一、一、 保守力保守力 如果有一力，它对如果有一力，它对质点质点所作的功所作的功只只决定于决定于作功的作功的起点起点和和终点终点而而与作功的路径无关与作功的路径无关，或沿任意，或沿任意闭合路径一周闭合路径一周 作功为零作功为零称此力为称此力为保守力保守力或或有势力有势力。不具备这种性质的力不具备这种性质的力叫做叫做非保守力非保守力。 设设质质量量为为m的的物物体体在在重重力力的的作作用用下下从从a点点沿沿任任一一曲曲线线acacb运运动动到到b点。点。1.1. 重力作功重力作功 2-4 2-4 保守力保守力保守力保守力 成对力的功成对力的功成对力的功成对力的功 势能势能势能势能 在在元位移元位移 中，中，重重力力 所做的元功是所做的元功是 由由此此可可见见，重重力力作作功功仅仅仅仅与与物物体体的的始始末末位位置置有有关关，而而与与运运动动物物体体所所经经历历的的路路径径无关无关。 设设物物体体沿沿任任一一闭闭合合路路径径 运运动动一一周，重力所作的功为：周，重力所作的功为： 表表明明：在在重重力力场场中中物物体体沿沿任任一一闭闭合合路径运动一周时路径运动一周时重力所作的功重力所作的功为零。为零。 如用如用矢量点积矢量点积的方法描述的方法描述重力的功，重力的功，则更方便则更方便。 此式表明此式表明重力的功重力的功只决定于作功只决定于作功的的起点起点和和终点终点而与作功的而与作功的路径无关。路径无关。dAmg dy dr=P (+mg j ).(dxidy j )yx0yyaabbdrPmgdyyy=()Aabmgmgybya沿沿任意闭合路径一周任意闭合路径一周 保守力作功为零保守力作功为零： 2. 2. 弹性力的功弹性力的功 弹弹簧簧劲劲度度系系数数为为k ，一一端端固固定定于于墙墙壁壁，另另一一端端系一质量为系一质量为m的物体，置于的物体，置于光滑水平光滑水平地面。地面。XOXxbOxax设设 a a、b b 两点为弹簧伸长后物体的两个位置，两点为弹簧伸长后物体的两个位置，x xa a 和和 x xb b 分别表示物体在分别表示物体在a a、b b 两点时距两点时距 0 0 点的点的距离。距离。abXxbOxax 由由此此可可见见，弹弹性性力力作作功功也也仅仅仅仅与与质质点的点的始末位置始末位置有关，有关，与具体路径无关与具体路径无关。3.3. 万有引力万有引力的功的功 两两个个物物体体的的质质量量分分别别为为M和和m，它它们们之之间间有有万万有有引引力力作作用用。M静静止止，以以M为为原原点点O建建立坐标系，研究立坐标系，研究m相对相对M的运动的运动。MmrrGabF=2rFmrabMMmrrGabF=dA2F dr.rdrFmrdrabMcosMmMmrrrGGabsinF=()dA22FF dr.90 +0rdrFMmrdrabcosMmMmMmMmrrrrGGGGabsinF=()(dAA2222FF dr.90 +0dr=rraabbdrrGMmGMmrrrdrFMmrdrab万有引力的功万有引力的功万有引力的功万有引力的功 由由此此可可见见，万万有有引引力力作作功功也也仅仅仅仅与与质质点的点的始末位置有关始末位置有关，与具体路径，与具体路径无关。无关。重力、万有引力、弹性力都是重力、万有引力、弹性力都是保守力保守力摩擦力摩擦力不是不是保守力保守力记住记住 保守力的保守力的判据判据是：是：二、二、二、二、 成对力的功成对力的功成对力的功成对力的功 设设有有两两个个质质点点1 1和和2 2，质质量量分分别别为为 和和 ， 为为质质点点1 1受受到到质质点点2 2的的作作用用力力， 为为质质点点2 2受受到到质质点点1 1的的作作用力，它们是一对用力，它们是一对作用力作用力和和反作用力反作用力。由此可见，由此可见，成对作用力成对作用力与与反作用力反作用力所作的所作的总总功功只与作用力只与作用力 及及相对位移相对位移 有关，而有关，而与每个质点各自的运动无关。与每个质点各自的运动无关。表明：表明：任何任何一对作用力一对作用力和和反作用力反作用力所作的所作的总总 功功具有具有与与参考系参考系选择无关选择无关的不变性质。的不变性质。 保保守守力力的的普普遍遍定定义义：在在任任意意的的参参考考系系中中，成成对对保保守守力力的的功功只只取取决决于于相相互互作作用用质质点点的的始始末末相相对对位位置置，而而与与各各质质点点的的运动路径无关。运动路径无关。 表表明明：任任何何一一对对作作用用力力和和反反作作用用力力所所作作的的总总功功具具有有与与参参考考系系选选择择无无关关的的不不变性质。变性质。根据这一特点，就可以按下述方法计算根据这一特点，就可以按下述方法计算一对力的功：一对力的功：例如，质量为例如，质量为m m的物体的物体在地面以上在地面以上下落高度下落高度h h时，时，重力及其反作用力重力及其反作用力所做的功为所做的功为mghmgh. .认为认为一个质点静止一个质点静止而以它所在的位置为而以它所在的位置为坐标原点坐标原点，再计算另一个质点再计算另一个质点在此坐标系中运动时在此坐标系中运动时它所受的它所受的力所做的功。力所做的功。这样用一个力计算出来的功，也就这样用一个力计算出来的功，也就是相应的是相应的一对力一对力所做的所做的功之和功之和。每对内力每对内力所做功所做功并不一定为零并不一定为零 有人认为有人认为作用力作用力和和反作用力大小相等、方反作用力大小相等、方向相反，向相反，因此，系统内力的功的代数和必因此，系统内力的功的代数和必等于零，等于零，这是这是错误错误的！的！ 势势能能：质质点点在在保保守守力力场场中中与与位位置置相相关关的的能能量。量。它是一种潜在的能量，不同于动能。它是一种潜在的能量，不同于动能。三、三、 势能势能几种常见的势能几种常见的势能：重力势能重力势能弹性势能弹性势能万有引力势能万有引力势能 涉及涉及重力势能重力势能时，一定要将时，一定要将地球地球列入列入系统。系统。重力势能重力势能是指是指质量为质量为m m的物体的物体与与地球地球所组成的所组成的系统系统拥有的重力势能，而拥有的重力势能，而不属于不属于其中其中个别的物体个别的物体。并设并设质量为质量为m m的物体在地球表面时，系统的的物体在地球表面时，系统的重力势能为零。重力势能为零。注意注意上述公式的上述公式的适用条件：适用条件：设设弹簧弹簧为为原长时原长时弹性弹性势能势能为为零零。弹性势能弹性势能即即: :式中式中x x 代表弹簧的代表弹簧的绝对变形量绝对变形量. .万有引力势能万有引力势能上述公式上述公式成立条件成立条件：两物体质量两物体质量分别为分别为M M和和m m，两者间的距离为，两者间的距离为r r, , 并设并设两者间的两者间的距离距离为为无穷远时无穷远时引力势能引力势能为为零零。此时此时的的引力势能引力势能应等于把应等于把质点质点m m从从目前目前位置位置移动到移动到无穷远处无穷远处( (引力势能为引力势能为零处零处) )万有引力万有引力所做的功。所做的功。注意注意 万有引力势能是由万有引力势能是由质量分质量分别为别为M M和和m m两物体组成的系统所两物体组成的系统所共同拥有的。共同拥有的。保守力的功保守力的功 上式的意思是，上式的意思是，系统系统在由在由位置位置a a 改变到改变到位置位置 b b时，时，成对保守内力的功成对保守内力的功等于等于系统势能系统势能的减的减少（或势能增量的负值）。少（或势能增量的负值）。注意：注意： （1）势能势能既取决于系统内物体之间相互作用的既取决于系统内物体之间相互作用的形式，又取决于物体之间的形式，又取决于物体之间的相对位置相对位置，所以，所以势能势能是属于物体系统的是属于物体系统的，不为，不为单个物体单个物体所具有。所具有。（2）物体系统在两个不同位置的）物体系统在两个不同位置的势能差势能差具具有一定的量值，它可用有一定的量值，它可用成对保守力作的功成对保守力作的功来来衡量。衡量。（3）势能差有）势能差有绝对绝对意义，而意义，而势能势能只有只有相对意相对意义。势能零点义。势能零点可根据问题的需要来可根据问题的需要来选择。选择。势能势能属于保守力相互作用系统属于保守力相互作用系统,是由是由相对相对位置位置决定的函数决定的函数.上式的意思是，上式的意思是，系统系统在由在由位置位置a a 改变到改变到位置位置 b b时，时，成对保守内力的功成对保守内力的功等于等于系统势能系统势能的减的减少（或势能增量的负值）。少（或势能增量的负值）。空间某点的势能空间某点的势能是相对是相对零势能点零势能点的的, ,数值数值上等于由上等于由该点该点移动到移动到势能零点势能零点时时, ,保守力保守力所作的功所作的功. .令令b b点点的的势能为势能为零零Calculation of the force from potential energyThe work done by the conservative force on an object can be measured as the decrease of the potential energy of the object in the conservative field:dW = Fdr = Fxdx + Fydy + Fzdz = dUThe mathematical expression of the total differentiation of the potential energy 4. 4. 4. 4. 势能曲线势能曲线势能曲线势能曲线重力势能重力势能弹性势能弹性势能引力势能引力势能势能曲线的作用：势能曲线的作用： （1）根据势能曲线的形状）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动可以讨论物体的运动。 （2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向。所受保守力的大小和方向。设系统内的物体在保守力设系统内的物体在保守力F 的作用下，沿的作用下，沿x 轴发生轴发生位移位移dx 时，保守力作功时，保守力作功势能曲线的作用：势能曲线的作用： （1）根据势能曲线的形状）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动可以讨论物体的运动。 （2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向。所受保守力的大小和方向。 表明：表明：保守力保守力沿某坐标轴的沿某坐标轴的分量分量等于势能等于势能对此坐标的导数的负值。对此坐标的导数的负值。例题例题3-13-1 一质量为一质量为m m=1=1kgkg的物体，在保守力的物体，在保守力F F（x x）的作用下，沿的作用下，沿x x 轴正向运动（轴正向运动（x x00）。与该保守力）。与该保守力相应的势能是相应的势能是式中式中x以以m为单位，势能以为单位，势能以J为单位为单位a =1Jm2,b=2J m 。a）画出物体的势能曲线；画出物体的势能曲线；b）设设物体的总能量物体的总能量E E =-0.50=-0.50J J 保持不变保持不变，这表明物体的，这表明物体的运运 动被引力束缚在一定范围之内。试分别用作图和动被引力束缚在一定范围之内。试分别用作图和计算的方法求物体的运动范围。计算的方法求物体的运动范围。例题例题3-1 一质量为一质量为m=1kg的物体，在保守力的物体，在保守力F（x）的作用下，的作用下，沿沿x 轴正向运动（轴正向运动（x0）。与该保守力相应的势能是）。与该保守力相应的势能是式中式中x以以m为单位，势能以为单位，势能以J为单位为单位a =1Jm2,b=2J m 。（a）画画出物体的势能曲线；出物体的势能曲线；（b）设物体的设物体的总能量总能量E =-0.50J 保持不变保持不变，这表明物体的运动被引力束缚在一定范围之内。试分别用作图这表明物体的运动被引力束缚在一定范围之内。试分别用作图和计算的方法求物体的运动范围。和计算的方法求物体的运动范围。解解 （a) 根据根据取下列数据来取下列数据来 画出势能曲线画出势能曲线x/mEp(x)/J0.20.51.501-1.0-0.75-0.55-0.44234现在，用式（现在，用式（3-8）求物体）求物体的的平衡位置平衡位置令令F=0,解得解得 x=1m ，这就是物体的，这就是物体的平衡位平衡位置置，在该点，在该点，势能有极小值势能有极小值，如图所示。，如图所示。- -10 01 12 21 12 23 34 4x /mEP /J（b）当物体的总能量当物体的总能量E=-0.50J保持不变时保持不变时， 令令Ep(x)=E就可求得物体的就可求得物体的Ek=E-Ep为为0的位置，因此，令的位置，因此，令由此解得由此解得