第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1 2.1 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算判断判断正误正误： AB=BA. （ ） (AB)(CD) = A(BC)D. （ ） k 0且且kA=O, 则则 A=O. （ ） A 0且且AB=O, 则则 B=O. （ ） A是方阵是方阵, |A| 0且且AB=O, 则则 B=O. （ ）X XX X第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1 2.1 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算几种特殊的矩阵（方阵）几种特殊的矩阵（方阵） 1. 对称矩阵对称矩阵 A是是对称矩阵对称矩阵 1 22 1 1 0 1 0 x 3 1 3 0 aij = aji A是反对称矩阵是反对称矩阵 AT = A; AT=A aij = aji 2. 上三角矩阵上三角矩阵对角矩阵对角矩阵 a11a21 a22 an1 an2 ann a1 a2 an 下三角矩阵下三角矩阵第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1 2.1 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算a11 a12 a1n a22 a2n ann 3. 数量矩阵数量矩阵4. 单位矩阵单位矩阵称为称为n阶单位矩阵阶单位矩阵. En =1 1 1n n n n a a a 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1 2.1 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算= aE第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵 2.2 可逆矩阵可逆矩阵 一一. 乘法定理乘法定理定理定理1. 设设A, B是是n阶方阵，则阶方阵，则|AB|=|A|B|.求求|A3B2| .例例1. 设设 A = 1 0 -2 0 1 30 0 2, B = 2 1 1 0 3 0 -1 0 0, 其中其中Aij为元素为元素aij的代数余子的代数余子 式式.A* =A11 A21 An1 A12 A22 An2 A1n A2n Ann 方阵方阵A的的伴随矩阵：伴随矩阵：第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵 例例2. 求下列方阵的伴随矩阵求下列方阵的伴随矩阵.(1) (1) A A = = 1 1 2 2 3 4 3 4 , , 1 1 2 2 3 3 2 2 1 2 2 1 3 3 4 3 4 3 (2) (2) B B = = . . 定理定理2. 设设A为方阵为方阵, A*为其伴随矩阵，则为其伴随矩阵，则 AA* = |A|E = A*A.AA* = a11 a1n an1 ann A11 An1A1n Ann = n n n n a1kA1k a1kAnk k k=1 =1 k k=1 =1 n n n n a1kA1k a1kAnk k k=1 =1 k k=1 =1 = |A| |A| . 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵 定理定理3 3. 方阵方阵A可逆可逆此时此时A 1 =|A| 1A*. 此时此时A 1 = B. 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵 存在方阵存在方阵B，使，使AB = E ，例例2 求下列方阵的逆矩阵求下列方阵的逆矩阵.(1) (1) A A = = 1 1 2 2 3 4 3 4 , , 1 1 2 2 3 3 2 2 1 2 2 1 3 3 4 3 4 3 (2) (2) B B = = . . |A| 0，例例3. 设设A = 1 2 32 2 13 4 3, 求求AX=B., B = 1 32 03 1第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵 例例4. 设方阵设方阵A满足满足A3=E. 求证求证: A 2E可逆可逆, 并求其并求其逆矩阵逆矩阵. 逆矩阵的逆矩阵的运算性质：运算性质： 设设A, B为同阶可逆方阵，数为同阶可逆方阵，数k 0，则，则 (1) (A 1) 1 = A. (2) (AT) 1 = (A 1)T. (3) (kA) 1 = k 1A 1. (4) (AB) 1 = B 1A 1. （穿脱原则穿脱原则） 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵 例例5. 设方阵设方阵A与与E A均可逆均可逆, G =(E A) 1 E. 求证：求证：G 可逆并求可逆并求G 1.