42空空间图形的公理形的公理(二二)学习目标1.掌握公理4及等角定理(重点)；2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角(重、难点)知识点一公理4【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)公理4在平面内和空间中均成立 ( )(2)多条直线平行于同一条直线，则这些直线互相平行( )知识点二空间等角定理1定理文字语言空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补符号语言OAOA，OBOBAOBAOB或AOBAOB180图形语言作用判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行 ( )(2)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等 ( )(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角互补 ( )知识点三异面直线所成的角1概念：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角2异面直线所成的角的取值范围：090.3如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直两条互相垂直的异面直线a，b，记作ab.4异面直线所成的角的求法方法一在空间任取一点O，过点O分别作aa，bb，则a与b所成的锐角(或直角)为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角方法二在其中一条直线上任取一点(如在b上任取一点)O，过点O作另一条直线的平行线(如过点O作aa)，则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如b与a所成的角)，然后通过解三角形等方法求角(如图)【预习评价】(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？提示(1)不一定可能相交、平行或异面(2)在长方体A1B1C1D1ABCD中，BC1AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”，与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？提示相等题型一公理4与等角定理的应用【例1】E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形证明设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.因为E是AA1的中点，所以EQ綊A1D1.又因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1.所以四边形EQC1B1为平行四边形所以B1E綊C1Q.又因为Q，F分别是矩形DD1C1C两边D1D，C1C的中点，所以QD綊C1F.所以四边形DQC1F为平行四边形所以C1Q綊FD.又因为B1E綊C1Q，所以B1E綊FD.所以四边形B1EDF为平行四边形规律方法(1)空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行(2)求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似答案平行题型二异面直线的判断【例2】如图，在正方体ABCDABCD中哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？解由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC、DD、DC、BC所在直线分别与直线BA是异面直线规律方法判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行只要既不相交，也不平行，就是异面直线【训练2】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_解析序号结论理由(1)平行因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1BD1C(2)异面A1B与B1C不同在任何一个平面内(3)相交D1DD1CD1(4)异面AB与B1C不同在任何一个平面内答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面【探究1】在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为( )A30 B45 C60 D90互动探究题型三异面直线所成的角解析如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1CC1，故B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角，故为45.答案B【探究2】如图所示，在空间四边形ABCD中，ABCD，ABCD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角解如图，取BD的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别为BC，AD的中点，ABCD，所以EGCD，GFAB，由ABCD，知EGFG，EFG为等腰三角形当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故EF与AB所成的角为15或75.规律方法(1)异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点(2)求异面直线所成的角的一般步骤：作角：平移成相交直线证明：用定义证明前一步的角为所求计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围2若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A平行 B异面C相交 D平行、相交或异面解析可借助长方体来判断如图，在长方体ABCDABCD中，AD所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCDABCD中的BC，CC，DD.故a和c可以平行、相交或异面答案D3在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有_对解析以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有428(对)异面直线答案84如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为_解析连接BC1，A1C1，BC1AD1，异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角在A1BC1中，A1BBC1A1C1，A1BC160，故异面直线A1B与AD1所成的角为60.答案605如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：ACBD.证明(1)在ABD中，E，H分别是AB，AD的中点，EHBD.同理FGBD，则EHFG.故E，F，G，H四点共面(2)由(1)知EHBD，同理ACGH.又四边形EFGH是矩形，EHGH.故ACBD.课堂小结1判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法2在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0，90，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小作异面直线所成的角可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：直接平移法(可利用图中已有的平行线)；中位线平移法；补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).