高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学 必修必修必修必修必修必修2 2 2 2 2 2复习回顾：复习回顾：空间点、直线和平面的位置关系空间点、直线和平面的位置关系位置关系位置关系图形语言图形语言符号语言符号语言点与直线点与直线点点A在直线在直线l上上略略点点A不在直线不在直线l上上点与平面点与平面点点A在平面在平面 内内点点A不在平面不在平面 内内直线与直线直线与直线(平面内平面内)直线直线l1与直线与直线l2相交相交直线直线l1与直线与直线l2平行平行直线与平面直线与平面直线直线l与平面与平面 交于交于P点点直线直线AB与平面与平面 平行平行直线直线AB在平面在平面 内内平面与平面平面与平面平面平面 与平面与平面 相交相交平面平面 与平面与平面 平行平行A lA lA A l1l2=Al1l2AB AB l P =l 复习回顾：复习回顾：公理公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内都在这个平面内 用符号语言可表示为用符号语言可表示为A B AB l 或表示为或表示为A lB lA B 公理公理2： 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过此公共点的一条直线共点的集合是经过此公共点的一条直线 .符号表示：符号表示：P ，P l，P l .公理公理2常用于：常用于： (1)找两平面的交线；找两平面的交线；(2)判定三点共线与三线共点问题判定三点共线与三线共点问题公理公理1可以理解为根据点与平面的关系确定直线与平面的位置关系，公理可以理解为根据点与平面的关系确定直线与平面的位置关系，公理2可以理解为由点与平面的位置关系确定直线与平面的位置关系，如何确定可以理解为由点与平面的位置关系确定直线与平面的位置关系，如何确定一个平面呢？一个平面呢？ 推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面C BA推论推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面：经过两条平行直线，有且只有一个平面公理公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面已知：直线已知：直线l，点，点A l(如图如图)求证：过直线求证：过直线l和点和点A有且只有一个平面有且只有一个平面 所以经过直线所以经过直线l和点和点A的平面只有一个的平面只有一个证明：证明：在直线在直线l上任取两点上任取两点B，C因为点因为点A不在直线不在直线l上，根据公理上，根据公理3，经过不共线三点经过不共线三点A，B，C有一个平面有一个平面 因为因为B ，C ，所以根据公理，所以根据公理1，l ，即平面即平面 经过直线经过直线l和点和点A因为因为B，C直线直线l上，上，所以经过直线所以经过直线l和点和点A的平面一定经过的平面一定经过A，B，C根据公理根据公理3，经过不共线的三点，经过不共线的三点A，B，C的平面有且只有一个，的平面有且只有一个，l推论推论1的另一种证明：的另一种证明：存在性存在性 在直线在直线l上任取两点上任取两点A，B P l 经过经过A，B，P有一个平面有一个平面 A l，B l，A ，B ， l 故过直线故过直线l和点和点A有一个平面有一个平面 惟一性惟一性 假设过直线假设过直线l和点和点A还有一个平面还有一个平面 A ，B ，P ， 又又A ，B ，P ， 与过不共线三点确定一个平面矛盾与过不共线三点确定一个平面矛盾故结论成立故结论成立推论推论2的证明：的证明： 在直线在直线l上任取一点上任取一点A异于点异于点P 直线直线m和点和点A确定一个平面确定一个平面 又又lmP， P l，又又A l， P ， A ， l 故直线故直线l，m确定一个平面确定一个平面推论推论3证明：证明：存在性存在性 ln， 经过经过l，n有一个平面有一个平面 惟一性惟一性 假设过直线假设过直线l，n还有一个平面还有一个平面 在直线在直线l上任取一点上任取一点A A l，l A ，n ， 同理同理A ，n 与直线及其外一点确定一个平面矛盾与直线及其外一点确定一个平面矛盾故结论成立故结论成立推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面：经过两条平行直线，有且只有一个平面公理公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面公理公理3及其及其3个推论，是确定平面的重要依据，个推论，是确定平面的重要依据，也是判定四点共面或三线共面的重要依据也是判定四点共面或三线共面的重要依据小结：小结：例例1：已知已知A l，B l，C l，D l求证：直线求证：直线AD，BD，CD共面共面 lABCD所以所以AD，BD，CD在同一平面内，即它们共面在同一平面内，即它们共面证明：证明：因为因为D l，所以，所以l与与D可以确定平面可以确定平面 (推论推论1)因为因为A l，所以，所以A ，又，又D ，所以，所以AD (公理公理1)同理同理BD ，CD ，变式：求证：两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内变式：求证：两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内 例例2如图，若直线如图，若直线l与四边形与四边形ABCD的三条边的三条边 AB，AD，CD分别交于点分别交于点E，F，G求证：四边形求证：四边形ABCD为平面四边形为平面四边形lCDABGFE例例3已知已知a ，b ，abA，P a，PQb 求证：求证：PQ PQabA练习：练习：1判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面.经过一点的两条直线确定一个平面经过一点的两条直线确定一个平面经过一点的三条直线确定一个平面经过一点的三条直线确定一个平面平面和平面交于不共线的三点平面和平面交于不共线的三点A，B，C. 2空间四点空间四点A，B，C，D共面但不共线，则下列结论成立的是共面但不共线，则下列结论成立的是_四点中必有三点共线四点中必有三点共线四点中必有三点不共线四点中必有三点不共线AB，BC，CD，DA四条直线中总有两条平行四条直线中总有两条平行直线直线AB与与CD必相交必相交3下列命题中，下列命题中，有三个公共点的两个平面重合；有三个公共点的两个平面重合；梯形的四个顶点在梯形的四个顶点在同一平面内；同一平面内；三条互相平行的直线必共面；三条互相平行的直线必共面；两组对边分别相等的四两组对边分别相等的四边形是平行四边形其中正确命题个数是边形是平行四边形其中正确命题个数是_ 4直线直线l1l2，在，在l1上取三点，在上取三点，在l2上取两点，由这五个点能确上取两点，由这五个点能确_个个平面平面5已知已知ab，laA，lbB，求证：，求证：a，b，l三条直线共面三条直线共面 推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面：经过两条平行直线，有且只有一个平面公理公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面公理公理3及其及其3个推论，是确定平面的重要依据，个推论，是确定平面的重要依据，也是判定四点共面或三线共面的重要依据，也是判定四点共面或三线共面的重要依据，小结：小结：判定四点共面或三线共面的问题，应先确定一个平面，判定四点共面或三线共面的问题，应先确定一个平面，再判定要证明的元素再判定要证明的元素(四点或三线四点或三线) 都在所确定的平面内都在所确定的平面内同学们来学校和回家的路上要注意安全同学们来学校和回家的路上要注意安全