第17课时 等腰三角形与直角三角形第四章 三角形考点特训营考点特训营 考点精讲等腰三角形与直角三角形等腰三角形(如图1)等边三角形（如图2）直角三角形（如图3）图1图2图3概念：有_相等的三角形是等腰三角形,相等的边叫 做腰,另外一边叫做底 两腰相等，两底角相等性质 顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合 等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 有两个角相等的三角形是等腰三角形两边面积：S= ah（h是边a上的高）温馨提示 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重 要定理，是将三角形中角的相等关系转化为边的相等关 系的重要依据.一般情况下，在同一个三角形中“欲证边 相等，先证角相等”，“欲证角相等，先证边相等”概念:三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形 三边相等性质 每一个角都等于_ 等边三角形是轴对称图形，有_条对称轴60三 三条边相等的三角形是等边三角形判定 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60的_是等边三角形面积：S ah a2（h是边a上的高）等腰三角形概念：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形勾股定理及其逆定理性质判定面积勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平 方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜 边,那么_勾股定理逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c，且 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形a2b2c2两锐角之和等于_斜边上的中线等于斜边的_30角所对的直角边等于斜边的一半若有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐 角等于_90一半30有一个角为90的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形面积：S ch= _(a,b为直角边,h是斜边c上 的高) 温馨提示 已知直角三角形的斜边中点时，常添加辅助线 为“作斜边的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”进行求解.ab 重难点突破一 与等腰三角形有关的证明及计算（重点）例1（2019义乌）已知ABC，ABAC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，ADAE，设BAD，CDE例1题图（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上如果BAC60，ADE70，那么_，_求，之间的关系式；【思维教练】利用等腰三角形等角对等边及三角形内外角关系进行等角转换，列式计算即可得解；自主作答：2010解：【解法提示】ADAE ，AEDADE70，DAE40，BAC60，ABAC， ABC是等边三角形，20，ADC ADEB，702060，10.设BACx，BCy，则在ABC中，x2y180，在ADE中，ADE .由ADC是ABD的外角可知： y，化简得x2y1802，；（2）是否存在不同于以上中的，之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由【思维教练】仍然可利用（1）中的等腰三角形等角对等边、三角形内角和及内外角关系，列出等式求出，之间的关系.自主作答：如解图，点E在CA延长线上，点D在线段BC上，设BACx，BCy，则在ABC中，x2y180， ADAE， ADEAED ，例1题解图ADC ，由ADC是ABD的外角可知： y，化简得2x2y180，90 .备考小贴士（1）等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定是等腰三角形部分最基本最重要的知识点；由此容易得到，“在等腰三角形中，与顶角相邻的外角是底角的两倍”也是处理倍角关系常用的策略（2）就本题而言，从第（1）问的到，条件“BAC60”不再具备，这是条件弱化的过程，说明等腰三角形是变化的，但只要条件“ADAE”在，、之间就存在特定的数量关系，这是数学研究的任务：寻找变化中不变的结论正因为不再是等边三角形，所以用字母来表示角，用方程的方法解决几何问题是常用的思路（ 3 ）对第（2）问，仔细审题，我们不难发现：D、E分别在直线BC、AC上，除给出的答案外，还有以下几种情况：D在CB延长线上，E在AC延长线上（如图， ）；D在CB延长线上，E在CA延长线上（如图，90 ）；D在BC延长线上，E在AC延长线上（如图， ）；D在BC延长线上，E在CA延长线上（如图，90 ）认真审题，画出符合题意的图形，都是需要必备的能力 练习1如图，在ABC中，AB=AC,点E在CA延长线上，EPBC于点P，交AB于点F，若AF=2,BF=3，则CE的长度为_.练习1题图7【解析】在ABC中， ABAC, BC, EPBC, CE90，BBFP90， EBFP, 又BFPAFE, EAFE, AFAE, AEF是等腰三角形. 又AF2，BF3, CAAB5，AE2, CE7.练习2如图，在ABC中，AB=AC=11,BAC=120，AD是ABC的中线，AE是BAD的角平分线，DFAB交AE的延长线于点F，则DF的长为_.练习2题图5.5【解析】ABAC，AD是ABC的中线，ADBC，BADCAD BAC 12060，AE是BAD的角平分线，DAEEAB BAD 6030，DFAB，FBAE30，DAEF30，ADDF，B906030，AD AB 115.5，DF5.5.二 与直角三角形有关的计算例2如图，ABC中，BAC90，AB3，AC4，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED，连接CE，则线段CE的长等于( )A.2 B.C. D. 例2题图D【解析】如解图，连接BE交AD于点F，作AHCB于点H.在ABC中，BAC90，AB3，AC4，BC5.AHCB于点H , AH .点D是BC的中点，DADBDC BC ，将ABD沿AD翻折得到AED，例2题解图DA垂直平分BE.DF是CBE的中位线，DFCE，DF CE.SABD ADBF BDAH，又DADB，BFAH ，在RtDBF中，DF ，CE .备考小贴士勾股定理、斜边上中线等于斜边的一半是直角三角形的重要性质；用面积法求斜边上的高、证等腰三角形腰上的高相等也是基本方法；结合折叠，注定这道题有很多值得挖掘的内涵：由DADBDCDE，则A、B、C、E共圆；由BAC90可得BC是直径；由BC是直径，可得CEB90，所以，说明BEC是直角三角形有多种方法；由此可以从圆的角度求CE的长（CE是弦），所以求CE的长有多种方法三 与等腰三角形、直角三角形有关的分类讨论例3（2019绍兴）如图，AOB45，点M，N在边OA上，OMx，ONx4，点P是边OB上的点，若使点P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是_例3题图x0或x 4或4x 【思维教练】由于等腰三角形是有两边相等的特殊三角形，因此当题目的腰、底边不确定时，就要分情况讨论.同时图中的线段MN在运动，要对点M、N运动过程中的几个特殊位置进行分类讨论.【解析】()如解图，M与射线OB只有一个公共点，N与射线OB有两个公共点，其中有一个点是点O，符合题意，此时 x0; ()如解图，M与射线OB只有一个公共点，N与射线OB相切符合题意，此时x 4；()如解图，M与射线OB有两个公共点(点O除外)，N与射线OB相离符合题意当x4时，M与射线OB只有两个公共点，其中一个点是点O(如解图)，所以x4；当x 时，M与射线OB相切(如解图)，所以x ，综上，4x ，而在这个范围下时，N与射线OB相离，没有公共点，所以4x 符合题意综上所述，当x0或x 4或4x 时，点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个例3题解图备考小贴士关于等腰三角形绕不开的话题，就是分类讨论，在研究有关边长问题，一般以“腰、底”为讨论依据；在研究有关角的问题，一般以“底角、顶角”为讨论依据；分类的另一个标准，还可以以“顶角、顶点”作为依据以本题为例：已知点M、N，点P与它们构成等腰三角形，则点P分别在以M、N为圆心，MN长为半径的圆上，还可以在MN的垂直平分线上（三点共线时除外），为了便于记忆，简称“两圆一线”对于本题，点P就是“两圆一线”与射线OB的公共点，随着x的变化，点P的个数显然在变化，由于MN的垂直平分线与射线OB一定有一个公共点，所以只需考虑“两圆”与射线OB的公共点个数共有两个时即符合题意本题有一个易错点：不是简单的圆与直线的位置关系，而是与射线的公共点个数，在解决问题的过程中，要倍加关注 练习3已知等腰三角形的一边长为3cm，且它的周长为12cm，则它的底边长为（ ）A. 3cm B. 6 cm C. 9 cm D. 3 cm或6 cmA【解析】当3 cm是等腰三角形的腰时，底边长12326 cm, 336，不能构成三角形， 此种情况不存在； 当3 cm是等腰三角形的底边时，腰长 4.5 cm.三角形的三条边长为3，4.5，4.5，符合三边关系， 底为边长3 cm. 练习4等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45，则其顶角为（ ）A. 45 B. 135C. 45或67.5 D. 45或135D【解析】如解图，等腰三角形ABC为锐角三角形， BDAC，ABD45， A45， 即顶角的度数为45； 如解图，等腰三角形ABC为钝角三角形， BDAC，DBA45， BAD45， BAC18045135.练习4题解图例4（2019河南）如图，在RtABC中，A90，ABAC，BC 1，点M，N分别是边BC、AB上的动点，沿MN所在的直线折叠B，使点B的对应点B始终落在边AC上，若MBC为直角三角形，则BM的长为_例4题图1或【解析】MBC为直角三角形，有两种情况：MBC90或BMC90，当MBC90时(如解图)，则BMBC，MC BM，沿MN所在的直线折叠B，BMBM，MCBM，BCBMMCBM BM 1，BM1; 当BMC90时，则MBMC，BMBM，MCMB，M是BC中点，即MB BC .综上，若MBC为直角三角形，则BM的长为1或 【思维教练】MBC为直角三角形，可能有三种情况，即每个顶点所在的角分别为90，分析可知，只有两种情况存在：当BMC=90，B与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；当MBC=90，推出CMB是等腰直角三角形，得到CM= 2 MB，列方程即可得到结论备考小贴士与等腰三角形一样，对于直角三角形，没有指定斜边、直角边的情况下，同样需要分类讨论在研究有关边长问题，一般以“斜边、直角边”为讨论依据；在研究有关角的问题，一般以“直角、锐角”为讨论依据（本题便是例子）；分类的另一个标准，还可以以直角顶点作为依据类比等腰三角形的“两圆一线”，则直角三角形是“两线一圆”