第五章第五章 概率基础概率基础烁饵刽诌崩倦扔氛洋宝无颓排纲躇良拜挟粮语哎斗须馋活皮讨鹰溺溜寺譬第五章概率基础第五章概率基础1本章主要内容本章主要内容n概率论的发展史概率论的发展史n随机事件随机事件(Random Events)(Random Events)n概率的统计定义概率的统计定义n古典概型古典概型(Classical Probability)(Classical Probability)n几何概率（几何概率（Geometric Probability)Geometric Probability)n条件概率条件概率(Conditional Probability)(Conditional Probability)n事件的独立性事件的独立性(Independence of Events)(Independence of Events)鸳消庭促撞变男如郊己颗巧伍舍啸颠忙藉癌贩铁毖疟拧滇呐奔绦寐跟廊嚣第五章概率基础第五章概率基础2第一节第一节 随机事件随机事件一、随机试验一、随机试验(Random experiment) (Random experiment) 为研究随机现象规律性，往往进行试验。例如：为研究随机现象规律性，往往进行试验。例如：1.抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。2.将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。3.抛一枚骰子，观察出现的点数。抛一枚骰子，观察出现的点数。4.记录车站售票处一天内售出的车票数。记录车站售票处一天内售出的车票数。5.在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。6.记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。泵故厄透川粕涧载杠努畦刹绢馆佣谢东掳斋鸦展机秃度论烷舆考庭沉瑟倔第五章概率基础第五章概率基础3 这些试验都具有以下的特点：这些试验都具有以下的特点：n可重复性：可重复性：可在相同条件下重复进行可在相同条件下重复进行n可预知性：可预知性：试验可能结果不止一个试验可能结果不止一个, ,但能确定但能确定 所有所有的可能结果结果不止一个，并且能事先明确试验的的可能结果结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；所有可能结果；n随机性：随机性：一次试验之前无法确定具体是哪种一次试验之前无法确定具体是哪种 结果结果出现。出现。 在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为为随机试验随机试验(Random experiment)(Random experiment)，表示为，表示为E E 。 汉悍孺诗泻芳绵篓暑饭氓老瘫吏蔽曙悠怂傍袖众众茅效恰遂垣看议纳艰尘第五章概率基础第五章概率基础4二、事件（二、事件（Event)n必然事件必然事件 ：某件事情在一次试验中一定发生：某件事情在一次试验中一定发生 如：如： “ “在一副扑克牌中任摸在一副扑克牌中任摸1414张，其中有两张花色是不同张，其中有两张花色是不同” ” 就是必然事件。就是必然事件。n不可能事件不可能事件 ：某件事情在一次试验中一定不发生：某件事情在一次试验中一定不发生 如：如：“在一副扑克牌中任摸在一副扑克牌中任摸1414张，其中没有两张花色是不同的张，其中没有两张花色是不同的”就是不可能事件。就是不可能事件。n随机事件（随机事件（A,B,C,) A,B,C,) ：某件事情在一次试验中既可：某件事情在一次试验中既可能发生，也可能不发生能发生，也可能不发生 如：如：“掷一枚硬币，出现正面朝上掷一枚硬币，出现正面朝上” “ “扔一枚骰子，出想扔一枚骰子，出想6 6点点”攘括住插疤惑畴败韭迹橡躁拔欠琅来呸爱随持整兴行胆误阐娄拈累蚕溜稼第五章概率基础第五章概率基础5 基本事件（基本事件（基本事件（基本事件（ ）：试验的每一个结果都是一个事件，这：试验的每一个结果都是一个事件，这些事件不可能再分解成更简单的事件些事件不可能再分解成更简单的事件一般的事件由基本事件复合而成。一般的事件由基本事件复合而成。 例如：考察掷一个骰子一次的试验，可能发生的结果有例如：考察掷一个骰子一次的试验，可能发生的结果有6种种“掷得掷得1 1点点”“掷得掷得2 2点点”“掷得掷得3 3点点”“掷得掷得4 4点点”“掷得掷得5 5点点”“掷得掷得6 6点点”“掷得奇数掷得奇数”“掷得偶数掷得偶数”基本事件基本事件复合事件波饺象折烘筹碧中鞠迷际瓮刀抬守氮什挎躲惑帐算轴铁收跌借慧俭徽扼粥第五章概率基础第五章概率基础6 例例1 1 对于试验对于试验E： 将一枚硬币连抛三次，考虑正反将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况，若记面出现的情况，若记“正面正面”为为H， “ “反面反面”为为T， 则基本事件有：则基本事件有：HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH，TTT随机事件随机事件 A A“至少出一个正面至少出一个正面” ” HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH； B=“ B=“两次出现同一面两次出现同一面”=”=HHH,TTT C=“ C=“恰好出现一次正面恰好出现一次正面”=”=HTT，THT，TTH 恰否扯捷岗润违氖蔫廓麓昔澡阑厘胎谩贷尿由赶体登液攫才埋概辜站笑雇第五章概率基础第五章概率基础7n2020世纪，冯世纪，冯. .米泽斯米泽斯(Von Mises)(Von Mises)开始用集合论研究事件。开始用集合论研究事件。1. 1. 样本空间样本空间n样本点：随机试验样本点：随机试验E E的每一个可能结果的每一个可能结果n样本空间：样本点的全体，即随机试验样本空间：样本点的全体，即随机试验E E的所有可能结果组的所有可能结果组成的集合，记为成的集合，记为 。n例例1 1：掷一枚硬币，考察出现向上的面，试验的可能结果有：掷一枚硬币，考察出现向上的面，试验的可能结果有：“正面向上正面向上”，“反面向上反面向上”两个，则样本空间为：两个，则样本空间为：三、事件的集合论定义三、事件的集合论定义诱挎照哲誉欲芒拖盈灾死擒襄檀哉砂焊炎碍巾匀奶止佣扑擂缔险珠殖焰炭第五章概率基础第五章概率基础82. 2. 事件的集合论定义事件的集合论定义n 事件可以看作是样本空间的子集事件可以看作是样本空间的子集 事件事件A不发生不发生 不是不是A中的点中的点事件事件A发生发生 是是A中的点中的点事件事件A 子集子集A A基本事件、样本点基本事件、样本点 点（元素）点（元素）不可能事件不可能事件 空集空集必然事件、样本空间必然事件、样本空间 空间空间概率论解释概率论解释集合论解释集合论解释符号符号惧朔动描歇屎循室盐释迭摆录确樊直瘫撤妻财诌绚紫惋瓷韭撤放台萧殴沁第五章概率基础第五章概率基础9（1 1）事件的包含与相等）事件的包含与相等n若若“A发生必导致发生必导致B发生发生” 记为记为n若若 , ,则则 称事件称事件A与与B相等相等, ,记为记为A=B.（2 2）事件的和（并）事件的和（并）n“事件事件A A与与B B至少有一个发生至少有一个发生”,”,记作记作ABAB3 3、事件间的关系与运算、事件间的关系与运算迪戚比植粮耐迭腮崎电馅程走盼影意潮孕吱嗅卤疹弯哄吗奸达右阔士油脊第五章概率基础第五章概率基础10（3 3）事件的积）事件的积n事件事件A A与与B B同时发生，记作同时发生，记作 ABABnn n个事件个事件A1,A2,An同时发生，记同时发生，记作作 A1A2An （4 4）事件的差）事件的差n事件事件A A发生而发生而B B不发生不发生, ,记为记为A AB Bn思考：何时思考：何时A-B=?何时何时A-B=A？宽窥搏姿炙悔斯秃领挨雪欠寂答廖晓疫瘤冀事茵羞坪循灸莹潞谰汞梳碍蔽第五章概率基础第五章概率基础11（5 5）互斥事件）互斥事件n若事件若事件A A与与B B不能同时发不能同时发生生, ,即即AB=,AB=,则则 称事件称事件A A与与B B互斥互斥, ,或互不相容或互不相容 （6 6）逆事件）逆事件n设设A，B为为两两事事件件, ,若若AB=且且AB=, ,则则称称事事件件A与与B互互为为逆逆事事件件或对立事件或对立事件. . 记记作作 ，称称为为B是是A的对立事件的对立事件A驶廷杨之缔二祸耍披楼蠕刨宫拾庶藉芯盎蓬荚伶侦橙翱蜜单漱御铜武惦冒第五章概率基础第五章概率基础12际伏悠娩树闰襄念沉耍呀察哩徘沧儡归棉攻俩等挎俊盯腮褥刺舰颗彭舀狮第五章概率基础第五章概率基础13解：解：nA1A1： “ “至少有一人命中目标至少有一人命中目标”：nA2A2： “ “恰有一人命中目标恰有一人命中目标”：nA3A3：“恰有两人命中目标恰有两人命中目标”：nA4A4：“三人均命中目标三人均命中目标”：nA5A5：“三人均未命中目标三人均未命中目标”：nA6A6： “ “最多有一人命中目标最多有一人命中目标”：例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，分别表示甲、乙、丙命中目标， 试用试用A、B、C的运算关系表示下列事件：的运算关系表示下列事件：凝取柜扦再郧钥郎砸汐仲烹镣猴嫩攻谓概堪舞阶有器触知永辉戴骂崎氰募第五章概率基础第五章概率基础14第三节第三节 概率的统计定义概率的统计定义一、一、 事件的频率事件的频率(Frequency)(Frequency) 1. 定义定义：设设E为任一随机试验，为任一随机试验，A为其中为其中 任一事件，任一事件，在相同条件下，把在相同条件下，把E独立的重复做独立的重复做n次，次，nA表示事件表示事件A在这在这n次试验中出现的次数次试验中出现的次数(即频数即频数)。 比值比值 称为事件称为事件A在这在这n次试验中出现次试验中出现的频率的频率(Frequency).抉授搐辩危文蹋寡镜胰挑痛方照叁纷糙碘合狰伯呛湘干扦柯萤莆词漓澄惰第五章概率基础第五章概率基础152.频率的性质频率的性质n非负性：非负性：0fn(A)1；n规范性：规范性：fn()1，fn()=0；n可可加加性性：若若AB，则则 fn(AB) fn(A) fn(B).n稳定性：当试验次数n增大时，频率fn(A) 逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件A的概率. . 巡吉佑贵圾咀纪浪承终穷它陛穷伯阎钻霖阔纽涎雏听奋胞特呢盯牧哺秩挟第五章概率基础第五章概率基础16实践证明：频率稳定于概率实践证明：频率稳定于概率（1 1）历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。硬币时，出现正反面的机会均等。 畴峭憋秉嘱唯弯功满蝎婪财是敞布茨贴银库遣甄少楔浑逮晓肉甜统熊旺脏第五章概率基础第五章概率基础17（2 2）男性别比率稳定于）男性别比率稳定于0.50.5n一个孕妇生男生女偶然，但是就整个国家和大城市而言，从人口普查资料中看到，男性占全体人数的比例几乎年年不变，约为0.50.5。人口普查人口普查总人数（亿）总人数（亿）男性人数男性人数比例比例第一次（第一次（19531953）5.825.823.023.020.5180.518第二次（第二次（19641964）6.956.953.573.570.5130.513第三次（第三次（19821982）10.0810.085.195.190.5150.515第四次（第四次（19901990）11.3411.345.855.850.5160.516第五次（第五次（20002000）12.6612.666.536.530.5160.516衅倦丫书沮多人秦导支墨微耿烦愈笼漾先涛株饥绳扭够鹊奶纂垛陕祁赐胰第五章概率基础第五章概率基础18定义：设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事定义：设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事件的发生频率稳定在某数附近摆动，则称该数为事件件的发生频率稳定在某数附近摆动，则称该数为事件的概率的概率(Probability)(Probability)，记为：，记为：注：注：1 1 事件出现的概率是事件的一种属性。也就是说完事件出现的概率是事件的一种属性。也就是说完全决定于事件本身的结果，是先于试验客观存在的。全决定于事件本身的结果，是先于试验客观存在的。 2 2 概率的统计定义只是描述性的。概率的统计定义只是描述性的。 3 3 通常只能在充分大时，以事件出现的频率作为事通常只能在充分大时，以事件出现的频率作为事件概率的近似值（件概率的近似值（monto calomonto calo方法的基本思想）方法的基本思想） 二、二、 概率的统计定义概率的统计定义恫堰石逸讲涡瞄貌霄沁慢剥溪下袁署荡辛分伤今措侈蛤夷钡哟植佛诱狙痛第五章概率基础第五章概率基础19第四节第四节 概率的公理化定义概率的公理化定义n1.1.定定义义：若若对对随随机机试试验验E E所所对对应应的的样样本本空空间间中中的的每每一一事事件件A A，均赋予一实数，均赋予一实数P(A)P(A)，集合函数，集合函数P(A)P(A)满足条件：满足条件： n(1) (1) 非负性：非负性：P(A) 0P(A) 0；n(2) (2) 规范性：规范性：P()P()1 1； n(3) (3) 可列可加性：可列可加性： 设设A A1 1，A A2 2，是一列两两互不相容的事件，是一列两两互不相容的事件， 即即A Ai iA Aj j，(ij)(ij)，i,ji,j1,2, 1,2, 有有 P( A P( A1 1AA2 2 ) ) P(A P(A1 1) ) P(AP(A2 2)+)+n 则称则称P(A)P(A)为事件为事件A A的概率。的概率。碰竞债状含假业原银糜呈著管堵栓筹傣罕机凿宽砧用禁真耸俺川稚笨踪懦第五章概率基础第五章概率基础202. 2. 概率的性质概率的性质 毕满宙痒伴岛貌搀怀砾哭续喜格肇顽荤团幽俺予栏别情慨半肛心嗽堕宁灼第五章概率基础第五章概率基础21迸足罗左返避拐御撬麻迄裴樟塘父琐巍皋扬煎丢叁虐惮实锭牡雪医汐哲跳第五章概率基础第五章概率基础22 例例. .在在1 11010这这1010个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求 （1 1）取到的数能被）取到的数能被2 2或或3 3整除的概率，整除的概率， （2 2）取到的数即不能被）取到的数即不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率， （3 3）取到的数能被）取到的数能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。 n解解: :设设A=“取到的数能被取到的数能被2整除整除”;B=“取到的数能被取到的数能被3整除整除”。则则nP(A)=1/2P(B)=3/10P(AB)=1/10n(1)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=7/10n(2)n(3)P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/2-1/10=2/5n女佣蕉宠电韧接店肛塔弛坑冬显背弦苦缕击稳灯蚤让尉盯月珍养卫捕猎铁第五章概率基础第五章概率基础23第五节第五节 古典概型古典概型n “古典概型古典概型”是最简单、最直观的概率模型。是最简单、最直观的概率模型。n 定义：定义：若某实验若某实验E满足满足：n1.1.有限性：样本空间有限性：样本空间1,2,nn2.2.等可能性等可能性：P(1)=P(2)=P(n)。则称则称E为为古典概型古典概型也叫也叫等可能概型等可能概型。 蜘侈崇没泻亦粟贞疚浚簧沁岩竖延自它醒猾骨嫩培冶弓兰欲垛视娜姓秤良第五章概率基础第五章概率基础24 设在古典概型中，试验设在古典概型中，试验E E共有共有n n个基本件，个基本件，事件事件A A包含了包含了m m个基本事件，则事件个基本事件，则事件A A的概率为的概率为 二、概率的古典定义二、概率的古典定义患揍星母过倪吁羞谎耪剩傈脊榜秽箭贩空堆件宪瘫贰少劝鹤尊筛樱涝枯肿第五章概率基础第五章概率基础25例：任意投掷两枚均匀的硬币，求例：任意投掷两枚均匀的硬币，求A “恰好发恰好发生一个正面向上生一个正面向上”的概率。的概率。n解：试验的所有结果：解：试验的所有结果： n（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）n根据硬币的均匀性、对称性、抛的任意性，四种结果具有根据硬币的均匀性、对称性、抛的任意性，四种结果具有等可能性，这是一个古典概型。等可能性，这是一个古典概型。nA A（正、反）（反、正）（正、反）（反、正）n所以，概率所以，概率P=2/40.5恃棉母藐吩危挤辖惹涵梨缀犬睡抽犬虱泥凝陈饰克簇蛰公正款而挪甭评松第五章概率基础第五章概率基础26例：有三个子女的家庭，设每个孩子是男是女的例：有三个子女的家庭，设每个孩子是男是女的概率相等，则至少有一个男孩的概率是多少概率相等，则至少有一个男孩的概率是多少? ?n解解：设设H=“某某个个孩孩子子是是男男孩孩”，A=“至至少少有有一一个个男男孩孩” ” n试验所有结果为：试验所有结果为：HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT n事件事件A=HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT n从而，从而，n=8，m=7nP(A)=m/n=7/8 哲静酮宪减馒居盯弗札眼宛肿道真侠销南规援浇氏痉渠埃狄菱强有汞账俗第五章概率基础第五章概率基础271.1.几何概型几何概型：若一个试验具有两个特征：若一个试验具有两个特征： （1 1）每次试验结果有无限个，且全体可以用一个有度量的）每次试验结果有无限个，且全体可以用一个有度量的 几何区域来表示几何区域来表示 （2 2）每次试验的各种结果等可能的。）每次试验的各种结果等可能的。 则称这样的试验是几何概型。则称这样的试验是几何概型。2.2.几何概率：几何概率：设几何概型的样本空间可表示成有度量的区域，设几何概型的样本空间可表示成有度量的区域，记为记为 ，事件，事件A A所对应的区域记为所对应的区域记为A A，则定义事件，则定义事件A A的概率为：的概率为：第六节第六节 几何概型几何概型（一）几何概型的定义（一）几何概型的定义船登编贤佃视指娩桩荐枪冤静儒蔫敷醛扛窗至惯苦宝拒毖峨甸醉弗别播置第五章概率基础第五章概率基础28n例例 某人发现他的表停了，他打开收音机想听电台报时，某人发现他的表停了，他打开收音机想听电台报时，试求它等待的时间不超过试求它等待的时间不超过1010分钟的概率。分钟的概率。 n解：因为电台每隔解：因为电台每隔6060分钟分钟( (即即1 1小时小时) )报时一次报时一次, ,因此，可认因此，可认为此人打开收音机的时刻处在为此人打开收音机的时刻处在00，6060上任何一点都是等上任何一点都是等可可 能的，其样本点有无限多个，样本空间就是区间能的，其样本点有无限多个，样本空间就是区间=0=0，6060。设事件。设事件A=“A=“等待时间不超过等待时间不超过1010分钟分钟”，则导致事，则导致事件件A A发生的样本点是打开收音机的时刻处于区间发生的样本点是打开收音机的时刻处于区间5050，6060上的任一点。上的任一点。 这个区间长度为这个区间长度为10(10(单位单位: :分分) ) 。而。而的长的长度为度为 60( 60(单位单位: :分分) )。由几何概率的定义，。由几何概率的定义，脐择叶蕊符树曳苯旋她绕惋匆宝传怀踏春敌戊钥炔揣坐版报君桶暴卫冈台第五章概率基础第五章概率基础29n例（布丰问题）平面上有距离为例（布丰问题）平面上有距离为d d的一族平行线，向此平面任的一族平行线，向此平面任意投掷一长为意投掷一长为l(ld)l(l0P(B)0，则事件，则事件B B已经发生的条件下，事件已经发生的条件下，事件A A发生的条件概率发生的条件概率P(B|A)P(B|A)定义为：定义为：奉垄兽激腾见岿数脏夏仅涅昂停骗望攒也妹佐圈侵挛邮牙踪禹殴家捌越秘第五章概率基础第五章概率基础33例：甲乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录知道例：甲乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录知道一年中雨天的比例占一年中雨天的比例占2020，乙市占，乙市占1414，两地同时下雨占，两地同时下雨占1212，试求：试求：（1 1）甲市下雨的条件下，乙市出现雨天的概率）甲市下雨的条件下，乙市出现雨天的概率（2 2）乙市出现雨天的条件下，甲市下雨的概率）乙市出现雨天的条件下，甲市下雨的概率（3 3）甲市或乙市下雨的概率）甲市或乙市下雨的概率n解：记解：记A=“A=“甲市出现雨天甲市出现雨天”，B=“B=“乙市出现雨天乙市出现雨天”n根据题意，根据题意，P(A)=0.20P(A)=0.20，P(B)=0.14P(B)=0.14，P(AB)=0.14P(AB)=0.14n从而，在乙市下雨的条件下，甲市有从而，在乙市下雨的条件下，甲市有85.785.7的可能要下雨，可能性很大。的可能要下雨，可能性很大。因此，如从乙市出差到甲市，又适逢乙市下雨，那么最好携带雨具。因此，如从乙市出差到甲市，又适逢乙市下雨，那么最好携带雨具。伊辩程恼损位进醚拷返东勃迟寅截苯掐谁连灸焉榨哺张残摆春羚胡释窃俯第五章概率基础第五章概率基础34兴汤沽澈枕垮叮瘪饰责侨方迄椅卖匣格官咆躲铃示鱼欠造蝎拭钠呵渭秘啸第五章概率基础第五章概率基础35n设设A A、BB，P P（A A）0,0,则则nP(AB)P(A)P(B|A). 上上式式就就称称为为事事件件A A、B B的的概率乘法公式。概率乘法公式。n上式还可推广到三个事件的情形：上式还可推广到三个事件的情形：n P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). . n一般地，有下列公式：一般地，有下列公式：nP(A1A2An)(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1)二、乘法公式二、乘法公式鲍慕纤绩匠礼腕礼聚青尺神撅浆序葛哲婚富了缅纤州逝昨镇碍致幂整闯禾第五章概率基础第五章概率基础36子斋寝狮翻访颖凿幅钓章鸯树徽轿交戮履淘狭吼蓑肇陆头媳擦袍同拎京吾第五章概率基础第五章概率基础37第八节第八节 事件的独立性事件的独立性霄又萄棕峨嫂庶舀窿些贪脯橡守传装场常条嵌汞盎趟骤好姑贿棕髓像移膜第五章概率基础第五章概率基础38刑总语驹控以跌览吁芥盂由八靳存撅升梅陆疑纵轴惺瞄剿作碴恫普噬蒙赁第五章概率基础第五章概率基础39例例 两门高射炮彼此独立的射击一架敌机，设甲两门高射炮彼此独立的射击一架敌机，设甲炮击中敌机的概率为炮击中敌机的概率为0.90.9，乙炮击中敌机的概率为，乙炮击中敌机的概率为0.80.8，求敌机被击中的概率？，求敌机被击中的概率？梗辕卤易滨未纱芍种绒闻务鸭缩墒罩壕玛爬及瞧瞻柄怕炸馒验燥害及狞肇第五章概率基础第五章概率基础40