1.1.3正、余弦定理的综合应用1在ABC 中，已知 c10，C60，a203，则A_.452在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，如果 a6，b9，C60，ABC 的面积是_3在ABC 中，a3 ，c2，B150，则 b_74在ABC 中，cosAcosB 0，则ABC 必为_三角形5在ABC 中，若 BC12，A60，B45，则 AC_.钝角解析：由正弦定理得BC ACsin60 sin45，即 AC .三角函数公式的综合应用例1：在锐角ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，且 a2csinA(1)确定角 C 的大小；(2)若 c ，且ABC 的面积为32，求 ab 的值已知a2，c3，cosB .求：得b22232223 10，11.在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，14(1)b 的值；(2)sinC 的值解：(1)由余弦定理得 b2a2c22accosB，14所以b .正、余弦定理的综合应用例2: 在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 b2c2a2bc.(1)求角 A 的大小；(2)若 a ，b1，求角 B 的大小b2c2a2 ，cosA2bcbc 12bc 23又A是ABC的内角，A .解：(1)由题知：(2)由正弦定理：asinAbsinB，又ba，BA，又B 是ABC 的内角，21.在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，已bsinBc的值知 b2ac，且 a2c2acbc，求角 A 的大小及b2c2a2 ，A60.b ac，A60,cosA2bcbc 12bc 2在ABC 中，由正弦定理得 sinBbsinAa.2 bsinB b2sinAc acsinA 2.解：b2ac，且a2c2acbc，b2c2a2bc.在ABC 中，由余弦定理得：判断三角形的形状例 3：(1)在ABC 中，acosAbcosB，判断ABC 的形状；(2)在ABC 中，bcosAacosB，判断三角形的形状a2c2a4b2c2b40(a2b2)(c2a2b2)0.a2b20 或c2a2b20.ab 或c2a2b2.ABC 是等腰三角形或直角三角形解：(1)方法一：由余弦定理得aa2c2b2方法二：由 acosAbcosB 可得：2RsinAcosA2RsinBcosB.sin2Asin2B，2A2B 或2A2B. ABC 为等腰或直角三角形(2)方法一：由余弦定理得bb2c2a22bc2ac，化简得：a2b2.ab.ABC 为等腰三角形方法二：bcosAacosBsinBcosAsinAcosBsinBcosAsinAcosB0.sin(BA)0，AB.ABC 为等腰三角形根据已知条件适当选取定理，也是在解题中应该注意的问题31. (2010 年上海)若ABC 的三个内角满足 sinAsinBsinC511 13，则ABC()CA一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形故cosA ，A120.例4：(2010 年辽宁)在ABC 中，a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边，且 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求 A 的大小；(2)若 sinBsinC1，试判断ABC 的形状由余弦定理得a2b2c22bccosA.12解：(1)由已知和正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c.即a2b2c2bc.得sinBsinC .又sinBsinC1，故sinBsinC .(2)由a2b2c2bc 得sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，1412因为0B90，0C90，故BC ，所以ABC 是等腰的钝角三角形41.设ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知b2c2a2 bc，求：(1)A 的大小；(2)2sinBcosCsin(BC)的值(2)2sinBcosCsin(BC)2sinBcosC(sinBcosCcosBsinC)sinBcosCcosBsinC解：(1)由余弦定理：a2b2c22bccosA，