初中数学初中数学第二讲第二讲 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式及根与系数的关系及根与系数的关系 知识回顾：知识回顾：1 1 1 1、一元二次方程：、一元二次方程：、一元二次方程：、一元二次方程： 化简后形如化简后形如化简后形如化简后形如 的方程的方程的方程的方程 叫一元二次方程。叫一元二次方程。叫一元二次方程。叫一元二次方程。2 2 2 2、解一元二次方程的方法：、解一元二次方程的方法：、解一元二次方程的方法：、解一元二次方程的方法： 直接开平方法直接开平方法直接开平方法直接开平方法配方法配方法配方法配方法求根公式法求根公式法求根公式法求根公式法 分解因式法（包括十字相乘法）。分解因式法（包括十字相乘法）。分解因式法（包括十字相乘法）。分解因式法（包括十字相乘法）。3 3 3 3、回顾关于求根公式的推导过程：、回顾关于求根公式的推导过程：、回顾关于求根公式的推导过程：、回顾关于求根公式的推导过程：推导发现：推导发现：推导发现：推导发现：1 1 1 1、一元二次方程的根与三个系数、一元二次方程的根与三个系数、一元二次方程的根与三个系数、一元二次方程的根与三个系数a a a a、b b b b、c c c c、有、有、有、有 紧密关系，可以直接把方程中紧密关系，可以直接把方程中紧密关系，可以直接把方程中紧密关系，可以直接把方程中a a a a、b b b b、c c c c的值的值的值的值 代入求根公式代入求根公式代入求根公式代入求根公式 中，以求中，以求中，以求中，以求 得方程的根。得方程的根。得方程的根。得方程的根。2 2 2 2、一元二次方程根的个数与、一元二次方程根的个数与、一元二次方程根的个数与、一元二次方程根的个数与 的值有的值有的值有的值有 关系：关系：关系：关系： 当当当当 时，有实数根；时，有实数根；时，有实数根；时，有实数根； 当当当当 时，没有实数根。时，没有实数根。时，没有实数根。时，没有实数根。一、一元二次方程的根与系数的关系：一、一元二次方程的根与系数的关系： 若只需要判断一元二次方程根的情况，由此就可若只需要判断一元二次方程根的情况，由此就可若只需要判断一元二次方程根的情况，由此就可若只需要判断一元二次方程根的情况，由此就可以不解方程，直接计算根的判别式来判断，通常用以不解方程，直接计算根的判别式来判断，通常用以不解方程，直接计算根的判别式来判断，通常用以不解方程，直接计算根的判别式来判断，通常用“ “” ”表示判别式。表示判别式。表示判别式。表示判别式。学以致用，当堂巩固学以致用，当堂巩固例例例例1 1 1 1：判断下列一元二次方程根的情况。判断下列一元二次方程根的情况。判断下列一元二次方程根的情况。判断下列一元二次方程根的情况。=81=81=81=81，有两个不相等的，有两个不相等的，有两个不相等的，有两个不相等的实数根。实数根。实数根。实数根。=28=28=28=28，有两个不相等的，有两个不相等的，有两个不相等的，有两个不相等的实数根。实数根。实数根。实数根。=0=0=0=0，有两个相等的实，有两个相等的实，有两个相等的实，有两个相等的实数根。数根。数根。数根。=-4=-4=-4=-4，没有实数根。，没有实数根。，没有实数根。，没有实数根。友情提示：计算判别式之前，要将方程化简为一般式。友情提示：计算判别式之前，要将方程化简为一般式。友情提示：计算判别式之前，要将方程化简为一般式。友情提示：计算判别式之前，要将方程化简为一般式。活学活用，提高能力活学活用，提高能力例例例例2 2 2 2：关于关于关于关于x x x x的方程的方程的方程的方程 试说明无论试说明无论试说明无论试说明无论a a a a为何实数，方程总有两个不相等的实为何实数，方程总有两个不相等的实为何实数，方程总有两个不相等的实为何实数，方程总有两个不相等的实数根。数根。数根。数根。充分利用配充分利用配充分利用配充分利用配方得到非负方得到非负方得到非负方得到非负数（式）。数（式）。数（式）。数（式）。例例例例3 3 3 3：若关于若关于若关于若关于 x x x x 的方程：的方程：的方程：的方程：有实数根，求有实数根，求有实数根，求有实数根，求 m m m m 的最大整数值。的最大整数值。的最大整数值。的最大整数值。友情提示：一元二次方程有实数根时，友情提示：一元二次方程有实数根时，友情提示：一元二次方程有实数根时，友情提示：一元二次方程有实数根时，0 0 0 0。新知探究：一元二次方程根与系数的关系？新知探究：一元二次方程根与系数的关系？解下列一元二次方程，并填写下表：解下列一元二次方程，并填写下表：解下列一元二次方程，并填写下表：解下列一元二次方程，并填写下表：0220-41-3-42356发现规律：关于发现规律：关于x x的方程的方程其两根其两根 与其系数与其系数 之间的关系为：之间的关系为：二、根与系数的关系（韦达定理）二、根与系数的关系（韦达定理）提示：同学们也可通过求根公式来探究根系关系。提示：同学们也可通过求根公式来探究根系关系。提示：同学们也可通过求根公式来探究根系关系。提示：同学们也可通过求根公式来探究根系关系。抓住代抓住代数式的数式的恒等变恒等变形。形。开拓思路：开拓思路：开拓思路：开拓思路：法法法法1 1 1 1依据根与系数的关系求解；依据根与系数的关系求解；依据根与系数的关系求解；依据根与系数的关系求解；法法法法2 2 2 2由根由根由根由根的定义先解出的定义先解出的定义先解出的定义先解出 k k k k，在解方程求得另一个根。，在解方程求得另一个根。，在解方程求得另一个根。，在解方程求得另一个根。若用法若用法2 2就就得先解一得先解一元一次方元一次方程，再解程，再解一元二次一元二次方程。方程。开拓思路：开拓思路：开拓思路：开拓思路：紧抓根的判别式及根与系数的关系。紧抓根的判别式及根与系数的关系。紧抓根的判别式及根与系数的关系。紧抓根的判别式及根与系数的关系。将根的特将根的特点与根系点与根系关系联系关系联系起来。起来。祝大家学习愉快！