数分别在哪个在哪个区区间为增函数或减函数增函数或减函数吗？教学教学过程程设计设计意意意意图图 对于学生于学生错误的回答，的回答，引引导学生分学生分别用用图形形语言和文字言和文字语言言进行辨析，行辨析，使学生使学生认识到到问题的根的根源在于自源在于自变量不可能被量不可能被穷举，从而引，从而引导学生在学生在给定的区定的区间内任取两个内任取两个自自变量。量。把把对单调性的性的认识由感由感性上升到理性性上升到理性认识的高的高度，完成度，完成对概念的第二概念的第二次次认识。事事实上也上也给出了出了证明明单调性的方法，性的方法，为第三第三阶段的学段的学习做好做好铺垫教学教学过程程2、抽象思抽象思抽象思抽象思维维，形成概念，形成概念，形成概念，形成概念预案：（案：（1）在）在给定区定区间内取两个内取两个数，例如数，例如2和和3，因，因为2232，所，所以以 在在 上上为增增函数。（函数。（2）取多）取多组数数值验证均均满足，所以足，所以 在在 上上为增函数。（增函数。（3）任取）任取 则 在在 上上为增函数。增函数。2、抽象思抽象思抽象思抽象思维维，形成概念，形成概念，形成概念，形成概念设计设计意意意意图图引引导学生学生归纳、抽象出函数抽象出函数单调性的定性的定义使学生使学生经历从从具体到抽象具体到抽象,从从特殊到一般的特殊到一般的认知知过程程培养学生培养学生归纳概括能概括能 力力问题5 5：你能用准确的数学符号：你能用准确的数学符号语言言 表述出增函数的定表述出增函数的定义吗? ?,教学教学过程程 2、抽象思抽象思抽象思抽象思维维，形成概念，形成概念，形成概念，形成概念设计设计意意意意图图强调关关键教学教学过程程如果如果对于定于定义域域I内某个区内某个区间D上的任意两个自上的任意两个自变量量x1 、x2 ；当；当x1 x2 时都有都有f(x1 ) f(x2 )，那，那么就么就说函数函数f (x)在区在区间D上是增上是增函数。函数。Oxy 2、抽象思抽象思抽象思抽象思维维，形成概念，形成概念，形成概念，形成概念设计设计意意意意图图强调关关键,教学教学过程程如果如果对于定于定义域域I内某个区内某个区间D上的任意两个自上的任意两个自变量量x1 、x2 ；当；当x1 x2时，都有，都有f(x1 ) f(x2 ) ，那么，那么就就说函数函数f (x)在区在区间D上是减函上是减函数。数。Oxy教学教学过程程判断判断题：强调单调性是函数的局部性性是函数的局部性质，加深加深对单调区区间的的认识：单调性是性是对定定义域内某个区域内某个区间而言而言的，离开了定的，离开了定义域和相域和相应区区间就就谈不上不上单调性。性。函数在定函数在定义域内的两个区域内的两个区间A，B上都是增（或减）函数，上都是增（或减）函数，一般不能一般不能认为函数在函数在 A B上是上是增（或减）函数。增（或减）函数。设计设计意意意意图图 2 2 2 2、抽象思、抽象思、抽象思、抽象思维维、形成概念、形成概念、形成概念、形成概念教学教学过程程判断判断题：2）4）3） 2 2 2 2、抽象思、抽象思、抽象思、抽象思维维、形成概念、形成概念、形成概念、形成概念1） （三）例（三）例（三）例（三）例题题分析、深化概念分析、深化概念分析、深化概念分析、深化概念（12min12min12min12min）设计设计意意意意图图强化学生化学生应用数用数形形结合的思想解合的思想解题的意的意识，进一一步加深步加深对概念的概念的理解理解明确明确单调性是函性是函数的局部性数的局部性质加深加深对单调区区间的的认识例例1 、下、下图是定是定义在区在区间-5，5上的上的函数，根据函数，根据图像写出函数的像写出函数的单调区区间，以及在每个以及在每个单调区区间上，它是增函数上，它是增函数还是减函数？是减函数？教学教学过程程-21 2 3 4 5-23-3-4-5-1-112O （三）例（三）例（三）例（三）例题题分析、深化概念分析、深化概念分析、深化概念分析、深化概念(15min)(15min)(15min)(15min)设计设计意意意意图图 初步掌握运用初步掌握运用定定义进行行简单论证的基本方的基本方法，法，强化化证题的的规范性范性训练，引引导学生学生归纳证明函数明函数单调性的步性的步骤：设元、作差、元、作差、变形、断号、定形、断号、定论例例2、证明函数明函数 在在上是增函数。上是增函数。教学教学过程程 （三）例（三）例（三）例（三）例题题分析、深化概念分析、深化概念分析、深化概念分析、深化概念(15min)(15min)(15min)(15min)设计设计意意意意图图 再次运用函数再次运用函数单调性定性定义进行行论证，解决，解决实际应用用问题，并并强化化证题的的规范性范性训练。例例3、物理学中的玻意耳定理、物理学中的玻意耳定理P=K/V（K为正常数）告正常数）告诉我我们对于一定量的气体，于一定量的气体，当其体当其体积V减小减小时，压强P将增大，将增大，试用用函数的函数的单调性性证明之。明之。教学教学过程程教学教学过程程 （四）（四）（四）（四）归纳归纳小小小小结结、布置作、布置作、布置作、布置作业业(5min)(5min)(5min)(5min)设计设计意意意意图图小小结：1.定义：2.注意点：3.证明步骤： 通通过小小结突出重突出重点，点，让学生学生对所所学知学知识结构有一构有一个清晰的个清晰的认识教学教学过程程 通通过两方面的作两方面的作业，满足学生多足学生多样化的化的学学习需要需要 （四）（四）（四）（四）归纳归纳小小小小结结、布置作、布置作、布置作、布置作业业(5min)(5min)(5min)(5min)作作业：必做必做题：P43习题1.3 A组 1，2选做做题：P43习题1.3 A组 3数学日数学日记：谈谈你本节课中的收获或者困惑，整理你认为本节课中的最重要的知识和方法设计设计意意意意图图教学教学过程程 （五）板（五）板（五）板（五）板书设计书设计投投影影区区 单调性与最大（小）性与最大（小）值1、增函数：、增函数： 减函数：减函数：2、注意：、注意：3、证明步明步骤：问题（例）（例）问题（例）（例）