高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学第十六章第十六章 选考部分选考部分第二节第二节 曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程第二讲第二讲 坐标系与参数方程坐标系与参数方程高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学课前自主学案课前自主学案 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学知识梳理知识梳理 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(，)=0，并且坐标适合方程f(，)=0的点都在曲线C上，那么方程f(，)=0叫做曲线C的极坐标方程. 2.直线的极坐标方程（1）过极点且与极轴成角的直线方程是：=和=-；（2）与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)(a0)的直线方程为：cos=a；（3）与极轴平行且在x轴的上方，与极轴的距离为a的直线方程为：sin=a.高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学3.圆的极坐标方程（1）以极点为圆心，半径为r的圆的方程为：=r；（2）圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程上：=2rcos；（3）圆心在过极点且与极轴成/2的射线上，过极点，半径为r的圆的方程为：=2rsin.4.极坐标与直角坐标的互化公式 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学基础自测基础自测 1在极坐标系中，过极点，倾斜角为/3的直线方程是（ ）解析：根据极坐标方程的定义，易知所求直线方程是=/3和=4/3故选D.答案：D高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学2把极坐标方程=-10cos化为直角坐标方程为（ ）A.x2+y2=-10x B.x2+y2=-10yC.x2+y2=10 D.x2+y2=25解析：把=-10cos的两边同乘以，得2=-10cos，再代入极坐标与直角坐标的互化公式，得直角坐标方程为x2+y2=-10x.答案： A 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学3. (2009年上海卷）在极坐标系中，由三条直线=0, =/3,cos+sin=1围成图形的面积是_解析：化为普通方程，分别为：y=0, y= , x+y=1,画出三条直线的图象如右图，可求得三角形AOB的面积为：答案：高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学4.（2009年广州一模）在极坐标系中，直线sin(+/4)=2被圆=4截得的弦长为_答案：高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学课堂互动探究课堂互动探究 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学求圆的极坐标方程 已知圆C的圆心坐标为 半径为5，求圆C的极坐标方程. 解析：解析： 设点P（,）是圆C上的任意一点，如右图所示，由平面几知识可知，APO=90, PAO=,AO=10,sin=/10,=10sin. 即所求圆C的极坐标方程为：=10sin 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学变式探究变式探究 1.已知圆A的圆心坐标为（2，0），半径为2，则圆A的极坐标方程是_解析：由cos=/4,得=4cos.答案：=4cos高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学求直线的极坐标方程 设点P的极坐标为(1，1)，直线l过P且与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程. 分析：分析：用直接法求解 解析：解析：如右图所示，设M(,)为直线l上除点P外的任意一点，连接OM，则|OM|=，xOM=.由点P的极坐标为(1，1)知，|OP|=1，xOP=1.设直线l与极轴交于点A，已知直线l与极轴成角，所以xAM=.在MOP中，OMP=-，OPM=-(-1)，由正弦定理得 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学显然，点P的坐标(1，1)是上述方程的解.所以，上述方程就是直线l的极坐标方程. 点评：本例题很好地展示了求直线的极坐标方程的基本方法，点评：本例题很好地展示了求直线的极坐标方程的基本方法，注意与直角坐标方程的求解方法相互比较，仔细揣摩注意与直角坐标方程的求解方法相互比较，仔细揣摩. . 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学变式探究变式探究 2.求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程. 解析：如右图所示，设M(,)为直线l上，除点A外的任意一点，连接OM，由RtMOA有|OM|cosMOA=|OA|，即cos=a.可以验证，点A(a,0)满足上式.所以，cos=a.就是所求直线的极坐标方程。高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 把极坐标方程=2cos-4sin化成直角坐标方程.分析：直接运用极坐标与直角坐标的互化公式即可. 解析：把=2cos-4sin两边同乘以，得到2=2cos-4sin，即 x2+y2=2x-4y，所以，所求的直角坐标方程是(x-1) 2+(y-2) 2=5。点评：熟悉极坐标与直角坐标的互化公式，熟练进行恒等变点评：熟悉极坐标与直角坐标的互化公式，熟练进行恒等变形是这个问题的目的所在形是这个问题的目的所在. . 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学3.把直角坐标方程2x-3y-1=0化成极坐标方程.变式探究变式探究 解析：把x=cos,y=sin代入2x-3y-1=0，即得所求的极坐标方程是2cos-3sin-1=0高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学曲线的极坐标方程的应用 已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a,2b(ab0)，A,B分别为椭圆上的两点，且OAOB.（1）求证： 为定值；（2）求AOB面积的最大值和最小值.分析：由于点的极坐标更加容易表示距离和角度，所以涉及到长度和角度问题，采用极坐标系往往能够简化思路、简便运算.高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学解析：（1）以椭圆中心O为直角坐标原点，长轴所在的直线为x轴建立直角坐标系，则椭圆的直角坐标方程为将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程，得 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学（2）高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学点评：恰当的选用极坐标系，有时能够有效地提供解决解析点评：恰当的选用极坐标系，有时能够有效地提供解决解析几何问题的方法和思路，提高问题解决的速度几何问题的方法和思路，提高问题解决的速度. . 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学变式探究变式探究 证明：以原直角坐标系的Ox轴为极轴建立极坐标系.那么双曲线的极坐标方程为 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学温馨提示温馨提示 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学1.根据极坐标方程的定义，求曲线的极坐标方程与求曲线的直角坐标方程类似，一般步骤是：建立适当的极坐标系；列出动点所满足的关系式；将上述关系式用动点坐标(,)的解析式来表示；化简得到的解析式；证明所得到的方程就是所求的曲线方程.求曲线的极坐标方程的主要方法有：直接法、几何法以及相关点法. 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学2.由于极坐标中极径和极角鲜明的简化特征，所以在处理与角度和距离有密切关系的问题时，用极坐标更容易表示已知的条件，代数变换也更加直接，再加上几何的直观性，因而解题过程显得简洁、明了；但是，在极坐标系中，判别曲线形状及其位置关系、计算距离和角度等等问题，通常需要先转化为直角坐标，在直角坐标系中求解后再转化为极坐标.这样一来，处理极坐标问题的有两个基本策略：其一直接用极坐标；其二转化为直角坐标，选择的基本原则就是简单性. 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 题型展示台题型展示台 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 （2009年辽宁卷）坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 （1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程. 解析：高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 （2009年安徽卷）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为 ,它与曲线 相交于两点A和B，则|AB|=_解析：直线的普通方程为y=x,曲线的普通方程 答案：高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学题型训练题型训练 1.（2009年梅州一模） 在极坐标系中，圆=2上的点到直线 的距离的最小值是_答案是：12.在极坐标系中，圆=2cos的圆心的极坐标是_，它与方程 所表示的图形的交点的极坐标是_答案是高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学