例6.1 求微分方程(wi fn fn chn) 的通解. 解： 对所给方程两端(lin dun)依次积分三次，可得 其中C1,C2,C3为任意(rny)常数.第1页/共18页第一页，共19页。例6.2 求微分方程 满足(mnz)下列初值条件的解. 解： 将所给方程(fngchng)积分一次，可得 其中C1为任意(rny)常数.由 得C1=0, 从而再积分一次，得 其中C2为任意常数.由 得C2=0, 于是所求特解为第2页/共18页第二页，共19页。例例.解: 机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第3页/共18页第三页，共19页。型的微分方程(wi fn fn chn) 设原方程(fngchng)化为一阶方程(fngchng)设其通解(tngji)为则得再一次积分, 得原方程的通解二、二、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共18页第四页，共19页。例6.3 求方程 满足(mnz)下列初值条件的解. 解： 令 带入所给方程(fngchng)得用分离(fnl)变量法解得其中C1为任意常数.由 得C1=3, 从而其中C2为任意常数.由 得C2=1, 故所求特解为第5页/共18页第五页，共19页。例6.4 鱼雷攻击问题. 某敌舰在某海域内沿正北方向航行时，我方战舰位于敌舰的正西方向1海里处，我舰发现敌舰后立刻发射鱼雷. 敌舰以常速度v逃逸，鱼雷始终指向(zh xin)敌舰，追击速度为敌舰速度的2倍. 问敌舰逃出多远时将被击毁？ 解：以我舰的初始(ch sh)位置为坐标原点(0,0),敌舰的初始(ch sh)位置 为点A(1,0)，建立(jinl)直角坐标系，如图, 设鱼雷的轨迹方程为y=y(x)，则其满足初始条件 在时刻t鱼雷的位置是P(x,y)，敌舰的位置是Q(1,vt). 依题意，点Q应位于轨迹y(x)过点P的切线上. 该切线的方程为 而鱼雷在t时刻已走过的距离为 第6页/共18页第六页，共19页。上述(shngsh)两个方程联立消去vt得 两端(lin dun)关于x求导得 这是鱼雷运动轨迹所满足的微分方程(wi fn fn chn). 此方程不显含y,令 代入上述方程得分离变量后积分并利用初始条件 有 上述两式相减并将p=y代入，得到 第7页/共18页第七页，共19页。两端(lin dun)积分，并利用初始条件 有 这就是鱼雷追击(zhuj)敌舰的运动轨迹方程. 因当鱼雷击中敌舰时，其横坐标x=1,代入上述方程得纵坐标y=2/3, 即敌舰逃至距离点A(1,0)正北2/3海里处时将被鱼雷击毁.第8页/共18页第八页，共19页。例例.求解求解(qiji)解: 代入方程(fngchng)得分离(fnl)变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共18页第九页，共19页。对于(duy)型方程(fngchng)(n2)，可以令得如果(rgu)能求出其通解逐次积分n-1次，就可得到原方程的通解其中C1,C2.,Cn为任意常数.第10页/共18页第十页，共19页。三、三、型的微分方程(wi fn fn chn) 令故方程(fngchng)化为设其通解(tngji)为即得分离变量后积分, 得原方程的通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共18页第十一页，共19页。例例6.5求求解解(qiji)代入方程(fngchng)得两端(lin dun)积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共18页第十二页，共19页。例例6.6绳索(shn su)仅受重力(zhngl)作用而下垂,解: 取坐标系如图.考察(koch)最低点 A 到( : 密度, s :弧长)弧段重力大小按静力平衡条件, 有故有设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共18页第十三页，共19页。则得定解问题(wnt): 原方程(fngchng)化为两端(lin dun)积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬 链 线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共18页第十四页，共19页。例6.7 求 的通解(tngji). 解： 此方程(fngchng)无法解出 可引入参数(cnsh)t，令则其中C1,C2为任意常数.两端再积分可得参数形式的解为第15页/共18页第十五页，共19页。例例.解初值问解初值问题题解: 令代入方程(fngchng)得积分(jfn)得利用(lyng)初始条件,根据积分得故所求特解为得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共18页第十六页，共19页。(A)1 (1) , (4) , (8) ; 2 (3) ; 作业作业(zuy)习题习题7.6第七节 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第17页/共18页第十七页，共19页。感谢您的欣赏(xnshng)！第18页/共18页第十八页，共19页。内容(nirng)总结例6.1 求微分方程 的通解.。其中C1,C2,C3为任意常数.。第1页/共18页。第2页/共18页。第3页/共18页。为点A(1,0)，建立直角坐标系，如图,。设鱼雷的轨迹方程为y=y(x)，则其满足初始条件。其中C1,C2.,Cn为任意常数.。问该绳索的平衡状态是怎样的曲线(qxin)。解： 此方程无法解出。第17页/共18页。感谢您的欣赏第十九页，共19页。