会计学1多元多元(du yun)函数微分法及其运用函数微分法及其运用第一页，共48页。2第一节 多元(du yun)函数的基本概念预备(ybi)知识多元函数(hnsh)的概念多元函数的极限多元函数的连续性小结 思考题 作业 function of many variables第八章 多元函数微分法及其应用第1页/共47页第二页，共48页。3一、预备(ybi)知识1. 平面(pngmin)点集 n 维空间一元函数平面(pngmin)点集 n 维空间实数组(x, y)的全体, 即建立了坐标系的平面称为坐标面.坐标面坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作(1) 平面点集 二元有序多元函数的基本概念 第2页/共47页第三页，共48页。4邻域(ln y) (Neighborhood) 设P0(x0, y0)是 xOy 平面(pngmin)上的一个点,几何(j h)表示：Oxy. P0多元函数的基本概念 令有时简记为称之为 将邻域去掉中心, 也可将以P0为中心的某个矩形内(不算周界)注称之为的全体点称之为点P0邻域.去心邻域.第3页/共47页第四页，共48页。5 (1) 内点显然(xinrn), E的内点属于E.多元函数的基本概念 (2) 外点如果(rgu)存在点P的某个邻域则称P为E的外点.(3) 边界点 如点P的任一邻域(ln y)内既有属于E的点,也有不属于E的点,称P为E的边界点.任意一点与任意一点集之间必有以下三种关系中的一种:设E为一平面点集,若存在称P为E的内点.E的边界点的全体称为E的边界, 记作使U(P) E = ,第4页/共47页第五页，共48页。6聚点多元函数的基本概念 如果(rgu)对于任意给定的点P的去心邻域(ln y)内总有E中的点则称P是E的聚点.例如(lr), 设点集(P本身可属于E,也可不属于E ),则P为E的内点;则P为E的边界点,也是E的聚点.E的边界为集合第5页/共47页第六页，共48页。7平面区域(qy)(重要)设D是开集. 连通(lintng)的开集称区域多元函数的基本概念 连通(lintng)的.如对D内任何两点, 都可用折线连且该折线上的点都属于D,称开集D是或开区域.如都是区域. 开集若E的任意一点都是内点,例称E为开集.E1为开集.结起来,第6页/共47页第七页，共48页。8 开区域(qy)连同其边界,称为有界区域(qy)否则(fuz)称为多元函数的基本概念 都是闭区域 .如总可以被包围在一个以原点为中心、适当大的圆内的区域,称此区域为半径 (可伸展到无限远处的区域 ).闭区域.有界区域.无界区域第7页/共47页第八页，共48页。9OxyOxyOxy Oxy有界开区域(qy)有界半开半闭区域(qy)有界闭区域(qy)无界闭区域多元函数的基本概念 第8页/共47页第九页，共48页。10n 元有序数组的全体(qunt) n 维空间中的每一个(y )元素称为(chn wi)空间中 称为该点的第k个坐标.n维空间中两点的距离定义为n 维空间中点记作及的邻域为(2) n 维空间多元函数的基本概念 n 维空间.称为即的一个点, 第9页/共47页第十页，共48页。11二、多元(du yun)函数的概念1. 二元函数(hnsh)的定义例 理想气体(l xin q t)的状态方程是 称 p为两个变量T,V 的函数,其中(1) 定义 如温度T、体积V都在变化, 则压强 p依赖多元函数的基本概念 (R为常数)其中p为压强,V为体积,T为温度.于T,V 的关系是第10页/共47页第十一页，共48页。12按着这个关系(gun x)有确定的点集D称为(chn wi)该函数称为(chn wi)该函数的则称z是x, y的定义1若变量z与D中的变量x, y之间有一个依赖关系,设D是xOy平面上的点集,使得在D内每取定一个点P(x, y)时,z值与之对应,多元函数的基本概念 记为称x, y为的数集二元(点)函数.称z为自变量,因变量,定义域,值域.第11页/共47页第十二页，共48页。13二元及二元以上(yshng)的函数统称为(2) 多元(du yun)函数定义域定义域为符合实际意义(yy)的自变量取值的全体.记为 函数 在点 处的函数值多元函数的基本概念 或类似, 可定义n元函数.多元函数.实际问题中的函数:自变量取值的全体.纯数学问题的函数:定义域为使运算有意义的第12页/共47页第十三页，共48页。14例 求下面(xi mian)函数的定义域解Oxy无界闭区域(qy)多元函数的基本概念 即定义域为第13页/共47页第十四页，共48页。15解Oxy定义域是有界半开半闭区域(qy)多元函数的基本概念 第14页/共47页第十五页，共48页。16 用联立不等式表示下列平面(pngmin)闭区域 D .圆弧直线(zhxin)解多元函数的基本概念 及第15页/共47页第十六页，共48页。172. 二元函数的几何(j h)意义 研究(ynji)单值函数二元函数的图形(txng)通常是一张多元函数的基本概念 曲面.第16页/共47页第十七页，共48页。18 的图形(txng)是双曲抛物面.多元函数的基本概念 如,由空间(kngjin)解析几何知,函数(hnsh)的图形是以原点为中心, R为半径的上半球面.又如,最后指出,从一元函数到二元函数,在内容和方法上都会出现一些实质性的差别,而多元函数之间差异不大.因此研究多元函数时,将以二元函数为主.第17页/共47页第十八页，共48页。19三、多元(du yun)函数的极限 讨论(toln)二元函数 怎样(znyng)描述呢? Oxy (1) P(x, y)趋向于P0(x0, y0)的回忆: 一元函数的极限 路径又是多种多样的.注多元函数的基本概念 方向有任意多个,Oxy第18页/共47页第十九页，共48页。20(2) 变点P(x,y) 这样(zhyng),可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义.多元函数的基本概念 总可以(ky)用来表示极限(jxin)过程:与定点P0(x0,y0)之间的距离记为不论的过程多复杂,第19页/共47页第二十页，共48页。21记作多元函数的基本概念 定义(dngy)2有成立(chngl).的极限(jxin). 设二元函数 P0(x0, y0)是D的聚点. 的定义 义域为D, 如果存在常数 A,也记作第20页/共47页第二十一页，共48页。22 说明(shumng)(1) 定义(dngy)中(2) 二元函数(hnsh)的极限也叫多元函数的基本概念 (double limit)的方式是任意的；二重极限.第21页/共47页第二十二页，共48页。23则当例证取有证毕.多元函数的基本概念 第22页/共47页第二十三页，共48页。24 相同点 多元函数(hnsh)的极限与一元函数(hnsh)的极限的一元函数在某点的极限(jxin)存在的充要定义(dngy)相同.差异为必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋而多元函数于P0时,多元函数的基本概念 相同点和差异是什么条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.第23页/共47页第二十四页，共48页。25确定(qudng)极限 关于二元函数(hnsh)的极限概念可相应地推广到n元函数(hnsh)上去.多元函数的基本概念 不存在(cnzi)的方法则可断言极限不存在;若极限值与 k 有关,(1)(2)此时也可断言找两种不同趋近方式,但两者不相等,处极限不存在.存在,沿直线第24页/共47页第二十五页，共48页。26设函数(hnsh)证明(zhngmng):当P(x, y)沿x轴的方向(fngxing)当P(x, y)沿y轴的方向也有证多元函数的基本概念 函数的极限不存在.无限接近点(0,0)时,同样,无限接近点(0,0)时,例第25页/共47页第二十六页，共48页。27函数的极限(jxin)存在且相等.当P(x, y) 沿直线(zhxin) y = kx 的方向其值随k的不同(b tn)而变化.所以,极限不存在多元函数的基本概念 说明函数取上面两个无限接近于点(0,0)时,另一方面,无限接近点(0,0)时,设函数证明:函数的极限不存在.特殊方向第26页/共47页第二十七页，共48页。28极限 是否存在？取解当P(x,y)沿x轴的方向无限(wxin)接近点(0,0)时, 当P(x,y)沿y轴的方向(fngxing)无限接近点(0,0)时,多元函数的基本概念 第27页/共47页第二十八页，共48页。29多元函数的基本概念 极限(jxin)不存在.取极限 是否存在？第28页/共47页第二十九页，共48页。30四、多元(du yun)函数的连续性 设二元函数(hnsh) 则称函数(hnsh)定义3多元函数的基本概念 P0(x0, y0)为D的聚点, 且 P0D.如果连续.如果函数 f (x, y) 在开区域(闭区域)D内的每一点连续,则称函数在D内连续,或称函数是 D内的连续函数. 的定义域为D, 第29页/共47页第三十页，共48页。31的不连续(linx)点,多元函数的基本概念 若函数(hnsh) 在点 P0(x0, y0)不连续,称P0为函数(hnsh) 间断点.若在D内某些孤立点,没有定义,或沿D内某些曲线,但在D内其余部分,都有定义, 则在这些孤立点或这些曲线上,即间断点.函数都是函数则第30页/共47页第三十一页，共48页。32在单位(dnwi)圆处处(chch)是间断点.多元函数的基本概念 函数(hnsh) (0,0)点是该函数的间断点. 函数 不同在哪?想一想二元函数的间断性与一元函数的间断性第31页/共47页第三十二页，共48页。33称为(chn wi)多元初等函数,多元函数的基本概念 积、商（分母(fnm)不为零）及复合仍是连续的.同一元函数一样(yyng),多元函数的和、差、每个自变量的基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合,由一个式子表达的函数处均连续.在它们的定义域的内点第32页/共47页第三十三页，共48页。34有界闭区域(qy)上连续的多元函数的性质至少(zhsho)取得它的最大值和最小值各一次介于这两值之间的任何(rnh)值至少一次(1) 最大值和最小值定理(2) 介值定理多元函数的基本概念 在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值, 则它在D上取得第33页/共47页第三十四页，共48页。35多元函数的极限的基本(jbn)问题有三类(1) 研究(ynji)二元函数极限的存在性.常研究(ynji)若其依赖于k,则欲证明极限存在,*特别对于*不存在.多元函数的基本概念 常用定义或夹逼定理.欲证明极限不存在(通过观察、猜测),常选择两条不同路径,求出不同的极限值.(2) 求极限值. 常按一元函数极限的求法求之.(3) 研究二重极限与累次极限(二次极限)间的关系.(罗必达法则除外)第34页/共47页第三十五页，共48页。36例 求极限(jxin) 解其中(qzhng)多元函数的基本概念 第35页/共47页第三十六页，共48页。37多元函数的基本概念 例 求极限(jxin) 解将分母(fnm)有理化,得 第36页/共47页第三十七页，共48页。38提示(tsh)解多元函数的基本概念 是否(sh fu)把极限理解(lji)为:先求的极限,再求的极限;或者先求的极限, 再求的极限研究二次极限有有第37页/共47页第三十八页，共48页。39 (2) 同理: (3)再来分析(fnx)当点(x, y)沿过原点的直线 因此(ync) 不存在(cnzi).多元函数的基本概念 对任意的有趋向于有时,第38页/共47页第三十九页，共48页。40可证明当 f( x, y)在P0(x0, y0)的一个(y )邻域上第二(d r),一般(ybn)也是不相同的;第三,由此看出:第一,不能理解为多元函数的基本概念 连续时,上述三个极限均相等.或第39页/共47页第四十页，共48页。41求答: 0答:不存在(cnzi).答:不存在(cnzi). 二次极限都不存在(cnzi)时,但二重极限也可能注多元函数的基本概念 存在.二次极限与二重极限有本质的区别.第40页/共47页第四十一页，共48页。42想一想 如何(rh)证明 f( x, y)在 证多元函数的基本概念 xOy面上处处(chch)连续?是初等(chdng)函数，处处连续.第41页/共47页第四十二页，共48页。43 又于是(ysh)即证明(zhngmng)了f(x, y)在 多元函数的基本概念 由于(yuy)xOy面上处处连续.证明 f( x, y)在 xOy面上处处连续?第42页/共47页第四十三页，共48页。44五、小结(xioji)多元函数(hnsh)的极限多元(du yun)函数连续性有界闭区域上连续多元函数的性质(与一元函数的极限加以比较:注意相同点与差异)多元函数的概念多元函数的基本概念 预备知识(内点, 边界点, 聚点, 开集, 连通, 区域)第43页/共47页第四十四页，共48页。45多元函数的基本概念 思考题1有何区别(qbi)?思考题2必定(bdng)不存在.是非题第44页/共47页第四十五页，共48页。46多元函数的基本概念 思考题2 (是非题)必定(bdng)不存在.是因为(yn wi)对不同的k值,不同(b tn),不存在.第45页/共47页第四十六页，共48页。47作业(zuy)习题(xt)8-1(11页)1. 3. 4. 5.(1) (4) (5) (6) 6.(1) (2) (4) 7. 8. 9.多元函数的基本概念 第46页/共47页第四十七页，共48页。内容(nirng)总结会计学。第1页/共47页。实数组(x, y)的全体,。多元函数的基本概念。的全体点称之为点P0邻域.。显然, E的内点属于E.。第4页/共47页。第5页/共47页。中的变量x, y之间有一个依赖关系,。每取定一个点P(x, y)时,。二元及二元以上的函数统称为。当P(x, y)沿x轴的方向。当P(x, y)沿y轴的方向。多元函数的和、差、。(与一元函数的极限加以比较:注意(zh y)相同点与差异)。第46页/共47页第四十八页，共48页。