第十七章第十七章 勾股定理勾股定理北京市酒仙桥第一中学 冯永新17.1 17.1 勾股定理勾股定理第第1 1课时课时数学家曾建议用这个图作为与数学家曾建议用这个图作为与“外外星人星人”联系的信号联系的信号.你知道这是为什么吗？你你见见过过这这个个漂漂亮亮的的图图案案吗吗？这个图案有什么意义？这个图案有什么意义？一般三角形一般三角形三个内角和是三个内角和是180，两边之和大于第三边，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边两边之差小于第三边.直角直角三角形三角形两个锐角互余两个锐角互余.直角三角形的三边直角三角形的三边a、b、c有没有等量关系呢？有没有等量关系呢？拼图游戏拼图游戏1. 有八个直角边长为有八个直角边长为1的等腰直角三角形，你的等腰直角三角形，你能用它们拼出如图所示的三个正方形吗？能用它们拼出如图所示的三个正方形吗？ ABC2. 请你计算这三个正方形的请你计算这三个正方形的面积，它们之间存在什么数面积，它们之间存在什么数量关系？能否用一个等式表量关系？能否用一个等式表示出来？示出来？即：即：A、B、C的面积有什么关系？的面积有什么关系？SA+SB=SCABC3由上面的条件可知，这三由上面的条件可知，这三个正方形的边长分别是个正方形的边长分别是1、1和和2，那么刚才的面积关系可以，那么刚才的面积关系可以用一个等量关系式来描述吗？用一个等量关系式来描述吗？请你写出这个等式请你写出这个等式. 两条直角边的平方和等于斜边的平方两条直角边的平方和等于斜边的平方. SA+SB=SC 这里的等腰直角三角形如果腰长这里的等腰直角三角形如果腰长不是不是1，而是其他数，还会有刚才的，而是其他数，还会有刚才的结论吗？结论吗？ 是不是所有的直角三角形是不是所有的直角三角形都是这样的呢？都是这样的呢？（1）观察右边）观察右边两幅图：两幅图： （2）填表（每个小正方形的面积为单位）填表（每个小正方形的面积为单位1）：）：A的面积的面积B的面积的面积C的面积的面积左图左图右图右图4 916 9？（3）你是怎样得到）你是怎样得到正方形正方形C的面积的？的面积的？C CBCA734“补补”的方法的方法SC C = S大正方形大正方形 - 4S小直角三角形小直角三角形 C CBCA“割割”的方法的方法34SC C = 4S小直角三角形小直角三角形 + S小正方形小正方形“拼拼”的方法的方法你知道是怎样你知道是怎样拼的吗？拼的吗？（1）观察右边）观察右边两幅图：两幅图： （2）填表（每个小正方形的面积为单位）填表（每个小正方形的面积为单位1）：）：A的面积的面积B的面积的面积C的面积的面积左图左图右图右图4 916 91325A的面积的面积B的面积的面积C的面积的面积左图左图右图右图4 916 91325根据表中根据表中数据，你数据，你得到了什得到了什么？么？（1）你能用直角三角形的两直角边的长）你能用直角三角形的两直角边的长a、b和斜边长和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？来表示图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ABCCBA 直角三角形的两条直角边的平方和等于直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方斜边的平方. 如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，A、B和和C所对的三条边分别是所对的三条边分别是a、b、c.求证：求证： 请先用手中的全等直角三角形按图示进行摆请先用手中的全等直角三角形按图示进行摆放，然后根据图示的边长，选择其中一个图形，放，然后根据图示的边长，选择其中一个图形，分析其面积关系后证明分析其面积关系后证明.图图1图图2图图3自主证明自主证明图1图3解：解：图图2自主证明自主证明 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为斜边为c，那么，那么即即 直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方.abc表示为：RtABC中，C=90， 则定理：定理： 我国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国古代数学家赵爽在他所我国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国古代数学家赵爽在他所著的著的勾股方圆图注勾股方圆图注中，用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形中，用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形来证明的来证明的.每个直角三角形的面积叫每个直角三角形的面积叫朱实朱实，中间的正方形面积叫中间的正方形面积叫黄实黄实，大正，大正方形面积叫方形面积叫弦实弦实，这个图也叫，这个图也叫弦图弦图.年的国际数学家大会将此图作年的国际数学家大会将此图作为大会会徽为大会会徽毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（PythagorasPythagoras）是古）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的希腊数学家，他是公元前五世纪的人，人，比商高晚出生五百多年比商高晚出生五百多年. .希腊另希腊另一位数学家欧几里德（一位数学家欧几里德（EuclidEuclid，是，是公元前三百年左右的人）在编著公元前三百年左右的人）在编著几何原本几何原本时，认为这个定理是时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为把这个定理称为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了，以后就流传开了. .美国第二十任总统加菲尔德的证法在数学史上被传为佳话美国第二十任总统加菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 .人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为就把这一证法称为“总统总统”证法证法.有趣的总统证法有趣的总统证法bcabcaABCD在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾勾”，下半部分称为下半部分称为“股股”. .我国古代学者把直角三角形较短的直角边称我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为为“勾勾”，较长的直角边称为，较长的直角边称为“股股”，斜边称为，斜边称为“弦弦”. .勾勾股股勾股定理的由来这个定理在中国又称为这个定理在中国又称为“商高定理商高定理”，商高是公，商高是公元前十一世纪的中国人元前十一世纪的中国人. .当时中国的朝代是西周，当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期是奴隶社会时期. .在中国古代大约是战国时期西汉在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作的数学著作周髀算经周髀算经中记录着商高同周公的中记录着商高同周公的一段对话一段对话. .商高说：商高说：“故折矩，故折矩，勾广三，股修四，勾广三，股修四，经隅五经隅五. .”商高那段话的意思就是说：当直角三角商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为形的两条直角边分别为3 3（短边）和（短边）和4 4（长边）时，（长边）时，径隅（就是弦）则为径隅（就是弦）则为5 5. .以后人们就简单地把这个以后人们就简单地把这个事实说成事实说成“勾三股四弦五勾三股四弦五”. .由于勾股定理的内容由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做做“商高定理商高定理”. .1.1.成立条件成立条件： 在直角三角形中；在直角三角形中；3.3.作用作用：已知直角三角形任意两边长，：已知直角三角形任意两边长， 求第三边长求第三边长. .2.2.公式变形公式变形: :abc如果如果直角三角形直角三角形两直角边长分别为两直角边长分别为a、b, ,斜边长为斜边长为c，那，那么么勾勾 股股 定定 理理（注意（注意：哪条边是斜边哪条边是斜边）1. 已知已知RtABC中中,C=90,若若a=2，c=5，求求b.2. 在在RtABC中，中，B90，a=3，b=4，求，求c.3. 教材第教材第24页练习第页练习第2题题.本课我们学习了哪些知识？本课我们学习了哪些知识？用了哪些方法？用了哪些方法？你有哪些体会？你有哪些体会？ 1. 请你利用今天学习的面积法证明教材习请你利用今天学习的面积法证明教材习题题17.1第第13题题.2. 课下每个同学制作一张勾股定理的数学课下每个同学制作一张勾股定理的数学小报，并自己上网查阅与勾股定理有关的小报，并自己上网查阅与勾股定理有关的知识，证明方法和应用等，然后小组交流、知识，证明方法和应用等，然后小组交流、展示展示.