振动和波动振动和波动小结小结 习题课习题课广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结一、简谐振动一、简谐振动1 1、简谐振动的特征、简谐振动的特征、简谐振动的特征、简谐振动的特征简谐振动的简谐振动的动力学特征动力学特征 简谐振动的简谐振动的受力特征受力特征 ，或，或 , k 为常数为常数2、振体的速度和加速度、振体的速度和加速度 为系统的固有角频率。对弹簧振子为系统的固有角频率。对弹簧振子 。简谐振动的简谐振动的运动学特征运动学特征 , A、 为两积为两积分常数，其值由初始条件决定。分常数，其值由初始条件决定。 广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结3 3 3 3、描述简谐振动的三个特征量、描述简谐振动的三个特征量、描述简谐振动的三个特征量、描述简谐振动的三个特征量（1）振幅振幅 （2）角频率角频率(或称圆频率或称圆频率) （3）初相初相 以上三个量称为描述谐振动的三个特征量。其中以上三个量称为描述谐振动的三个特征量。其中: 由振动系统本身的性质决定。振幅由振动系统本身的性质决定。振幅A和初相和初相 则由初始条则由初始条件决定件决定.位移振幅位移振幅 A，速度振幅，速度振幅 A ，加速度振幅，加速度振幅弹簧振子弹簧振子为为t时刻振体的相位时刻振体的相位, t =0时刻的相位时刻的相位 叫初相叫初相 广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结4、谐振动的、谐振动的旋转矢量描述法旋转矢量描述法旋转矢量描述法旋转矢量描述法 任意时刻，矢量任意时刻，矢量 的末端在的末端在x轴上轴上的投影点的投影点的坐标就是的坐标就是点在点在x 轴上轴上作谐振动的位移方程。作谐振动的位移方程。yxP t =0 时刻时刻,矢量矢量 与与 x 轴轴正向的正向的夹角夹角 为谐振动的为谐振动的初相初相; 的长度为简谐振动的的长度为简谐振动的振幅振幅振幅振幅; ; 转动的角速度转动的角速度 为谐振动的为谐振动的圆频率圆频率；用矢量用矢量 描述谐振动的方法描述谐振动的方法:广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结5 5、简谐简谐振动的能量振动的能量振动的能量振动的能量系统的总能系统的总能物体振动时物体振动时, 动能、势能都随时间周期性变化，但总能与时动能、势能都随时间周期性变化，但总能与时间无关。间无关。E Ek k , ,E EP P 随时间变化的频率为振动频率的随时间变化的频率为振动频率的2 2倍倍. .、同方向同频率简谐振动的合成、同方向同频率简谐振动的合成、同方向同频率简谐振动的合成、同方向同频率简谐振动的合成 合振动合振动合振动合振动的振幅的振幅和初相和初相广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结二、平面简谐波二、平面简谐波、描述波动的三个物理量及其关系描述波动的三个物理量及其关系描述波动的三个物理量及其关系描述波动的三个物理量及其关系、平面简谐波的波函数、平面简谐波的波函数(波动方程波动方程)“ ”“ ”号对应波向号对应波向 x 轴正方向传播；轴正方向传播；“+ ” + ” 号对应波向号对应波向 x 轴负方向传播。轴负方向传播。波长和波速与介质有关，周期和频波长和波速与介质有关，周期和频率与振源相同。率与振源相同。波函数波函数(波动方程波动方程) 波线上波线上x处质点在处质点在t 时刻的位移方程时刻的位移方程波函数波函数(波动方程波动方程)的标准形式的标准形式广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结注意波函数的物理意义及波动方程中每一项的物理意义！注意波函数的物理意义及波动方程中每一项的物理意义！注意波函数的物理意义及波动方程中每一项的物理意义！注意波函数的物理意义及波动方程中每一项的物理意义！如：如：它们各表示什么物理意义？它们各表示什么物理意义？ 波从坐标原点传到波从坐标原点传到x处需要的时间。处需要的时间。 x处质点落后原点处质点振动的相位。处质点落后原点处质点振动的相位。 x处质点在处质点在t时刻的相位。时刻的相位。 原点处质点振动的初相。原点处质点振动的初相。 x处质点振动的初相。处质点振动的初相。 x处质点在处质点在t 时刻的振动位移。时刻的振动位移。广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结 若知道波速若知道波速u，从时间上考虑直接写出波线上任意，从时间上考虑直接写出波线上任意x处质处质点的振动方程此即波动方程；点的振动方程此即波动方程； 若知道波长若知道波长 ，则从相位上考虑可直接写出波线上任意，则从相位上考虑可直接写出波线上任意x处质点的振动方程此即波动方程；处质点的振动方程此即波动方程；、波动方程的建立、波动方程的建立、波动方程的建立、波动方程的建立两类问题：两类问题： 这类问题通常根据题给的波形曲线，先写出原点处质点这类问题通常根据题给的波形曲线，先写出原点处质点的振动方程，再写波动方程。关键是找初相的振动方程，再写波动方程。关键是找初相 ，原点处质，原点处质点的振动方程写出后即回到了第一类问题。点的振动方程写出后即回到了第一类问题。（1）已知波线上某点（含坐标原点）的振动方程，波的传播已知波线上某点（含坐标原点）的振动方程，波的传播方向，波速方向，波速u（或波长（或波长 ），写波动方程），写波动方程（2）已知某时刻（含已知某时刻（含t = 0 时刻）的波形曲线，波的传播方向，时刻）的波形曲线，波的传播方向，波速波速u（或波长（或波长 ），写波动方程），写波动方程广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结 已知已知u =20 m/s, 波向波向x负方向传，负方向传，A点的振动方程为点的振动方程为（1）以）以A点为原点的波动表达式点为原点的波动表达式第一类问题：第一类问题： 教材教材P229页页7-19题题（2）以）以B点为原点的波动表达式点为原点的波动表达式广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结 已知已知t =2 s时刻的波形曲线时刻的波形曲线, 波向波向x负方向传，写负方向传，写o点的振动方程点的振动方程设设o点的振动表达式为点的振动表达式为第二类问题：第二类问题：P226页第页第7-5题题由图知：由图知：A=0.5 m，t = 2 s时刻，原点处质点在平衡位置且向时刻，原点处质点在平衡位置且向y轴轴正向运动，画出该时刻旋转矢量的位置如图正向运动，画出该时刻旋转矢量的位置如图o点的振动表达式点的振动表达式即即故故t = 2 s时刻时刻广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结例例1 平面简谐波以波速平面简谐波以波速u向向x 负方向传播，负方向传播，t = 2 s时刻的波形如图，时刻的波形如图，（1）求波动表达式；（）求波动表达式；（2）P 处质点的振动方程。处质点的振动方程。解：解：先写原点处质点的振动方程先写原点处质点的振动方程设设故故由图知：由图知：A，t = 2 s时刻，原点处质点在平衡时刻，原点处质点在平衡位置且向位置且向y轴正向运动，画出该轴正向运动，画出该时刻旋转矢量的位置如图时刻旋转矢量的位置如图即即t = 2 s时刻时刻广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结波动方程波动方程（2）P 处质点的振动方程，处质点的振动方程， 代入上式代入上式广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结7-24 平面简谐波沿平面简谐波沿x 轴正方向传播，波的周期轴正方向传播，波的周期T = 2 s, t = 1/3 s时刻的波形如图，求时刻的波形如图，求: (1) O点和点和P点的振动表达式点的振动表达式;（2）该波）该波的波动表达式；（的波动表达式；（3）P 点离点离O点的距离。点的距离。解：解：(1) 设原点处质点的振动方程设原点处质点的振动方程由题设条件知由题设条件知所以所以O点的振动方程点的振动方程广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结(2) 波动方程波动方程所以所以P点的振动方程点的振动方程设设P点处质点的振动方程为点处质点的振动方程为广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结该相位应与该相位应与式中确定的相位相同式中确定的相位相同, 有有(3) 设设P点坐标为点坐标为 , 代入代入得得P处质点在处质点在 t 时刻的相位时刻的相位求得求得广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结4 4、波的能量、波的能量、波的能量、波的能量（了解两点）（了解两点）（了解两点）（了解两点）（1 1）波动中，任意时刻，任一体元的动能和势能相等，相）波动中，任意时刻，任一体元的动能和势能相等，相 位相同，总能不守恒。位相同，总能不守恒。（2 2）质元在平衡位置，形变最大，动能和势能最大；）质元在平衡位置，形变最大，动能和势能最大；质元在质元在 最大位移处，形变最小，动能和势能最小（为最大位移处，形变最小，动能和势能最小（为0）。答案：答案：例例3 t 时刻的波形如图所示，则该时刻能量为最大值的媒质时刻的波形如图所示，则该时刻能量为最大值的媒质质点的位置是？质点的位置是？广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结波的平均能量密度波的平均能量密度能流密度能流密度 在单位时间内通过垂直于波线的单位在单位时间内通过垂直于波线的单位面积上的平均波的能量。面积上的平均波的能量。W.m-2能流密度也叫能流密度也叫波的强度波的强度.广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结5 5、波的叠加（波的干涉）、波的叠加（波的干涉）、波的叠加（波的干涉）、波的叠加（波的干涉）相干波源的条件：相干波源的条件：频率相同，振动方向相同，相位相同或相位差恒定。频率相同，振动方向相同，相位相同或相位差恒定。干涉加强减弱的条件：干涉加强减弱的条件：当当 时时加强加强减弱减弱加强加强减弱减弱波程差波程差广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结6 6、驻波、驻波、驻波、驻波（波干涉的特例）（波干涉的特例）（波干涉的特例）（波干涉的特例）（1）驻波的形成及条件）驻波的形成及条件（2）驻波方程）驻波方程 两振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播时两振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播时, , 叠加的结果便形成驻波。叠加的结果便形成驻波。弦线上形成驻波的条件弦线上形成驻波的条件 坐标原点取在某波腹处，且坐标原点取在某波腹处，且 处质点向上达正最大位处质点向上达正最大位移的时刻开始计时移的时刻开始计时波腹的位置波腹的位置波节的位置波节的位置广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结任意坐标原点和任意计时起点的驻波方程任意坐标原点和任意计时起点的驻波方程相邻两个波节（或波幅）的间距为相邻两个波节（或波幅）的间距为设入射波和反射波方程分别为：设入射波和反射波方程分别为：合成波即驻波波函数合成波即驻波波函数(3) (3) 驻波中各点的相位驻波中各点的相位驻波中各点的相位驻波中各点的相位 驻波分段振动驻波分段振动, 相邻两波节之间的各点振动相位始终相同，相邻两波节之间的各点振动相位始终相同，任一个波节两边的点任一个波节两边的点, 振动相位始终反相振动相位始终反相. 驻波没有振动状驻波没有振动状态或相位的传播。态或相位的传播。P227页，选页，选7-9题题广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结（4 4）半波损失）半波损失）半波损失）半波损失 波从波疏介质入射到波密介质界面反射时波从波疏介质入射到波密介质界面反射时, 反射波有半波反射波有半波损失损失.波在固定端反射时有半波损失波在固定端反射时有半波损失, 反射点为波节反射点为波节;波在自由端反射时无半波损失波在自由端反射时无半波损失, 反射点为波腹。反射点为波腹。解：解：设设o点的振动方程为点的振动方程为入射入射反射反射t = 0时，时，例例4 如图一频率为如图一频率为 ，振幅为，振幅为 A的的 平面简谐波沿平面简谐波沿x 轴正方向轴正方向传播，在传播，在t=0时该波在原点时该波在原点o处引起的振动使媒质元由平衡位置处引起的振动使媒质元由平衡位置向向y负方向运动，负方向运动，BC为波密媒质的反射面为波密媒质的反射面, 波由波由P点反射点反射, 已知已知 ，设反射波的振幅不衰减，求（，设反射波的振幅不衰减，求（1）入射）入射波与反射波的波动方程。（波与反射波的波动方程。（2）D点的振动方程。点的振动方程。广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结故入射波表达式为故入射波表达式为P点入射波引起的振动为点入射波引起的振动为入射入射反射反射P点反射有一相位突变点反射有一相位突变所以，反射波表达式为所以，反射波表达式为合成波表达式为合成波表达式为广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结例例5 如图一平面简谐波沿如图一平面简谐波沿x 轴正方向传播，轴正方向传播，BC为波密媒质的为波密媒质的反射面反射面, 波由波由P点反射点反射, ,在在t=0时时, o处质处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动。求点的合振动是经过平衡位置向负方向运动。求D点处入射波与点处入射波与反射波的合振动方程。（设入射波和反射波的振幅皆为反射波的合振动方程。（设入射波和反射波的振幅皆为A，频，频率为率为 ）入射入射反射反射解：解：取取o点为坐标原点，设入射波表达点为坐标原点，设入射波表达式为式为则反射波表达式则反射波表达式将将D点坐标点坐标 代入得代入得D点振动表达式点振动表达式广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结入射入射反射反射由题设由题设t = 0时，时，x = 0处质点处质点合成波（驻波）表达式为合成波（驻波）表达式为故，故，D点处合振动的表达式为点处合振动的表达式为广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结入射入射反射反射故反射波表达式为故反射波表达式为注：注：广东工业大学物理期末复习专用-振动波动小结