第16讲等腰三角形与直角三角形考点等腰三角形性质性质(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)等腰三角形的两个底角 ，简称“ ”；(3)等腰三角形顶角的 、底边上的 、底边上的 互相重合，简称“ ”判定判定有两个角 的三角形是等腰三角形，简称“ ”相等等边对等角平分线高中线三线合一相等等角对等边2.等边三角形性质性质等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质，另外，等边三角形的三个角都等于判定判定三个角都 的三角形是等边三角形；有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形60_60相等60考点直角三角形1直角三角形的性质(1)在直角三角形中，两个锐角 ；(2)在直角三角形中，30的锐角所对的直角边等于斜边的 ；(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ；(4)在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的 ，即如果C90，则有 ；(5)在三角形中，如果一条边的平方等于其余两条边的 ，那么这个三角形是直角三角形，即如果c2a2b2，那么C90.2等腰直角三角形：有一个角是直角的等腰三角形是 三角形互余一半一半平方和c2a2b2平方和等腰直角点拨解答直角三角形的问题时，优先考虑使用勾股定理，要牢固地树立“已知直角三角形的两边长，就相当于第三边也已知”的观念，同时注意使用勾股定理的几个变形，如，a2c2b2，b2c2a2，进而有c ，a ，b 等考点角的平分线与线段的垂直平分线1角的平分线：角的平分线上的点到角的两边的距离 到角两边 的点在角的平分线上2线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 到线段两个端点 的点在线段的垂直平分线上相等距离相等相等距离相等命题点等腰三角形考情分析等腰三角形是几何的基础整式，是中考的必考点之一，通常在综合题中得以运用，有时也单独命题，一般为选择题或填空题，难度一般中等偏下12016泰安，T18，3分如图，PAB中，PAPB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AMBK，BNAK，若MKN44，则P的度数为( )A44 B66 C88 D92D22016泰安，T29，12分已知：ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且DECDCE，若A60(如图1)(1)求证：EBAD；(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变(如图2)，(1)的结论是否成立，并说明理由；(3)若将(1)中的“若A60”改为“若A90”，其他条件不变，则 的值是多少？(直接写出结论，不要求写解答过程)32014泰安，T27，10分如图，ABC90，D，E分别在BC，AC上，ADDE，且ADDE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M.(1)求证：FMCFCM；(2)AD与MC垂直吗？并说明理由命题点直角三角形考情分析直角三角形的知识是中考的必考点之一，其中利用直角三角形的性质和勾股定理及其逆定理等知识点是分析、解答问题的重要手段，是进行证明和计算的基础所以多融合在综合题中，单独考查较少42014泰安，T16，3分将两个斜边长相等的三角形纸片如图1放置，其中ACBCED90，A45，D30.把DCE绕点C顺时针旋转15得到D1CE1，如图2，连接D1B，则E1D1B的度数为( )A10 B20 C7.5 D15D52013泰安，T23，3分如图，在RtABC中，ACB90，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若F30，DE1，则BE的长是 2类型等腰三角形的性质与判定例1(1)如图1所示，在ABC中，BD，CD分别平分ABC，ACB，过点D作EFBC交AB，AC于点E，F，试说明BECFEF的理由(2)如图2所示，在ABC中，BD，CD分别平分ABC，ACG，过点D作EFBC交AB，AC于点E，F，则BE，CF，EF有怎样的数量关系？并说明你的理由解题要领1.解答这类问题，主要运用等腰三角形的判定与性质以及平行线性质，探求过程中的关键依据是“等角对等边”2等腰三角形的三边有腰与底之分，三角有顶角与底角之别；因此，在等腰三角形的腰与底角未确定的情况下，常常存在多解性的问题，解答时应考虑周全，分类解答，以防漏解分类时通常有以下原则：按角的分类(顶角和底角)；按边的分类(腰和底边)；按顶点的位置分类(顶角顶点还是底角顶点)12018荆州如图，两条直线l1l2，RtACB中，C90，ACBC，顶点A，B分别在l1和l2上，120，则2的度数是( ) A45 B55 C65 D75C22018湖州如图，AD，CE分别是ABC的中线和角平分线若ABAC，CAD20，则ACE的度数是( )A20 B35 C40 D70D32018福建如图，等边三角形ABC中，ADBC，垂足为D，点E在线段AD上，EBC45，则ACE等于( )AA15 B30 C45 D6042018长春如图，在ABC中，ABAC.以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD.若A32，则CDB的大小为 度37类型角平分线、线段垂直平分线的性质定理 52018黄冈如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，B60，C25，则BAD为( )A50 B70 C75 D80B62018德州如图，OC为AOB的平分线，CMOB，OC5，OM4，则点C到射线OA的距离为 372018淮安如图，在RtABC 中，C90，AC3，BC5，分别以 A、B 为圆心，大于2(1)AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点 P、Q，过 P、Q 两点作直线交 BC 于点 D，则 CD的长是 类型直角三角形的综合题例2如图，在RtABC中，ABC90，AB20，BC15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，速度为每秒2个单位长度(1)填空：当t_秒时，CBD是直角三角形；(2)若CBD是等腰三角形，求t的值解题要领解答此题需要用到勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，重点是注意分情况讨论82018泸州“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )A9 B6 C4 D3D92018长沙我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里500米，则该沙田的面积为( )AA7.5平方千米 B15平方千米 C75平方千米 D750平方千米102018贺州如图，在ABC中，BAC90，ADBC，垂足为D，E是边BC的中点，ADED3，则BC的长为( )A3 B3 C6 D6D112018淄博如图，在RtABC中，CM平分ACB交AB于点M，过点M作MNBC交AC于点N，且MN平分AMC，若AN1，则BC的长为( )A4 B6 C4 D8122018天津如图，在边长为4的等边ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EFAC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为 .B