21.2.2 公式法 1.1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；理解一元二次方程求根公式的推导过程；2.2.了解公式法的概念；了解公式法的概念；3.3.会熟练应用公式法解一元二次方程会熟练应用公式法解一元二次方程 （4 4）配方、用直接开平方法解方程）配方、用直接开平方法解方程. . (x+ ) (x+ )2 2= -q = -q x x2 2+px+( )+px+( )2 2= -q+( )= -q+( )2 22.2.用配方法解一元二次方程的步骤：用配方法解一元二次方程的步骤：（1 1）把原方程化成）把原方程化成 x x2 2+px+q=0+px+q=0的形式；的形式；（2 2）移项整理）移项整理 得得 x x2 2+px=-q+px=-q； （3 3）在方程）在方程 x x2 2+px=-q +px=-q 的两边同加上一次项系数的两边同加上一次项系数p p的一半的平方；的一半的平方； 1.1.请用配方法解一元二次方程请用配方法解一元二次方程2x2x2 2+4x+1=0+4x+1=0用配方法解一般形式的一元二次方程用配方法解一般形式的一元二次方程 axax2 2+bx+c=0 (a0)+bx+c=0 (a0) 解析解析: :把方程两边都除以把方程两边都除以a,a, 即即 ( x + )( x + )2 2 = = 移项，得移项，得 x x2 2 + x= - + x= - 配方，得配方，得 x x2 2 + x+( ) + x+( )2 2=- +( )=- +( )2 2解得解得 x= x= 当当b b2 2-4ac0-4ac0时时, , x + =x + = 4a4a2 20 0用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. . 即即 x=x=x= x= 叫做求根公式叫做求根公式【解析解析】 a=2 , b=5 , c= -3 .a=2 , b=5 , c= -3 . b b2 2-4ac=5-4ac=52 2-4-42 2(-3)=49.(-3)=49. x = x = 即即 x x1 1= - 3, x= - 3, x2 2= .= .【例例1 1】用公式法解方程用公式法解方程:2x:2x2 2+5x-3=0+5x-3=0【例题例题】1.1.用公式法解方程用公式法解方程3x3x2 2+5x-2=0 +5x-2=0 【解析解析】 a= , b= ,c = . a= , b= ,c = . b b2 2-4ac= -4ac= x= = x= = 即即 x x1 1=-2 , x=-2 , x2 2= = . .3 3-2-25 52 2-4-43 3(-2)=49(-2)=495 5【跟踪训练跟踪训练】2.2.用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：(1)x(1)x2 2 +2x=5+2x=5(2) 6t(2) 6t2 2 -5=13t-5=13t【例例2 2】用公式法解方程用公式法解方程: : x x2 2 -x- =0-x- =0【解析解析】方程两边同乘以方程两边同乘以3,3,得得 2x2x2 2 -3x-2=0 -3x-2=0 a=2 a=2，b= -3b= -3，c= -2.c= -2.bb2 2-4ac=(-3)-4ac=(-3)2 2-4-42 2(-2)=25. (-2)=25. xx 即即x x1 1=2,x=2,x2 2= . = . 【例题例题】1.1.解方程：解方程：【解析解析】化简为一般式化简为一般式这里这里 a=1, b= , c= 3.a=1, b= , c= 3.b b2 2 - 4ac=( )- 4ac=( )2 2 - 4- 41 13=0,3=0,即：即：x x1 1= x= x2 2= =【跟踪训练跟踪训练】2.2.解方程：（解方程：（x-2)(1-3x)=6x-2)(1-3x)=6这里这里 a=3, b=-7, c=8.a=3, b=-7, c=8.b b2 2-4ac=(-7)-4ac=(-7)2 2-4-43 38=49-96=-470,8=49-96=-470,原方程没有实数根原方程没有实数根. .【解析解析】去括号：去括号：x-2-3xx-2-3x2 2+6x=6+6x=6化简为一般式：化简为一般式：-3x-3x2 2+7x-8=0+7x-8=03x3x2 2-7x+8=0-7x+8=0用公式法解一元二次方程的一般步骤：用公式法解一元二次方程的一般步骤：1.1.把方程化成一般形式，并写出把方程化成一般形式，并写出a a，b b，c c的值的值. .2.2.求出求出b b2 2-4ac-4ac的值的值. .3.3.若若b b2 2-4ac0-4ac0代入求根公式代入求根公式: : (a0, b (a0, b2 2-4ac0)-4ac0)否则原方程无解否则原方程无解. . 4. 4.写出方程的解：写出方程的解： x x1 1=?, x=?, x2 2=?=?【归纳归纳】1.1.（无锡（无锡中考）关于中考）关于x x的方程的方程(a (a 5)x5)x2 24x4x1 10 0有实数有实数根，则根，则a a满足（满足（ ）A Aa1 Ba1 Ba a1 1且且a5 Ca5 Ca1a1且且a5 Da5 Da5a5【解析解析】选选A.A.当当a-5=0a-5=0时，有实数解时，有实数解x= x= ，此时，此时a=5;a=5;当当 时，应满足时，应满足 ，解得，解得a a11，综上所，综上所述述a1. a1. 2.2.（烟台（烟台中考）方程中考）方程x x2 2-2x-1=0-2x-1=0的两个实数根分别为的两个实数根分别为x x1 1，x x2 2，则，则 (x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)=_. -1)=_. 【解析解析】由求根公式可得方程由求根公式可得方程x x2 2-2x-1=0-2x-1=0的两个实数根为的两个实数根为 ， ，所以，所以（x x1 1-1-1）（）（x x2 2-1-1）答案：答案：-2.-2.3.3.关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程axax2 2+bx+c=0 (a0).+bx+c=0 (a0).当当a a，b b，c c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？【解析解析】设方程的两个根为设方程的两个根为x x1 1、x x2 2，依题意，得，依题意，得x x1 1 +x +x2 2 + + 因为因为a0, a0, 所以所以b=0.b=0.所以当所以当a0, b=0a0, b=0， ac0ac0时，时，方程的两根为互为相反数方程的两根为互为相反数.4.4.九章算术九章算术“勾股勾股”章中有一题章中有一题: :“今有户高多于广今有户高多于广六尺八寸六尺八寸, ,两相去适一丈两相去适一丈. .问户高、广各几何问户高、广各几何. .”大意是说大意是说: :已知长方形门的高比宽多已知长方形门的高比宽多6 6尺尺8 8寸寸, ,门的对角线长门的对角线长1 1丈丈, ,那么那么门的高和宽各是多少门的高和宽各是多少? ?【解析解析】设门的高为设门的高为 x x 尺，根据题意得尺，根据题意得 即，即，2x2x2 2-13.6x-53.76-13.6x-53.760.0.解这个方程解这个方程, ,得得x x1 19.6; x9.6; x2 2-2.8(-2.8(不合题意不合题意, ,舍去舍去). ). x-6.8=2.8x-6.8=2.8答答: :门的高是门的高是9.69.6尺尺, ,宽是宽是2.82.8尺尺. .x xx-6.8x-6.810101.1.由配方法解一般形式的一元二次方程由配方法解一般形式的一元二次方程 axax2 2+bx+c=0 +bx+c=0 (a0)(a0)，若，若 b b2 2-4ac0-4ac0得求根公式：得求根公式：通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：2.2.会熟练应用公式法解一元二次方程会熟练应用公式法解一元二次方程 数学中的一些美丽定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来,但证明却隐藏得极深. 高斯