事件的独立性一个事件发生的条件下一个事件发生的条件下另一事件发生的概率等于这另一事件发生的概率等于这两个事件同时发生的概率除两个事件同时发生的概率除以已经发生的事件的概率以已经发生的事件的概率两个事件同时发生两个事件同时发生的概率等于其中一个事的概率等于其中一个事件发生的概率乘以这个件发生的概率乘以这个事件发生的条件下另一事件发生的条件下另一事件发生的概率事件发生的概率事件的独立性 二、全概率公式与二、全概率公式与贝叶斯公式贝叶斯公式 如果如果事件事件A A1 1，A A2 2，A An n 构成一个完备事件组，则构成一个完备事件组，则对任何一个事件对任何一个事件B B，有，有某一事件某一事件B在随机试验中发生的概率受在随机试验中发生的概率受不同因素的影响，事件不同因素的影响，事件B在在所有所有不同因素不同因素情况下发生的概率有所不同且已知，而情况下发生的概率有所不同且已知，而随机试验中各因素发生的概率也已知，随机试验中各因素发生的概率也已知， （1）若要求在这一随机试验中事件）若要求在这一随机试验中事件B发生的概率就用全概率公式。发生的概率就用全概率公式。 （2）若进行了试验结果事件）若进行了试验结果事件B发生了，发生了，则要判断各因素引起的可能性大小，就则要判断各因素引起的可能性大小，就用贝叶斯公式。用贝叶斯公式。事件的独立性要求： （1 1）掌握条件概率和乘法）掌握条件概率和乘法公式的应用。公式的应用。 (2) (2)明确全概率公式和贝叶明确全概率公式和贝叶斯公式适用题型斯公式适用题型 (3) (3)掌握全概率公式和贝叶掌握全概率公式和贝叶斯公式的运用方法。斯公式的运用方法。事件的独立性一、事件的独立性一、事件的独立性(P14) 定义定义( (P14P14) )：若事件若事件A A的发生不影响事件的发生不影响事件B B发生的概率，即发生的概率，即P(B)P(B)P(B|A)P(B|A)，则称事件，则称事件B B对对A A独立。独立。 两个事件互不相容是指在两个事件互不相容是指在同一个随机试验同一个随机试验中的两个事件在中的两个事件在同一次试验中不会同时发生同一次试验中不会同时发生 两个事件若相互独立是指这两个事件发生的可能性大小互两个事件若相互独立是指这两个事件发生的可能性大小互不影响，但可能同时发生。不影响，但可能同时发生。 第五讲事件的独立性第五讲事件的独立性 事件的独立性事件独立的性质事件独立的性质(P15)P(B)P(B)P(B|A)P(B|A)，则称事件，则称事件B B对对A A独立。独立。(P15)此时此时 A A对对B B是否是否独立？独立？事件的独立性事件的独立性 定义（定义（P14）：设）：设A、B、C是三个事件，如果满足关系：是三个事件，如果满足关系：P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称事件，则称事件A、B、C为相互独立的。为相互独立的。记在记在P15独立事件积的概率等于概率的积独立事件积的概率等于概率的积事件的独立性 例例2 2：甲、乙、丙：甲、乙、丙3 3部机床独立工作，由一个工人照管，某时部机床独立工作，由一个工人照管，某时它们不需要工人照管的概率分别为它们不需要工人照管的概率分别为0.90.9、0.80.8、0.850.85。求某时有。求某时有机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率。机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率。事件的独立性 二、独立试验概型二、独立试验概型（贝努利概型）贝努利概型）(P16)(P16)若试验共进行若试验共进行n n次，即称为次，即称为n n重贝努里重贝努里(Bernoulli)(Bernoulli)试验试验。（2 2）每次试验的结果与其它各次试验结果无关，即在每）每次试验的结果与其它各次试验结果无关，即在每次试验中事件次试验中事件A A发生的概率不变发生的概率不变具有下述特征的试验称为具有下述特征的试验称为贝努利试验贝努利试验：进行进行n n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其它各次试验结果的影响，则称这它各次试验结果的影响，则称这n n次试验是相互独立的次试验是相互独立的。概率论中，把在相同条件下重复进行试验的数学模型称为概率论中，把在相同条件下重复进行试验的数学模型称为独立试独立试验系列概型验系列概型。（1 1）每次试验中某事件）每次试验中某事件A A或者发生或者不发生；或者发生或者不发生；事件的独立性 定理定理：( (P16P16) ) 设一次试验中事件设一次试验中事件A A发生的概率为发生的概率为事件的独立性 定理定理：( (P16P16) ) 设一次试验中事件设一次试验中事件A A发生的概率为发生的概率为事件的独立性 例例3 3：一条自动生产线上的产品的一级品率为：一条自动生产线上的产品的一级品率为0.60.6，现检查，现检查1010件，求至少有两件一级品的概率。件，求至少有两件一级品的概率。解：设解：设A A“检查一件是一级品检查一件是一级品”， 所以：所以：现检查了现检查了1010件，件，B=“B=“至少有两件一级品至少有两件一级品”则每次检查时则每次检查时P P（A A）0.60.6；=“A=“A至少发生至少发生2 2次次”。事件的独立性 例例4 4：一大批产品中次品率为：一大批产品中次品率为0.0030.003，现检查，现检查1010件，求件，求抽到两件次品的概率。抽到两件次品的概率。解：设解：设A A“检查一件是次品检查一件是次品”， 所以所求概率为：所以所求概率为：严格意义上，第一次抽取时事件严格意义上，第一次抽取时事件A A发生的概率是发生的概率是0.0030.003，但从第二次直至第十次抽取时，事件但从第二次直至第十次抽取时，事件A A发生的概率就不发生的概率就不是是0.0030.003，而且各不相同，即是说十次抽检不是独立的。，而且各不相同，即是说十次抽检不是独立的。但由于产品是一大批（较多），抽取次数（但由于产品是一大批（较多），抽取次数（1010次）对整次）对整体产品结构影响不大，因此，通常将每次抽取看作是独体产品结构影响不大，因此，通常将每次抽取看作是独立的。立的。事件的独立性例例5：某机构有一个：某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的百分比是正确意见的百分比是0.7，现在该机构对某事可行与否个别征，现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾问意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决求各位顾问意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率。策的概率。事件的独立性本次课要求：本次课要求： 明确事件的独立性、独明确事件的独立性、独立试验概型及其概率的计立试验概型及其概率的计算。算。事件的独立性一、复习课堂所授内容及教材P1417 二、练习五教材P17 T2 T5 三、预习教材P21P27课后作业事件的独立性本章重点：本章重点：（1）事件与运算关系式的含义和关系；）事件与运算关系式的含义和关系；（2）掌握古典概率的计算；）掌握古典概率的计算； （3）学会概率的几个重要公式如）学会概率的几个重要公式如:加法公式、乘法公式、对立事件的概率加法公式、乘法公式、对立事件的概率关系公式、全概率公式、独立概型概率关系公式、全概率公式、独立概型概率计算公式等的运用。计算公式等的运用。 第第1章章 随机事件及其概率随机事件及其概率事件的独立性人们在观察自然界和社会现象时，常常发现三类不同的现象：人们在观察自然界和社会现象时，常常发现三类不同的现象： 一类是在一定条件下必然发生的现象（必然现象）一类是在一定条件下必然发生的现象（必然现象）或必然不或必然不发生的现象（不可能现象）统称为发生的现象（不可能现象）统称为确定性现象确定性现象。 （不用试验，预先知道结果）（不用试验，预先知道结果） 另一类是事物本身的含义不确定的现象，另一类是事物本身的含义不确定的现象，这类现象称这类现象称为为模糊现象模糊现象。 很重要的一类很重要的一类：在一定条件下有多种结果，在试验或观在一定条件下有多种结果，在试验或观察前无法预知出现哪种结果。察前无法预知出现哪种结果。这类现象称为这类现象称为随机现象随机现象（偶然现偶然现象象）。）。 （试验前后都难知道准确结果）（试验前后都难知道准确结果）（试验前不能确定结果，但试验后就知道准确结果）（试验前不能确定结果，但试验后就知道准确结果）一、随机事件一、随机事件事件的独立性 为了掌握随机现象的规律性，常需对随机现象进行大量的观为了掌握随机现象的规律性，常需对随机现象进行大量的观察或试验。察或试验。（1 1）可重复性：可重复性：在相同条件下能重复进行；在相同条件下能重复进行；（2 2）可观察性：可观察性：试验（或观察）的所有可能结果是已知的并且试验（或观察）的所有可能结果是已知的并且不止一个；不止一个； （3 3）不确定性：不确定性：每次试验出现这些可能结果中的一个，但在每每次试验出现这些可能结果中的一个，但在每次试验之前，不能确定出现哪一个结果。次试验之前，不能确定出现哪一个结果。 称满足下述条件的试验为随机试验。称满足下述条件的试验为随机试验。 样本点样本点（基本事件基本事件）随机试验中每一个最基本的随机试验中每一个最基本的可能结果称为一个样本点，也称基本事件，记为可能结果称为一个样本点，也称基本事件，记为。样本空间样本空间（必然事件必然事件）随机试验的所有可能结果构随机试验的所有可能结果构成的集合称为该随机试验的样本空间，记为成的集合称为该随机试验的样本空间，记为（有的书上也（有的书上也记为记为S）。）。事件的独立性在观察随机现象时，人们常常关心某些特定的结果，这些结在观察随机现象时，人们常常关心某些特定的结果，这些结果在每次试验时可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中却果在每次试验时可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中却具有某种规律性。具有某种规律性。 称这类特定结果为称这类特定结果为随机事件随机事件（简称事件简称事件） 事件一般用大写字母事件一般用大写字母A、B、C、表示。表示。（随机事件就是由某些特定的基本事件组成的集合）（随机事件就是由某些特定的基本事件组成的集合）复合事件复合事件由一个以上基本事件构成的事件。由一个以上基本事件构成的事件。事件的发生事件的发生如果某次试验中事件如果某次试验中事件A包含的某个基本事件包含的某个基本事件出现了，则称事件出现了，则称事件A发生了。发生了。不可能事件不可能事件在一定条件下必然不会发生的事件。记为在一定条件下必然不会发生的事件。记为 。不含任何基本事件的事件。相当于集合中的空集。不含任何基本事件的事件。相当于集合中的空集。事件的独立性1 1、事件的包含关系、事件的包含关系: :若事件若事件A A发生必然导致事件发生必然导致事件B B发生，则称发生，则称事件事件A A包含于事件包含于事件B B，或事件，或事件B B包含事件包含事件A A，记为，记为A A B B2 2、事件的相等：、事件的相等：A AB B A A B B且且B B A.A. 3、事件的并、事件的并(和和)：“事件事件A A与事件与事件B B至少有一个至少有一个发生发生”这一事件称为事件这一事件称为事件A A与与B B的并（和）记作的并（和）记作A ABBn个事件个事件A1, A2, An至少有一个发生，记作至少有一个发生，记作4、事件的、事件的交交(积积):“事件事件A A与事件与事件B B同时发生同时发生”这一事这一事件称为事件件称为事件A A与与B B的交（积），记作的交（积），记作 A AB BABABn个事件个事件A1, A2, An同时发生，记作同时发生，记作 A1A2An二、事件的关系与运算二、事件的关系与运算事件的独立性 5、事件的事件的差差： “事件事件A A发生而事件发生而事件B B不发生不发生”这一事这一事件称为事件件称为事件A A与事件与事件B B的差，记为：的差，记为：A AB B ( (显然：显然：A AB BA AABAB）6、互斥互斥(互不相容互不相容)事件：事件：若若在同一试验中事件在同一试验中事件A A与与事件事件B B不能同时发生，则称事件不能同时发生，则称事件A A与事件与事件B B为互不相容为互不相容事件。记为事件。记为ABAB 。7、互逆互逆(对立对立)事件：事件：若事件若事件A A与事件与事件B B在在同一试验中同一试验中不能同时发生，但必有一个发生不能同时发生，但必有一个发生 A A B B , , 且且ABAB 。则称事件。则称事件A A与事件与事件B B为互逆事件。为互逆事件。事件事件A A与事件与事件B B是是互逆事件互逆事件事件事件A A与事件与事件B B是是互斥事件互斥事件事件的独立性9、事件的运算律、事件的运算律1、交换律：、交换律：ABBA，ABBA2、结合律、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC)3、分配律、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)4、对偶、对偶(De Morgan)律律： 8、完备事件组：、完备事件组：事件的独立性 三、古典概率三、古典概率（1）试验的所有基本事件为有限个；）试验的所有基本事件为有限个；（2）每一个基本事件发生的可能性相等。）每一个基本事件发生的可能性相等。具有下列两个特征的试验称为具有下列两个特征的试验称为古典试验古典试验，相应数学模型相应数学模型称为称为古典概型古典概型。 概率（古典定义）概率（古典定义）：如果古典试验的所有基本事件数为：如果古典试验的所有基本事件数为n n个，个，而事件而事件A A中包含的基本事件数（有效基本事件数）为中包含的基本事件数（有效基本事件数）为m m个，则称个，则称m/n m/n 为事件为事件A A发生的概率，记为发生的概率，记为P P（A A）。）。 性质性质：（1）P（）1；（2）P（ ）0；（3）0P（A）1。事件的独立性 四、几何概型四、几何概型若随机试验若随机试验E的样本空间的样本空间可以用欧氏几何中的某一有可以用欧氏几何中的某一有界区域表示（区域内每一点都是一个样本点），且其任一界区域表示（区域内每一点都是一个样本点），且其任一基本事件的发生具有等可能性，则称试验基本事件的发生具有等可能性，则称试验E E为几何型随机试为几何型随机试验（或几何概型）验（或几何概型）. . 几何概率几何概率：事件的独立性 定义定义：设：设E E是随机试验，是随机试验， 是它的样本空间，是它的样本空间，A A是其中的任是其中的任一事件，与一事件，与A A对应的一个实数对应的一个实数P(A)P(A)如果满足：如果满足： （2 2）完备性：）完备性：P P（）1 1 （1 1）非负性：）非负性： P P（A A）0 0 （3 3）可列可加性：）可列可加性： 称称P(A)P(A)为事件为事件A A的概率的概率 五、概率公理与概率性质五、概率公理与概率性质事件的独立性 性质性质1： 概率的性质概率的性质 性质性质2： (有限可加性）有限可加性） 性质性质3： 性质性质4： 性质性质5： 性质性质6： 推广：推广： 不相容事件不相容事件和的概率等于概率的和和的概率等于概率的和 事件的独立性一个事件发生的条件下一个事件发生的条件下另一事件发生的概率等于这另一事件发生的概率等于这两个事件同时发生的概率除两个事件同时发生的概率除以已经发生的事件的概率以已经发生的事件的概率两个事件同时发生两个事件同时发生的概率等于其中一个事的概率等于其中一个事件发生的概率乘以这个件发生的概率乘以这个事件发生的条件下另一事件发生的条件下另一事件发生的概率事件发生的概率事件的独立性 七、全概率公式与七、全概率公式与贝叶斯公式贝叶斯公式 如果如果事件事件A A1 1，A A2 2，A An n 构成一个完备事件组，则构成一个完备事件组，则对任何一个事件对任何一个事件B B，有，有某一事件某一事件B在随机试验中发生的概率受在随机试验中发生的概率受不同因素的影响，事件不同因素的影响，事件B在所有不同因素在所有不同因素情况下发生的概率有所不同且已知，而情况下发生的概率有所不同且已知，而随机试验中各因素发生的概率也已知，随机试验中各因素发生的概率也已知， （1）若要求在这一随机试验中事件）若要求在这一随机试验中事件B发生的概率就用全概率公式。发生的概率就用全概率公式。 （2）若进行了试验结果事件）若进行了试验结果事件B发生了，发生了，则要判断各因素引起的可能性大小，就则要判断各因素引起的可能性大小，就用贝叶斯公式。用贝叶斯公式。事件的独立性八、事件的独立性八、事件的独立性 定义：定义：若事件若事件A A的发生不影响事件的发生不影响事件B B发生的概率，即发生的概率，即P(B)P(B)P(B|A)P(B|A)，则称事件，则称事件B B对对A A独立。独立。一组事件相互独立，则其与相关的对立事件之间也是相互独立的一组事件相互独立，则其与相关的对立事件之间也是相互独立的独立事件积的概率等于概率的积独立事件积的概率等于概率的积事件的独立性 若试验共进行若试验共进行n n次，即称为次，即称为n n重贝努里重贝努里(Bernoulli)(Bernoulli)试验试验。（2 2）每次试验的结果与其它各次试验结果无关，即在每）每次试验的结果与其它各次试验结果无关，即在每次试验中事件次试验中事件A A发生的概率不变发生的概率不变具有下述特征的试验称为具有下述特征的试验称为贝努利试验贝努利试验：进行进行n n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其它各次试验结果的影响，则称这它各次试验结果的影响，则称这n n次试验是相互独立的次试验是相互独立的。概率论中，把在相同条件下重复进行试验的数学模型称为概率论中，把在相同条件下重复进行试验的数学模型称为独立试独立试验系列概型验系列概型。（1 1）每次试验中某事件）每次试验中某事件A A或者发生或者不发生；或者发生或者不发生； 定理定理：设一次试验中事件设一次试验中事件A发生的概率为发生的概率为事件的独立性