22.2 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程 问题问题1: 如图以如图以40m/s的速度将小球沿与地面成的速度将小球沿与地面成30角的角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度空气阻力，球的飞行高度h（单位：（单位：m）与飞行时间）与飞行时间t（单（单位：位：s）之间具有关系）之间具有关系h = 20t5t 2考虑以下问题：考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？为什么？（4）球从飞出到落地需要用多少时间？）球从飞出到落地需要用多少时间？ 所以可以将问题中所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值的值解：（解：（1）解方程）解方程1520t5t 2t 24t3=0t1=1，t2=3当球飞行当球飞行1s和和3s时，它的高度为时，它的高度为15m分析：由于球的飞行高度分析：由于球的飞行高度h与飞行时间与飞行时间t的关系是二次函的关系是二次函数数h=20t5t 2t1=1st2=3s15m15m（2）解方程）解方程2020t5t 2t 24t4=0t1=t2=2当球飞行当球飞行2s时，它的高度为时，它的高度为20mt1=2s20m（3）解方程）解方程20.520t5t 2t 24t4.1=0因为（因为（4）244.10，所以方程无解，所以方程无解球的飞行高度达不到球的飞行高度达不到20.5m20m（4）解方程）解方程020t5t2t24t=0t1=0,t2=4当球飞行当球飞行0s和和4s时，它的高度为时，它的高度为0m，即，即0s时球从地面发出，时球从地面发出，4s时球落时球落回地面回地面0 问题问题2：(1) 已知二次函数已知二次函数y = x24x的值为的值为3，求自变量，求自变量x的值。的值。解一元二次方程解一元二次方程 （即（即x24x+3=0）x24x=3(2) 解方程解方程x24x+3=0 已知二次函数已知二次函数 的值为的值为0，求自变量，求自变量x的值的值y = x24x+3 解一元二次方程解一元二次方程 解二次函数解二次函数求一元二次方程求一元二次方程x2-4x+3=1的解的解 与已知二次函数与已知二次函数 的值的值 为为 求自变量求自变量x的值的值y=x2-4x+31 已知二次函数已知二次函数 y=-2x2- 6x +8 的值的值 为为 0 求自变量求自变量x的值的值求一元二次方程求一元二次方程 的的解解-2x2- 6x +8=0 求一元二次方程求一元二次方程x2-4x-9=3的解的解 已知二次函数已知二次函数 的值的值 为为 求自变量求自变量x的值的值y=x2-4x-93求一元二次方程求一元二次方程 x2 + 5x+6=0 的的解解与已知二次函数与已知二次函数 的值的值 为为 求自变量求自变量x的值的值y= x2 + 5x+60下列二次函数的图象与下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y = x2x2（2）y = x26x9（3）y = x2x1 （1）抛物线）抛物线y = x2x2与与x轴有两个公共点，它们的横坐标是轴有两个公共点，它们的横坐标是2，1.当当x取公共点的横坐标时，函数的值是取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程由此得出方程x2x20的根是的根是2，1. （2）抛物线）抛物线y = x26x9与与x轴有一个公共点，这点的横坐标是轴有一个公共点，这点的横坐标是3. 当当x = 3 时，函数的值是时，函数的值是0由此得出方程由此得出方程 x26x90有两个相等的实数根有两个相等的实数根3.（3）抛物线）抛物线y = x2x1与与x轴没有公共点，由此可知，方程轴没有公共点，由此可知，方程x2x10没有实数根没有实数根1y = x26x9y = x2x1y = x2x2从图像上度看：从图像上度看： 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的根的根就是抛物线就是抛物线y=ax2+bx+c与与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标例例 利用函数图象求方程利用函数图象求方程x22x20的实数根（结果保留小数的实数根（结果保留小数 点后一位）点后一位）所以方程所以方程 的实数根为的实数根为 x10.7， x22.7解：画出函数解：画出函数yx22x2的图象（下图），它与的图象（下图），它与x轴的公共点轴的公共点 的横坐标大约是的横坐标大约是0.7，2.7 （2）二次函数的图象与）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程根的三种情况：没有公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根一般地，从二次函数一般地，从二次函数y=ax2+bx+c 的图象可知的图象可知 （1）如果抛物线）如果抛物线y=ax2+bx+c 与与x轴有公共点，公共点的横坐标是轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当那么当x =x0时，函数的值是时，函数的值是0，因此，因此x = x0 就是方程就是方程 ax2+bx+c=0 的的一个根一个根